高中数学《导数的概念及其意义》同步练习与答案解析

选择性必修二《5.1导数的概念及其意义》同步练习

一、单选题

1.已知曲线=在％=a(a>0)处的切线方程为3x-y+l=0,则函数

》=闻"+4图象的对称轴方程为()

A.x=—3B.x=—C.x=lD.x=3

3

2.设点P是函数/(x)=2e*-_y'(0)x+/'(l)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角

为a,则角a的取值范围是()

3.若实数a,4c,d满足止电@=匕±=1，则(a—c)2+S—d)2的最小值为()

bd

A.2B.272C.4D.8

4.直线/：丁=履+6是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=ln(e2*)的公切线，则匕=

()

A.2B.~C.In—D.ln(2e)

5.将曲线〃x)=lnx绕着点(0,-1)逆时针方向旋转，后与y轴相切，则，的最小正值是

()

6.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=d和>="2+?%_9(。。0)都相切，则。的值

为()

―25_217_257-

A.—1或----B.-1或—C.——或----D.——或7

6444644

二、多选题

7.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企

业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=/(0,用J”f(a)的

b-a

大小评价在3,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的

污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为()

B.在与时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

C.在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

D.甲企业在［0,UM］,,，4］这三段时间中，在［0,%］的污水治理能力最强.

8.己知函数/(x)=Asin((vx+e)(A>0M>0,闹的图象如图所示，令

g(x)=/(x)+/'(x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()

A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=bzeZ)

B.函数g(x)的最大值为2&

C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线1：y=3x-l平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为西，々，则匡―引最小值为y

9.在直角坐标系内，由A，B,C,。四点所确定的“N型函数”指的是三次函数

/(%)=加+加+cr+d(aoO),其图象过A，D两点,且/(x)的图像在点A处的切

线经过点3,在点。处的切线经过点C.若将由A(0,0),3(1,4),C(3,2),D(4,0)

四点所确定的“N型函数”记为y=/(x),则下列选项正确的是()

A.曲线y=/(x)在点。处的切线方程为y=-2x+8

B./(x)=1x(x-4)(x-8)

C.曲线y=/(x)关于点(4,0)对称

D.当4WxV6时，/(x)>0

三、填空题

10.若lim/(%+3©)-/(/)=1,则/，(/)=______.

△x5)Ax

5-3x,x>0

11.己知函数/(x)=4c且〃T)=/⑴，则曲线y=/(x)在点(一2,/(-2))

x+a,x<0

处的切线方程为.

12.若点P(a,。)在函数)，=一/+3111》的图象上，点。(c,d)在函数y=x+2的图象

上，则忸。|的最小值为.

四、解答题

13.已知函数〃x)=；d—x2+2,用为函数/(%)图象上一点，曲线y=/(x)在〃

处的切线为/.

(1)若M点坐标为(0,2),求切线/的方程；

(2)求当切线/的斜率最小时M点的坐标.

14.泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式

为c(x)=-2x?+7000x+600.

(I)求产量为I000台的总利润与平均利润：

(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量;

⑶求c'(1000)与c'(1500),并说明它们的实际意义.

15.已知函数/(%)=加一加在点(1,〃功处的切线方程为3x+y—1=0.

(1)求实数4，8的值；

(2)若过点(—1,m)(〃件-4)可做曲线y=/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.

16.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建

一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为4,，2，山区边界曲

线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M,N为C的两个端点，测得点M到4,4的距离

分别为2千米和5千米，点N到/,,12的距离分别为4千米和2.5千米，以在的直线

分别为x,y轴，建立平面直角坐标系X0Y，假设曲线C符合函数丁=二(其中a,b

x+b

为常数)模型.

M

(1)求a,b的值；

(2)设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路1长度的函数解析式/(，)，并写出其定义域;

②当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.

答案解析

一、单选题

1.已知曲线/(%)=■?+匕在x=a(a>0)处的切线方程为3x-y+l=0,则函数

>=lg|or+q图象的对称轴方程为()

A.x=-3B.x=--C.x=lD.x=3

3

【答案】A

【分析】

利用导数的几何意义求出的值，然后可得答案.

【详解】

因为/'(x)=3f,曲线/(x)=V+b在x=a(a>o)处的切线方程为3x-y+l=。，

所以/"(a)=3/=3,结合a>0可得a=l

所以/(l)=l+b=4,解得匕=3

所以〉=lg\ax+b\=lg|x+3|图象的对称轴方程为x=—3

故选：A

【点睛】

本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.

2.设点P是函数/(耳=2/-/'(0)%+/'(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角

为a,则角a的取值范围是()

【答案】B

【分析】

在/'(x)中令x=0后可求/'(())=1,再根据导数的取值范围可得tana的范围，从而可

得a的取值范围.

