椭圆（教学案）（解析版）

考情解读

1.了解椭圆的实际背景，「解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

卜重点知识梳理，

1.椭圆的定义

在平面内与两定点Fl,F2的距离的和等于常数(大于|分尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的

焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合尸={M|MF||十|MF2|=2〃},|QBI=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若。=°,则集合P为线段;

(3)若则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

2,222

%方=1

标准方程5+A】

(a>b>0)(a>b>0)

图形

-a<x<a-b<x<b

范围

—b<y<b-a<y<a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

性A|(—4,0),42(〃，0)Ai(0,~a),42(0,a)

顶点

质5(0,一份,&(0,b)BK—b,0),B?(b,0)

轴长轴4曲的长为2a；短轴8岛的长为2b

焦距\m=2c

离心率0=加(0，1)

c2="_/

a,b,c的关系

高频考点一椭圆的定义及其应用

2,2

【例1】(1)已知椭圆，+，=1的两个焦点是尸”出，点P在该椭圆上，若|PQITPa|=2,则吊尸2

的面积是()

A.&B.2C.2^2D.小

22

(2)与圆C1：(X+3)+/=1外切，且与圆C2：(X-3)+/=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.

解析⑴由椭圆的方程可知a=2,c=小,且仍尸||+『尸2尸2"=4,又|PF||一|PF2l=2,所以|PQ|=3,

又|QF2|=2c=2啦，所以有|PQ『=|PF』+|QB|2,即△尸QB为直角三角形，且/尸出尸为直角，

所以5""2=枭同叱1=926X1=啦.

(2)设动圆的半径为r,圆心为尸(X,y),

则有|PG|=r+l,|PC2|=9-r.

所以|PG|+|PC2|=10>|C|C2|,

即P在以G(—3,0),C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

fv2

得点P的轨迹方程为芯+讳=1.

答案(1)A⑵生+,=1

【举一反三】(1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为。，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折

叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为8,设CD与OM交于点尸，则点尸的轨迹是()

(2)已知是椭圆C：夕+*=1(440)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且后'」沌.若△尸尸匹

的面积为9,则b=.

解析(1)由条件知|PM=|PB

：.\PO\+\PF]=\PO\+\PM\=\OM\=R>\OF\,

・・・。点的轨迹是以O,b为焦点的椭圆.

(2)由椭圆的定义知|PF||+『F2|=2mPF\LPF2,

...|PF/+『G2=|QF『=4C2,

.••(|「居|+『成/一2|PQ||PGI=4C2,

222

.*.2|PF|||PF2|=4a-4c=4/?.

•••1尸碎仍修1=2层，

.♦.S△尸尸1尸2=习尸产|1仍尸21=产2廿=4=9.

：.h=3.

答案(1)A(2)3

规律方法椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是

当尸在椭圆上时，与椭圆的两焦点Q,&组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长：利

用定义和余弦定理可求产品HPaI；通过整体代入可求其面积等.

fv2

【变式探究】⑴已知Q,尸2是椭圆言+方=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于4,8两点，在△AQB

中，若有两边之和是10,则第三边的长度为()

A.6B.5

C.4D.3

22

(2)与圆G：(x+3)2+y2=i外切，且与圆C2：(Jr-3)+y=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为

|4Q|十|AF2|=8,

解析(1)由椭圆定义知,

|8川+田项=8,

两式相加得|AB|+|AFi|+出居|=16,

即△4Q8周长为16,又因为在△4QB中，有两边之和是10,所以第三边长度为16-10=6.选A.

(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PG|=r+l,|PC2|=9一匚所以|PG|+|PC2|=10>|CC|,

即P在以C|(一3,0),C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

22

得点P的轨迹方程为为=1.

JO

22

答案(1)A(2南+汽=1

高频考点二求椭圆的标准方程

【例2】(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点Q,尸2在x轴上，离心率为坐.过

Q的直线/交C于4,8两点，且aABF?的周长为16,那么椭圆C的方程为.

