高中数学习题3：圆与方程全章综合测试

单元测评(四)圆与方程

(时间：90分钟满分：120分)

第I卷(选择题，共50分)

一'选择题：本大题共10小题，共50分.

1.点A(2ma—1)在以点C(0,l)为圆心，半径为小的圆上，则。的值

为()

A.±1B.0或1

C.-1或gD.-g或1

解析：由题意，已知圆的方程为好+3-1)2=5,将点A的坐标代入圆

的方程可得a=1或a=—

答案：D

2.直线旷=区+1与圆/+y2=l的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相交或相切D.不能确定

解析：直线1过定点(0,1),而点(0,1)在圆炉+9=1上，所以直

线与圆相交或相切.

答案：c

3.点尸(%,2,1)到点41,1,2)、3(2』」)的距离相等，则％等于()

A.gB.1

3

C，2D.2

解析：由题意，|网=|尸引,

1)2+(2-1)2+(1—2)2

=^/(A：-2)2+(2—1)2+(1—I)2,

即x=\.

答案：B

4.直线％—y+4=0被圆％2+,2+4尤一4卜+6=0截得的弦长等于()

A.8B.4

C.2&D.472

解析：/+丁+以一4丁+6=0化为标准方程为(x+2)2+(y-2)2=2.

圆心(-2,2)在直线％—>+4=0上.

...被截得的弦长为直径2夜.

答案：C

5.若方程(+产-%+>+根=0表示圆，则实数机的取值范围为()

A./nV；B.m<0

-1J

C.m>2D.m^2

解析：,二(-1)2+12—4m>0,.,./%<；,故选A.

答案：A

6.直线/与圆C：小+>2+2%—4y+a=0(a<3)相交于A,3两点，弦

A3的中点为。(0,1),则直线/的方程为()

A.%—y+l=0B.%+y+l=0

C.x—y—1=0D.x+y—1=0

解析：圆C的圆心坐标为(-1,2),弦A3中点。(0,1),.,"=,10=

-1,：.kAB=—j^=\,

.•.直线/的方程为y—1=%—0,即：％—y+l=0.

答案：A

7.与直线％+>-2=0和曲线X2+>2—12%—12》+54=0都相切的半径

最小的圆的标准方程是()

A.(%—2>+(厂2)2=2

B.(X+2)2+G+2)2=2

C.(%—2)2+(y+2)2=2

D.(%+2)2+。-2)2=2

解析：设所求圆的标准方程为(1一。)2+(丁一份2=汽如图，当已知圆与所

求圆圆心连线垂直于已

知直线时，半径最小，此时2r+3也等于已知圆圆心到已知直线的距离，

解得：a=2,b=2.

所求圆的标准方程为(x—2)2+(>一2)2=2.

答案：A

8.圆(%—3)2+。-3)2=9上到直线3x+4y-ll=0的距离等于2的点

有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：(3,3)到直线3%+—-11=0的距离4=1=~:~-------=2,而

圆的半径为3,故符合题意的点有2个.

答案：B

9.方程五，=lgx的根的个数是()

A.0B.1

C.2D.无法确定

解析：设段)=出一%,g(%)=lg%,则方程根的个数就是於)与g(%)两个

函数图像交点的个数.如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函

数的图像.

由图可得函数八%)="\/4—%2与g(%)=lg%仅有1个交点，所以方程仅有1

个根.

答案：B

10.把圆/+y2_|_2x—4y—'层―2=0的半径减小—单位则正好与直线

3X一4丁一4=0相切，则实数。的值为()

A.-3B.3

C.-3或3D.以上都不对

解析：圆的方程可变为(%+1)2+。-2)2=4+7,圆心为(一1,2),半径

为外”+7,由题意得^~[3；+],*=/次+7—1,解得a=±3.

答案：c

第II卷(非选择题，共70分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11.以原点O为圆心且截直线3%+4y+15=0所得弦长为8的圆的方

程是.

解析：原点o到直线的距离d=।7=3,设圆的半径为「，.,.3=

32+42=25,...圆的方程是必+9=25.2

答案：x1+y2=25

12.过点A(4,l)的圆C与直线％—y—1=0相切于点3(2,1),则圆C的

方程为__________

解析：由题意知A、3两点在圆上,

.•.A3的垂直平分线％=3过圆心，又圆C与直线芯一＞一1=0相切于点

8(2,1),：.kBC=-\,直线BC的方程为y=-x+3,

二.圆心坐标为(3,0),：.r=yf2,

圆的方程为(x—3)2+丁=2.

答案：(%—3)2+y=2

13.直线y=%+〃与曲线％=尸了有且只有1个公共点，则b的取值

范围是.

Ay

解析：曲线州=Rl-y2可化为％2+y2=i（X20）,它表示单位圆的右半部

分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时h=~y[2,其

他位置符合条件时需一lVbWl.

答案：。=一娘或-1V0W1

14.已知圆C过点（1,0）,且圆心在％轴的正半轴上，直线/：y=x-1

被圆C所截得的弦长为2娘，则过圆心且与直线/垂直的直线的方程为

解析：设圆心（4,0）（。＞0）,

（\a-1|Yi-..

.,.二+（也）2=|。一1匕

.,.a=3..•.圆心（3,0）.

.•.所求直线方程为％+y—3=0.

答案：%+厂3=0

三'解答题：本大题共4小题，满分50分.

15.（12分）求平行于直线3%+3y+5=0且被圆（十丁=20截得长为6啦

的弦所在的直线方程.

解：设弦所在的直线方程为x+〉+c=0.①

、IdId

则圆心（0,0）到此直线的距离为d=।=^2-

（6分）

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以［弱2+（3也）2

=20.（10分）

由此解得c=±2,代入①得弦的方程为％+y+2=0或x+y~2=0.（12

分）

16.（12分）已知圆C的方程是（%—1）2+。-1）2=4,直线I的方程为y

求当m为何值时，

（1）直线平分圆；

（2）直线与圆相切.

解：（1）..•直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m=0.（4分）

（2）二•直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

..|l-l+m|\m\八

."一严E?一也一

m=±2^2.（10分）

即加=±2啦时，直线/与圆相切.（12分）

17.（12分）点A（0,2）是圆_?+产=16内的定点，B、C是这个圆上的两

个动点，若区4_LCA,求8C中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲

线.

解：设点M（x,y）,因为M是弦3c的中点，故。M_L3c.（2分）

又：ZBAC=90°.

A\MA\=^\BC\=\MB\.（6分）

V\MB^=\OB^~\OM\2,

：.\OB\2=\MO\2+\MA\2,即42=（%2+>2）+［（%-0）2+&-2）2］,化简为/

+产—2y-6=0,

即％2+3—1）2=7.（10分）

，所求轨迹为以（0,1）为圆心，以由为半径的