【详解】

•."(x)=2ef(O)x+/'(1),

.•._r(x)=2e-_r(o),.-.r(o)=2-r(o),〃o)=i,"(xH—+r0),

.•.r(x)=2e*—l>—1.

,点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,.♦.tano>-l.

•.■cre[0,^),：.ae(与，冬)

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属

于基础题.

3.若实数4e,/满足色*色=三性=1,贝！13—c)2+S—1)2的最小值为()

bd

A.2B.272C.4D.8

【答案】D

【分析】

将题意转化为求函数y=/-/3与直线y=x-4上任意两点之间距离的最小值的平方的

问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果.

【详解】

因为£—~—=1,故可得。d=c—4,

bd

故点可理解为函数y=f-lnx^=x-上的任意两点.

又y'=2x—L，令y'=l,故可得x=l,

X

即函数y=V-阮c在(1,1)处的切线与y=x-4平行，

又切线方程为：y=x,

则函数y=/-/心在(1,1)处的切线方程与直线y=x-4之间的距离

4

d=2及,

故(a-c)2+S—d)2的最小值即为/=8.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属

综合中档题.

4.直线/：尸依+匕是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线，贝！］。=

()

A.2B.~C.In—D.ln(2e)

【答案】C

【分析】

由/'(x)=k可求得直线/与曲线“力=In(x+1)的切点的坐标，由g'(x)=k可求得直

线/与曲线g(x)=ln(e2x)的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线/的方程，可得出关

于左、。的方程组，进而可求得实数。的值.

【详解】

设直线/与曲线/(x)=In(x+1)相切于点A&,y),直线/与曲线g(x)=In(e2x)相切

于点%))

♦."(x)=In(x+l),则/<x)=」一，由/'(xj=」^=女，可得石

x+1玉+1k

则Y=/(5)=ln(%+l)=-lnZ,即点，

将点A的坐标代入直线/的方程可得-In4=Z——+b,可得)=A-lnA:-l,①

k

••,g(x)=ln(e2x)=2+lnx,则g，(x)=L由g'(x2)='=攵，可得*2=L

X犬2k

必=g(w)=2—ln左，即点8(：,2—lnZ

将点8的坐标代入直线/的方程可得2-lnk=h!+〃=》+l,.•2=1—此左，②

联立①②可得％=2,/?=l-ln2=ln—.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计

算能力，属于中等题.

5.将曲线/（x）=lnx绕着点（0,-1）逆时针方向旋转6后与＞轴相切，则6的最小正值是

（）

,兀,兀„n八万

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】B

【分析】

首先根据导数的几何意义，求出过点（。,一1）与曲线相切的切线的切点，并求直线的斜率和

倾斜角，再根据题意得出，的最小正值.

【详解】

由题意得r（x）=J,设过点（0,T）的直线/与曲线y=/（x）相切于点（内）,%）,则

Inx.+11TT

—―=—，解得%=1,所以直线/的斜率A=1,故。的最小正值是一.

//4

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，重点考查直观想象，计算能力，属于中档题型.

6.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=和"加+，1—9（。。0）都相切，贝心的值

为（）

A.-1或----B.—1—C.---或----D.或7

6444644

【答案】A

【分析】

设切点坐标为«,产)，利用导数求出曲线y=d在点«/3)处的切线方程，将点(1,0)的坐

标代入切线方程，求出f的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数

y=ax2+-x-9的解析式联立，由A=0可求得实数。的值.

-4

【详解】

对于函数y=d,V=3/,则曲线y=V在点的切线斜率为4=3/，

所以，曲线y=V在点处的切线方程为yT3=3/(xT),即y=3/x—2-，

由于直线、=3/》一2/过点。,())，可得3/—2/=0,解得/=；或，=0.

15/1c\2

当f=0时，切线为X轴，对于函数y=at2+—x—9,则4=上+36a=0,解得

4

25

a=--；

64

,2727

V——X--

3272744

当/=三时，切线方程为y=—x——，联立＜1I，整理得

244215c

y-ax+—x-9

1/4

ax~_3x—=0,

4

•.•awO,由题意可得A?=9+9。=0,解得&=一1.

25

综上所述，。=一1或。=一」.

64

故选：A.

【点睛】

本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

二、多选题

7.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的

企业要限期整改、设企业的污水排放量w与时间t的关系为w=,用「(")一"")

b-a

的大小评价在他,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业

的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为()

w甲企业

tlt2t31

A.在1,q］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

B.在L时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

C.在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

D.甲企业在［0,口,1,可,也⑷这三段时间中，在［0/1的污水治理能力最强.

【答案】ABC

【分析】

根据定义逐一判断，即可得到结果.