2

(2)设尸I，尸2分别是椭圆E：¥+5=1(0<*1)的左、右焦点，过点为的直线交椭圆E于A,B两点.若

|4F||=3|QB|,轴，则椭圆E的方程为.

(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为

解析⑴设椭圆方程为5+fr=l(a>b>0)，由6=察知?=哗,故乡=:

C<-U4L<4C*L

由于△ABF2的周长为|AB|+由F2l+|AF2l=(|AQ|+|AF2l)+(|8Fil+出「21)=4。=16,故a=4.

.•.从=8,.•.椭圆C的方程为金+'=1.

10o

2

(2)设点A在点8上方，F|(-c,0),F2(C,0),其中c=Ml一1,则可设A(c,b),B(x0,y0),由|AQ|

—2c=3(的+c),

可得尸故，

=3|Q2|,A|=3F|B,2

-h=3y0,

25(1—A2)1

代入椭圆方程可得二一g——+，=1，

得h2=j,故椭圆方程为了+亨=1.

22

(3)法一若椭圆的焦点在x轴上，设方程垮+%=1(。>6>0).

12a=3x2b,

由题意得jz+2=[

2

解得4，=3，所以椭圆的标准方程为X卷+产)=1.

b=l.)

22

若焦点在y轴上，设方程为步+京=1伍>。>0).

2a=3x2〃，

a=n9,

由题意得[工+2=]解得[=3

所以椭圆的标准方程为袅+^=1.

O17

综上所述，椭圆的标准方程为与+尸=1或於+'=[

22(—9—11(—9

法二设椭圆的方程端+1=1(%>0,〃>0,%初)，则由题意知宁一‘或伊

2*7^=3x2g2币=3*251,

m=9,

解得

“=81.

•••椭圆的标准方程为》+丁=1或S+与=L

答案⑴金+3=1(2*+与=1(3廿+/=1或点+]=1

【方法规律】根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法.定义法的要点是根据题目

所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系

数a,h.

【举一反三】（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（一去1）,（小，小），则椭

圆方程为.

22

（2）过点（小，一而，且与椭圆总十方=1有相同焦点的椭圆标准方程为.

解析（1）设椭圆方程为处;2+町？=1（勿2,n>0»

由《（2）"+（D"-1'解得m=:,/J=YQ.

、3m+5几=1,

22

椭圆方程为的+卷=1.

22

（2）法一椭圆套+§=1的焦点为（0,-4）,（0.4）,即c=4.

由椭圆的定义知，2a=7（4一0）2+（-小+4）2+

y]（•>/§—0）2+*（—y[5—4）2,解得a=2小.

由02="2—从可得"2=4.

V?r2

所以所求椭圆的标准方程为苏+]=L

法二设所求椭圆方程为37+三=1也<9）,将点（小，一小）的坐标代入可得心今二+」四二=

NDKyKUK'zK

y2£

1,解得攵=5（攵=21舍去），所以所求椭圆的标准方程为本+，=l.

2222

答案（1启+钎1（2）^+7=1

【变式探究】⑴己知椭圆的中心在原点，离心率e=T，且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,

则此桶圆方程为（）

A-4+f=1Bf+6=1

22

C.g+y2=lD$+y2=]

（2）已知居（一1,0）,&（1，0）是椭圆C的两个焦点，过尸2且垂直于x轴的直线交C于A,8两点，S.\AB\

=3,则C的方程为.

22

解析（1）依题意，可设椭圆的标准方程为a+卓=1（。>6>0）,由己知可得抛物线的焦点为（-1,0）,

所以c=l,又离心率e=A/解得。=2,呈=“2_°2=3,所以椭圆方程为W1,故选A.

（2）依题意，设椭圆C：力+*=l（”>b>0）.

过点尸2（1，0）且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|A8|=3,

•••点40，1）必在椭圆上,

1Q

'彳+/=>①

又由C=l,得1+。2=『.②

由①②联立，得y=3,a2=4.

