新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算学生用书新人教A版必修第二册

向量的数乘运算学习任务1．了解向量数乘的概念．(数学抽象)2．理解并驾驭向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．(数学运算)3．理解并驾驭向量共线定理及其判定方法．(逻辑推理)一只蚂蚁做匀速直线运动，假如蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？学问点1向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的数乘，记作：________，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝_________．②当λ＞0时，λa的方向与a的方向____．当λ＜0时，λa的方向与a的方向____．当λ＝0时，λa＝________．(2)运算律：设λ，μ为随意实数，则有：①λ(μa)＝________．②(λ＋μ)a＝_______．③λ(a＋b)＝______________．特殊地，有(－λ)a＝____________＝_______；λ(a－b)＝________．(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是____．对于随意向量a，b，以及随意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_________．1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．若λa＝0，则确定有a＝0吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学问点2向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______．定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是随意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＝λb⇒a与b共线． ()(2)若a与b共线，确定有a＝λb． ()(3)若a，b不共线，则a，b中任何一个均不为0． ()2．化简：2(3a＋4b)－8a＝________．类型1向量的线性运算【例1】化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9a+(2)123a+(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．[跟进训练]1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满意关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2用已知向量表示相关向量【例2】如图，D是△ABC的边AB的中点，则CD＝()A．BC－12BA B．－BCC．－BC－12BA D．BC_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________用已知向量表示其他向量的方法(1)干脆法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．(2)方程法：当干脆表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．(3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则OM＝OA+[跟进训练]2．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE等于()A．12a－b B．12aC．a＋12b D．a－1类型3向量共线定理【例3】设a，b是不共线的两个向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．[思路导引](1)OA，OB，OC(2)8a＋kb与ka＋2b共线→8a＋kb＝λ(ka＋2b)．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．证明或推断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．2．利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常依据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．[跟进训练]3．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R(1)若a＝13，b＝23，求证：A，B，(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是()A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的2C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于()A．12(a－b) B．－12(a－C．12(a＋b) D．－12(a＋3．13124．已知O，A，B是平面内随意三点，点P在直线AB上，若OP＝3OA＋xOB，则x＝________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．向量λa的几何意义是什么？2．向量共线定理的内容是什么？3．如何利用向量共线定理证明A，B，C三点共线？6.2.3向量的数乘运算[必备学问·情境导学探新知]学问点1(1)向量λa|λ||a|相同相反0(2)(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb(3)向量λμ1a±λμ2b思索1提示：不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．思索2提示：不愿定，还有可能λ＝0．学问点2b＝λa课前自主体验1．(1)√(2)×(3)√2．－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．][关键实力·合作探究释疑难]例1解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．(2)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋34b(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．跟进训练1．解：3x-2y=a代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．例2B[法一：∵D是AB的中点，∴BD＝12BA，∴CD＝CB+BD＝－法二：CD＝12(CB+CA)＝12[CB＋(CB+跟进训练2．D[因为E是BC的中点，所以CE＝12CB＝－12AD所以DE＝DC+CE＝AB+CE＝a例3解：(1)证明：∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB，∴AB与∴A，B，C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴8解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．跟进训练3．解：(1)证明：当a＝13，b＝2OC＝13OA＋所以23(OC-即2BC＝CA，所以BC与CA共线．又BC与CA有公共点C，所以A，B，C三点共线．(2)a＋b为定值1，理由如下：因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC-OA＝λ(OB即OC＝(1－λ)OA＋λOB，又OC＝aOA＋bOB，且OA，则a=1所以a＋b＝1(定值)．[学习效果·课堂评估夯基础]1．ABC[A正确，∵2＞0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．B正确，∵5＞0，∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25C正确，依据相反向量的定义可以推断．D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，∴a－b与－(b－a)为相等向量．故选ABC．]2．