【详解】

—/（〃）一.”"）表示区间端点连线斜率的负数,

b-a

在,冉］这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业

的污水治理能力比乙企业强；A正确；

甲企业在［0/］,L,%］，L㈤这三段时间中，甲企业在［t］,t2］这段时间内，甲的斜率最

小，其相反数最大，即在，山］的污水治理能力最强.D错误；

在L时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水

治理能力比乙企业强；B正确；

在，3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正

确；

故选：ABC.

【点睛】

本题考查切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属常考题型.

8.已知函数/（x）=4$皿。》+0）（4>0,3>0,|同<1^的图象如图所示，令

g(x)=/(x)+/'(x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()

A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=觊—苏(AeZ)

B.函数g(x)的最大值为2近

C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线1：y=3x-l平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为王，9,则归-到最小值为1

【答案】ABD

【分析】

由题意可得g(x)=/(x)+r(x)=2j5sin[x+[gJ,由函数的图象与性质可得函数

8(力的对称轴方程为》=培+就，ZeZ函数g(x)取得最大值2万由导数的几何

意义可得使得在P点处的切线与直线1：y=3x-l平行，2=g'(xo)=3,解得

>1,由方程g(x)=2解得后一/|最小值为从而可得正确答

案.

【详解】

71\

根据函数〃x)=Asin®x+°)|A>0,。>0,网的图象知,

T_27171_71

A=2，

4

EC2万1

:.T=2n、co=—=1,

T

TTJTJT71

根据五点法画图知，当工=二时，cox+(p=—^(p=—(P=­，

6623

/./(x)=2si:

r(x)=2c.os呜，

71

g(x)=/(x)+/'(x)=2sin|x+-+2COSIXH—

3I3

7V7t

2也sinX+——I——

34

7%)

2&sinXH；

12)

令XH----=---卜k,7T,keZ、

122

jr

解得x------1-k/r，keZ,

12

二函数g(x)的对称轴方程为x=-^|■+火乃，keZ,A正确；

Irrjr

当无+五=/+2br,左eZ时，函数g(x)取得最大值20，B正确;

g，(x)=2V2COS^X+y1-^

假设函数g'(x)的图象上存在点产(%,％),

使得在P点处的切线与直线1：—平行，则左=g'(xo)=20cos/+言=3,

显然不成立，所以假设错误，即C错误;

方程g(x)=2,则2&si“x+/J=2,

.(7万、V27乃万7万3万c，、r

sinxH=—，XH=—F2k兀,ZeZ或xH=F2k兀,ZeZ,

I12J2124124

jrTT

二方程的两个不同的解分别为玉=2A»--,keZ,x2=2kyr+-,k&Z,

则|不一%2|=2%7-],ZwZ,其最小值为故D正确.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查了三角函数y=Asin(5+s)的图象与性质，考查了导数的儿何意义，考查了辅

助角公式的应用，属于中档题.

9.在直角坐标系内，由A，B,C,。四点所确定的“N型函数”指的是三次函数

/(力=加+加2+B+d(aH0),其图象过4,o两点，且/(力的图像在点A处的切

线经过点3,在点O处的切线经过点C.若将由4(0,0),3(1,4),C(3,2),D(4,0)

四点所确定的“N型函数”记为y=/(x),则下列选项正确的是()

A.曲线y=/(x)在点。处的切线方程为y=-2x+8

B./(x)=1x(x-4)(x-8)

C.曲线y=/(x)关于点(4,0)对称

D.当4WxW6时，/(x)>0

【答案】ABC

【分析】

A.根据函数在点。处的切线经过点C,利用点斜式求解判断；B.根据/(x)的图象过点

4(0,0)及0(4,0),设“x)=x(x-4)("+加)(其中心0),然后再利用f(0)=4,

/'(4)=2求解判断；c.由B得到〃x)+/(8—x)=()判断；D.由B结合4VxV6,有

x—420,x—8v0判断.

【详解】

0—2

因为直线C。的斜率为声=一2,所以CO的方程为>一0=-2(*-4),即

y=-2x+8,所以A正确.

因为“X)的图象过点4(0,0)及0(4,0),所以/(x)有两个零点0,4,故可设

/(x)=x(x-4)("+加)(其中ZHO),则/'(%)="(％-4)+(丘+/n)(2x-4),由

/'(0)=4,尸(4)=2,得』=—1,k=-,所以/(x)=L(x—4)(x—8),故B正

88

确.

由选项B可知，/(x)+/(8—x)=0,所以曲线y=/(x)关于点(4,0)对称，故C正确.

当4WxW6时，有x-420，x-8<0,所以/(x)W0,故D不正确.

故答案为：ABC.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.

三、填空题

10.若lim+则((％)=________.

△xfOAX

【答案】I

【详解】

由极限的定义可得：

lim/(”。+3a)一/(%。)

1—0Ax

=lim]x小虫竺UM

-3Ax

故答案为：—

3

5-3x,x>Q

11.已知函数f(x)=4c且/(-1)=〃1)，则曲线y=/(x)在点(一2"(-2))

x+。，尤<()

处的切线方程为.