2

故所求椭圆C的方程为］f十］V=1.

答案（1）A（2）j+f=l

高频考点三椭圆的几何性质

例3、（1）（2016•全国HI卷）已知。为坐标原点，F是椭圆C：力+方=l（a>Z>0）的左焦点，A,8分别为

C的左、右顶点.P为C上一点，且尸轴.过点A的直线/与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线

经过OE的中点，则C的离心率为（）

1123

--C-D-

A.3234

（2）已知椭圆£：5+齐=1（。>/»0）的右焦点为凡短轴的一个端点为M,直线/：3工一4），=0交椭圆£于

A,3两点.若|4F|+|8f］=4,点M到直线/的距离不小于点4则椭圆E的离心率的取值范围是（）

A.

惇

解析（1）设例（一c,m）,则40,詈），OE的中点为力,

则2（a-c））,又以D,例三点共线，

所以巴）-=年，所以a=3c，所以e=；.

(2)设左焦点为Fo,连接RAF°B,则四边形4FBa为平行四边形.

"：\AF]+\BF\=4,

...|AF1+|A尸o|=4,：.a=2.

【举一反三］(1)已知点Q,B是椭圆寸+2y2=2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点,

那么|刀叶方4的最小值是()

A.0B.1C.2D.2吸

22b

(2)(2015•浙江)椭圆/x+*v=1(“>6>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=pr的对称点。在椭圆上，则

椭圆的离心率是

答案(DC

解析⑴设P(x(),%)，则两产(一1一x(),~yo),

际2=(1一回，一%)，.•.P?I+P?2=(-2X0,-2%),

.•.|丽+#21=44君+而

—2^/2—2,yo+vo

=2寸—%+2.

:点P在椭圆上，.•.OWyQl,

.•.当/=1时,严i+四2|取最小值2.故选C.

(2)设椭圆的另一个焦点为人(一c,0),如图，连接QQ,QF,设。厂与直线)，=%交于点M.由题意

知M为线段0尸的中点，且OM_LF。.

乂O为线段QF的中点,

:・F\Q〃OM,

：.F]QLQF,\F}Q\=2\OM\.

\MF\b

在RlZ\M。/中，tanZMOF={p^=-,\OF\=c,

o'be

可解得|OM=Z，|MF|=—,

故|Qfl=2|MQ=平，QQ|=2|0M|=手.

2bc2c?

由椭圆的定义得iQ/q+iQai=H+q-=2〃，

整理得0=c,a=ylF+J=啦C,故c=B=乎.

fyo_bxQ+c

方法二设Q（xo，y0）»则尸。的中点坐标（W、，叫，kFQ=>,依题意<

1/J的c_y（）b_

/（）-cc

「c(^—a2

I即=2f

解得〈c,2a又因为(Xo,%)在椭圆上，

2bc

卜产才，

JJ—/-43、

所以-----7------+丁*=1,令c=7则4J+e2=］,

离心率e=^.

［感悟提升］(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧

①注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中尤，y的范围，离

心率的范围等不等关系.

②利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的

基本量时，要理清它们之间的内在联系.

(2)求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式，利用/=/+02

消去儿即可求得离心率或离心率的范围.

v-22

【变式探究】已知椭圆G：》+*v=l(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为G上任一点，MN是

圆C2：f+G—3y=1的一条直径，与AP平行且在y轴上的截距为3—6的直线/恰好与圆C2相切.

(1)求椭圆G的离心率；

(2)若的最大值为49,求椭圆C1的方程.

解⑴由题意可知，直线/的方程为云+cy—(3-啦)c=0,

因为直线/与圆C2：3尸=1相切，

所以1=艮石黠件=1,化简得c2=b2,

yjbz+c

即/=2c2,从而《=坐.

