2025届新高考数学冲刺精准复习外接球模型

2025届新高考数学冲刺精准复习外接球模型延迟符数学模型2圆柱模型3圆锥模型4面面垂直模型1长方体模型5二面角模型

知识准备：(1)垂面定理(如图)_____________________；(2)球的表面积公式__________________；(3)球的体积公式_____________________；(4)长方体的长宽高分别为则体对角线的长度为________________；(5)正方体的边长为

，则体对角线的长度为________________；延迟符1返回目录延迟符数学建模——长方体模型返回目录长方体的长宽高分别为求长方体的体对角即可求得：知识应用——长方体模型例1:已知三棱锥

中，侧棱

，

，

，求三棱锥

的外接球的体积.解：如图，三棱锥

可补形一个正方体，

则三棱锥

的外接球的半径为

则三棱锥

的外接球的体积为

返回目录知识应用——长方体模型例2:在三棱锥

中，

，

求该三棱锥外接球的表面积。解：因为

所以可以将三棱锥

如图放置于一个长方体中，设

长方体长，宽，高分别为

返回目录知识应用——长方体模型变式训练一1.三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

，求其外接球的表面积。2.三棱椎

的底面

是等腰直角三角形，

，且

，

，求三棱椎

外接球表面积。3.棱长为

的正四面体的顶点在同一球面上，求该球面的表面积。返回目录延迟符类型1：有一条侧棱垂直于底面、底面是直角三角形或矩形的棱椎都可补形

为正方体或长方体.抽象归纳：补形为正方体、长方体的类型返回目录延迟符类型2：对棱相等的三棱椎都可补型为正方体或长方体。抽象归纳：补形为正方体、长方体的类型返回目录注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱柱.如图：先将直棱柱放进圆柱中，用______________求出r，再建立勾股定理求出R:_______________________.延迟符圆柱、直棱柱、可补形为直棱柱的统称为圆柱型正弦定理数学建模——圆柱模型返回目录知识应用——圆柱模型例3:已知三棱锥

中，

，若

，

，求其外接球的表面积。解：在

，由余弦定理得，

设外接球的半径为R所以

返回目录延迟符抽象归纳：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱柱.返回目录如图：将棱锥放进圆锥中，用______________求出r，再建立勾股定理__________________________求出R.延迟符正弦定理数学建模——圆锥模型返回目录知识应用——圆锥模型例4:正四棱锥

的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为

，求此球的表面积。解：正方形

的对角线的交点为M，则球心在直线SM上，设球的半径为

，则有所以球的表面积为返回目录延迟符抽象归纳：如图：先将直棱锥放进圆锥中，用______________求出r，再建立勾股定理__________________________求出R.正弦定理返回目录用______________求出r1r2，再用勾股定理推导得到：__________________________.延迟符正弦定理直观感知——面面垂直模型返回目录知识应用——面面垂直模型例5:在三棱锥

中，平面

，

是边长为

的等边三角形，

，求该三棱锥外接球的表面积。解：设球的半径为R，过C点作CD垂直AB交AB于D点，为DC的三等分点，

为

外接圆的圆心，

连接PD，PD上一点

是

外心。

分别过

，

点作平面ABC,平面PAB的垂线交于O点，即O是外接球的球心。返回目录延迟符抽象归纳：用______________求出r1r2，再用勾股定理推导得到：__________________________.正弦定理返回目录如图：用__________求出

，再建立方程组，求出R.延迟符正弦定理数学建模——普通二面角模型返回目录知识应用——二面角模型例6:已知三棱锥

，

，且二面角

的大小为

，求三棱锥

外接球表面积。解:设

的中心为

，AB的中点为

，AF的中点为

，分别过

做平面P