【答案】32x+y+47=0

【分析】

先根据条件求。值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程

即可.

【详解】

因为/(—1)=。+1=/(1)=2,所以4=1.

因为当x<0时，外幻=41,所以/(—2)=—32.

又/(—2)=17,所以所求切线方程为y—17=—32(x+2),

即y———32x—47,即32x+y+47-0.

故答案为：32x+y+47=0

【点睛】

本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.

12.若点P(a,8)在函数^=一/+3111》的图象上，点。(c,d)在函数y=x+2的图象

上，贝的最小值为.

【答案】20

【解析】

设直线y=x+〃2与曲线、=一/+312相切于P(Xo，No)，由函数y=—炉+31皿，可得

343,

y'=-2x+—,令一2x()+—=1,又玉)>0,解得毛=1,即有为=-l+31nl=-1,可

X工0

得切点尸(LT),代入一1=1+根，解得m=-2,可得与直线y=x+2平行且与曲线

丁=一一+31皿相切的直线丁=%一2,而两条平行线y=x+2与y=x-2的距离

心与3=2近，

V2

即有|PQ|的最小值为2及，故答案为2夜.

点睛：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化

问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题；设出切点，求得函数的导数，可得切线的

斜率，解方程可得切点，求出与直线y=x+2平行且与曲线丁=-/+31研相切的直线

y=x+m,再求出此两条平行线之间的距离，即可得出.

四、解答题

13.已知函数/(x)=gx3-x2+2,M为函数“X)图象上一点，曲线y=/(x)在M

处的切线为/.

(1)若M点坐标为(0,2),求切线/的方程；

(2)求当切线/的斜率最小时M点的坐标.

【答案】(1)y=2；(2)

【分析】

(1)先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得

出结果；

(2)先对函数求导，求导数的最小值，得出此时的x,即可得出切点横坐标，从而可求出

切点.

【详解】

(1)因为〃力=3/一为2+2,所以广(力=%2-2%,

又M点坐标为(0,2),所以/'(0)=0,

因此在M处的切线/为y=2；

(2)因为/'(X)=X2_2X=(X_1)2_]N—1,

当且仅当x=l时，/'(X)取最小值—1，根据导数的几何意义可知，此时切线斜率最小，

|4

又X=1时，/(1)=--1+2=-,

所以.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点的切线方程,以及求切点坐标，熟记导数的几何意义即可，属

于常考题型.

14.泰兴机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润C元与生产量X台之间的关系式

为c(x)=-2x?+7000x+600.

(1)求产量为I000台的总利润与平均利润;

(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量;

(3)求c'(1000)与c'(1500),并说明它们的实际意义.

【答案】(1)5000.6(元)；(2)2000(元);(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)将x=1000代入函数可得总利润，总利润除以总数1000可得平均利润;

计算c(500)-c(1000)

即可得解;

1500-1000

(3)求导得c'(x),再分别计算c'(1000)和c'(1500),利用导数代表瞬时变化率可

知为实际意义为生产一台多获利的钱数.

【详解】

(1)产量为1000台时的总利润为c(l000)=-2X10002+7000X1000+600=5000

600(元)，平均利润为«100°)=5000.6(元).

1000

(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为£("0°)-c(l00°)=

1500-1000

6000600-5000600

=2000(元).

500

(3)Vc,(X)=(-2X2+7000X+600)Z=-4X+7000,Ac,(1000)=-4X1000+7

000=3000(元),

c1(1500)=-4X1500+7000=1000(元)，

它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；.

而当产量为1500台时，生产一台机械可多获利1000元.

【点睛】

本题考查了导数概念的实际应用，考查了导数的运算，关键是理解导数概念的实际意义.

15.已知函数=句:?在点处的切线方程为3x+y—l=O.

(1)求实数。，Z?的值；

(2)若过点(-Lm)(加工-4)可做曲线y=/(x)的三条切线，求实数〃?的取值范围.

【答案】(1)a=l,b=3；(2)(Y,4)・

【分析】

(1)根据题设条件可得关于。功的方程组，从而可求。力的值.

(2)设切点为(玉),%)，则可得关于%的方程2x；-6/+加=()有3个不同的实数解,

利用导数讨论g(x)=2Y—6x+m的极值的正负，从而可得用的取值范围.

【详解】

解：(1)/'(6=3以2-2Zzx,

由/(x)=ax3-bx2在点(1,41))处的切线方程为2x+y-1=0,

..，/、ci—b=-2

得二-2,/'(1)=—3,故，故a=l,b=3,

(2)由⑴得/"(%)=3%2—6%，

过点(一1,向曲线y=/(力做切线，设切点为(工,%)，

2

则切线方程为y-(x；-3x0)=(3占2-6X0)(X-J^).

因为切线过