(2)设P(x,y),圆C2的圆心记为C2(0,3),

?y2

则W+£=l(c>0)，

乂因为扁・俞二(元2+或)•(市+EM

=(记2—改・(12+改=而一奇2

=x2+(y—3)2—1

=一。+39+2。2+17(—c<y<c).

①当空3时，

(前•前max=17+2,2=49,

解得c=4,

22

此时椭圆方程为壬+的=1;

②当0<c<3时，

22

(PM-mnax=-(-c+3)+17+2c=49,

解得C=±5A/2-3.

但c=—5立一3<0,且c=5立一3>3,故舍去.

92

综上所述，椭圆C1的方程为%+t=1.

考点四直线与椭圆的位置关系

【例4】设圆f+y2+2x-i5=0的圆心为A,直线/过点8(1,0)且与x轴不重合，/交圆A于C,

。两点，过8作AC的平行线交AO于点£

(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C”直线/交G于M,N两点，过B且与/垂直的直线与圆A交于尸，Q

两点，求四边形MPN。面积的取值范围.

(1)证明因为|A/)|=|AC],EB//AC,

故NE8O=NAC£>=NAOC,所以|E8|=|E&,

^\EA\+\EB\=\EA\-\-\ED\=\AD\.

又圆A的标准方程为(x+l)2+y2=16,从而|A£)|=4,

所以|EA|+|EB|=4.

由题设得4(-1,0),8(1,0),\AB\=2,

22

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：j+f=l(j^0).

⑵解当/与x轴不垂直时，设/的方程为)，=©x-l)(�),M(Xi,v),Ngy2).

y=k(x—1),

由2得(4必+3以2—8^x+4F—12=0.

[4+T=1

n„,8炉4&2-12

则两+也=赤？僦2=旃p

所以|MN|=，7而比一功|=12+~

过点8(1,0)且与/垂直的直线〃?：y=-kr-1),A到机的距离为万圣=,

14A-+3

2

所以|PQ|=2'4-1炉+1.

故四边形MPNQ的面积

S=^MN\\PQ\=124必+3,

可得当/与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为（12,8小）.

当/与x轴垂直时，其方程为x=l，|MM=3,|P0|=8,故四边形MPN。的面积为12.

综上，四边形例PNQ面积的取值范围为［12,8小）.

22

xv

【举一反三】如图，椭圆夕+5=13>6>0）的左，右焦点分别为Q,F2,过F2的直线交椭圆于尸、Q

两点，且PQ_LPQ.

6。

（1）若|「川=2+正，哂=2-木,求椭圆的标准方程;

（2）若|PQ|=|PQ|,求椭圆的离心率e.

解（1）由椭圆的定义，

2a=|PQ|+|P尸21=（2+嫄）+（2-娘）=4,故a=2.

设椭圆的半焦距为c,由已知PF|_LPF2，

因此2c=|QB尸A/IPQJ+FGF

=y/+y[22+~一42=2小,

即c=小，从而b—yjcr—c2—1.

2

故所求椭圆的标准方程为5+尸=1.

22

(2)方法一连接尸Q如图，设点P(x(),外)在椭圆上，且PQUJ，则我+§=L岔+yAE

求得尤o=±pja2-2/J2,

b2

由|PQ|=|PQ|>|PF2l得网)>0,从而

|喃=悝写史+J+&

—2(a2—b?)+2a\]a2—2b2=(a+yja2—2b2)2.

由椭圆的定义，\PFt\+\PF2\^2a,|。尸||十|。「2|=2小从而由|尸人|=|尸。|=|尸或+|。尸2|,有|QQ|=4a

-2|PF||.

又由PF」尸Q,\PFt\=\PQ\,知|。又|=啦/尸1|,

因此，(2+&)|PQ|=4a,

即(2+y[2)(a+yja2—2/J2)=4a,

于是(2+也)(1+#2/-1)=4,

方法二如图，由椭圆的定义，\PFx\+\PF^=2a,

1。吊1+1。同=2&

从而由I=IP0I=|尸产21+1。&1，

有|QFil=4a-2|PF1|.

乂由PF」PQ,|PQ|=|PQ|,知尸啦|PQ|,

因此，4a—2|PF||=g|PQ|,得|尸代|=2(2—&)”，

从而|P&|=2“一|PQ|=2a—2(2-m)a=2(6-1)&

由PFJPF2,知|PF『+|PF,|2=|QA|2=(2C)2,因此

N|PQ|2+|P&『

=7-\/2~~A/2—5

=79—&\[^=乖一遮

【变式探究】已知椭圆C：f+3),2=3,过点。(1,0)且不过点E(2,l)的直线与椭圆C交于A,8两点,

直线AE与直线x=3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线的斜率；

(3)试判断直线8M与直线OE的位置关系，并说明理由.

解(1)椭圆C的标准方程为方+)2=1,

所以〃=小，b=I,c=y/2.

所以椭圆C的离心率e土坐.

(2)因为A8过点0(1,0)且垂直于x轴，

所以可设A(l,>,i)>8(1,—V),

直线AE的方程为>一1=(1一月)。-2),

令x=3,得M(3,2—力)，

所以直线BM的斜率.17辛』.

(3)直线与直线OE平行，证明如下：

当直线A8的斜率不存在时，由(2)可知加“=1.

1—0

乂因为直线DE的斜率跖甘===1,所以

当直线A3的斜率存在时，设其方程为y=k(x—1)(厚1),设A3,乃)，Bg,竺)，则直线的方程为

>)|—I

y一|三二^(L2).

X]Z

令x=3,得点从3,3)，

x2+3y2=3,

由得(1+3k2)x2-6k2x+3炉一3=0,

y=kx-

3&2-3

所以由+工2=]+3*，-72=1+3庐

Vi+x|-3

直线BM的斜率kBM=•a-

3—尤2

因为攵8A/-1

kjq—+》]—3一/伤一两———M两一

一应无।一

k——X1X2+即+42-3]

-x2X]—

广3〃+312a1

11+3后+1+323J

X1X|

所以kBM=I=k1）E，所以BM//DE.

综上可知，直线8M与直线。上平行.

真题感悟

1.（2018年全国I卷）已知椭圆目：«+的一个焦点为区©，则目的离心率为

TT

C唱D.

人

3一B.2-

一

一

【答案】C

【解析】根据题意，可知日，因为卜2=4所以匹匹匹J即la=2泪,所以椭圆目的离心率为

.故选C.

2.（2018年全国卷H）已知F],F?是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF】±PF2）^¥^^60°,

则C的离心率为

J3l币Tr

A.1-—B.2-日C.、—D.行1

22

【答案】D

【解析】在AFiPF2中，^F1PF2=90°,Z.PF2F1=60°

设|PFJ=m,则2c=IFF)=2m,|PF1|=由m,

又由椭圆定义可知2a=|PFi|+|PF2l=(^+l)m

一一c2c2m

则离心率e=-=一=—^-----=百r一1,

a2a(g+l)m

故选D.

2

3.(2018年浙江卷)已知点尸(0,1),椭圆土+小必(山〉1)上两点A,8满足法2曲,则当nF

时，点5横坐标的绝对值最大.

【答案】5

【解析】设人因必店值刃，由a=2而得—=与，1'=2%-1)，・­丫1=2y2-3,

22

因为A,8在椭圆上,所以:+y；=m,"+y：=m,

2

4X2

2x2m

--------F=m,・'-----+

44

与"+y：=m对应相减得丫2=彳之^=102-10!11+9)<4,当且仅当m=5时取最大值.

22

4.(2018年全国III卷)已知斜率为k的直线L与椭圆c・、•+匕=1交于A,B两点.线段AB的中点

43

为|M(l,m)(m>01

(1)证明：|kv[;

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且|而+"+由=4证明：〔2|由=|3|+而.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

(2)由题意得产(1,0).设P(x3，yJ,则

氏-1，y»+（xi-i,丫1）+口2-1,y；）=（o,0）.

由（1）及题设得X3=3-（X1+xQ=1,33=d+丫2）=2m<0.

X；X]

于是=J(x「l)2+y；=!(^-1)2+3(1-^)=2--

同理曲|=2-生

2________

rzii

所以FA+FB=4-5(X1+x-=3.

故12而广函+园.

的右顶点为人上顶点为8已知椭圆的离心率为目,

5.(2018年天津卷)设椭圆一+匕=l(a>b>0)

a?/

阴

(I)求椭圆的方程；

(II)设直线Fkx(k<0』与椭圆交于巨d两点，口与直线屈交于点M,且点尺”均在第四象限.若叵虱

的面积是叵困面积的2倍，求a的值.

【解析】

(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得『I，又由匹匹耳，可得匹国.由||AB尸』2+b2=74从而

|a=3,b=%所以，椭圆的方程为「+'=].

(II)设点。的坐标为|(X],y",点M的坐标为区回，由题意，卜2>:川,

点口的坐标为(-Xp-yp.由|△BPM|的面积是I△BPd面积的2倍,可得卜PM|=2|两,

从而0-X1=2[Xi-(-X])],BPX2=5X1

易知直线国的方程为|2x+3y=&由方程组fx；1在6,消去必可得=£

,由卜2=5xJ,可得际+4=5(3k+2),两边平方，整理得18k?+25k+8=0，解得卜=-J

符合题意.

所以，的值为1.

X2y2=l(a>b>0)的离心率为肉，焦距为瓯.斜率为衣的直线，与

6.(2018年北京卷)已知椭圆M:—+上

a2b2

椭圆"有两个不同的交点4B.

(I)求椭圆"的方程;

(ID若IE，求画的最大值;

(HI)设忸-2同,直线必与椭圆"的另一个交点为C,直线如与椭圆，"的另一个交点为〃若C〃和

点Q(-；j共线，求上

【答案】(I)y=1

(II)烟

(ill)0

【解析】(I)由题意得12c=2a所以|c地,

又,所以丘工，所以匹工目，

所以椭圆封的标准方程为

(II)设直线®的方程为|y=x+m|,

y=x+m

X2,77

2消去秋可得4x+6mx+3m~-3=5

1产1

则k=36m2-4x4(3m2-3)=48-12m2>d，即32<4,

设1A(Xi'y"，忸⑸》以,则3m3m2-3

X1+X2=-3，X,=

1X4

则|AB|=Ji+k2|Xi-x|=Jl+k2-J(X]+x/-4x^2=乖

2:m

易得当|m2=d时,回考二调，故国的最大值为困.

(III)设A(X]M),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

则x；+3y；=3①，x；+3y；=3②,

又E'所以可设k「kpA=—'直线题的方程为叵旦,

,y=k((x+2)

由(x?+2_1［肖去口可得(1+3k；)x2+12k；x+12k；-3=0,

-7Xj-12y1-7x2-12y2

所以°(4xi+7Zxi+/同理可得D(--------,------；

4x2+74X,+7

-7171

故QC=(X3+jy3-/,QD=(x4+-y4--),

I7j7j-

因为|Q,C,D|三点共线，所以卜3+;)(y4--)-(x4+-)(y3--)=c

将点团的坐标代入化简可得口±=i,即日.

7.（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（石；）,焦点》（一祗0）瓦（石

圆。的直径为FiF2.

（1）求椭圆。及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点。的坐标;

②直线/与椭圆。交于A,B两点.若AOAB的面积为工，求直线/的方程.

7

2

【答案】（1）椭圆。的方程为?+y2=l；圆。的方程为x?+y2=3

（2）①点夕的坐标为（屈1）；②直线/的方程为y=-叔+3"

【解析】（I）因为椭圆C的焦点为耳（-祗0*2（祗0）,

可设椭圆。的方程为土+匕=l（a>b>0）.又点（祗-）在椭圆C上，

a2b22

,31

所以a24b2，，解得：2=：

|a2-b2=3,

2

因此，椭圆。的方程为^+y2=l.

4

因为圆。的直径为F#2,所以其方程为x?+y2=3.

（2）①设直线/与圆。相切于P（Xo，yQ）（Xo>Oy。>。），则4+丫。、?,

洵^^)3

所以直线1的方程为丫=-—(x-XQ)+y0，B|Jy=--x+—.

YoYoYo

2

X2

—+y=i,

由“。，消去y，得

xo3

y=--x+—,

y0y0

222

(4XQ+yo^x-24XQX+36-4y0=0.(*)

因为直线1与椭圆「有且只有一个公共点，

22

所以A=(-24%)2-抬4Ko2+y02)(36-4y^)=4870(^-2)=0.

因为海丫0>0,所以X。=m,y0=1.

因此，点2的坐标为(也1).

②因为三角形04少的面积为4回所以1AB・OP=48，从而AB=SZ.

7277

设人仪必启&刃,

所以AB?=(Xj-x/+(yj-yj)2

277

Xo48丫。-&2-2)

(1

(4xo2+y2)2

Yoo

22

0>9x0+y0=3.

,16(XO--2)32,、

42

所以AB?=--------=—,即2x0-45xo+100=0,

2249

(x0+l)

解得舍去)，则y02=；，因此〃的坐标为(半

1.[2017•北京高考]已知椭圆C的两个顶点分别为4—2,0),8(2,0),焦点在x轴上，离心率为坐.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点。为x轴上一点，过。作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点例，N,过。作4M的垂线交

8N于点E.求证：△8OE与△B£W的面积之比为4：5.

22

解(1)设椭圆C的方程为＞+夕=1(＜7＞。＞0),

’4=2,

由题意得＜S解得c=小，所以62="2一,2=[,

G=2，

2

所以椭圆C的方程为?+y2=l.

(2)证明：设M(m,〃)，则。(〃z,0),N(m,一办

由题设知，/±2,且际0.

直线4M的斜率^

故直线DE的斜率

所以直线DE的方程为y=一黑工(x-zn),

直线BN的方程为),=2二〃产-2).

7n+2

y-7-x-m,

联立《

解得点E的纵坐标.y£=_4—〃/+笠・

cc4

由点M在椭圆C上，得4一病=4〃2,所以加=一5儿

一12

又S^BDE=^BD\-\y^=5|BD|-\n\,

5必。可=习5£)卜|川，

所以△8£＞E与△6ON的面积之比为4:5.

2.12017浙江，2】椭圆二+匕=1的离心率是

94

4V13君25

A.-----B.----C,-D.一

3339

【答案】B

【解析】e=^m=正，选艮

33

22

3.【2017课标1,文12】设4、8是椭圆(7：±+二=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足NAMB=120。,

3m

则m的取值范围是

4.(0,1][9,+oo)B.(0,向[9,+oo)

C.(0,1][4,+^)O.(0,V3][4,+o>)

【答案】A

【解析】当0＜加＜3,焦点在x轴上，要使C上存在点例满足N40B=12O,则@2如160=#，

b

即得0＜加k1；当机＞3,焦点在y轴上，要使C上存在点M满足NAMB=120,则

ylm

-＞tan60=6，即匹得加29,故机的取值范围为(0,l]u[9,+oo),选A.

b6

v

4.12017课标3,文11］已知椭圆C：-y+7T=l,（a>Z?>0）的左、右顶点分别为4,A2,且以

ab-

线段4A2为直径的圆与直线加一ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）

瓜6母、

A-B.C.---D.一

3333

【答案】A

【解析】以线段A4为直往的圆的圆心为坐标原点（0,0），半径为r=a，圆的方程为

广2+y2=优2，

直线版一做+2时=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d=。=a,

\la2+b2

整理可得。2=3"