全国新高考1卷地区高三数学空间几何解答题分类完整版编完整版析（原卷版）

2024届高三数学空间几何解答题分类精编精析【题型目录】：题型一：立体几何中的体积问题题型二：立体几何中的线面角问题题型三：立体几何中的面面角问题题型四：立体几何中的距离问题题型五：立体几何中由线线角、二面角求参数值问题题型六：立体几何中动点问题题型七：立体几何中的最值问题题型八：立体几何中的折叠问题题型九：立体几何中的探索性问题题型十：创新情境中的立体几何中综合问题【题型分类精编精析】：题型一：立体几何中的体积问题1．（天域全国名校协作体20232024学年高三下学期联考）在三棱锥中，平面ABC，，点E在平面ABC内，且满足平面平面PBE，BA垂于BC．（1）当时，求点E的轨迹长度：（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．2.（浙江省强基联盟2023学年第二学期高三3月联考数学试题）如图，在四棱雉中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.（Ⅰ）证明：.（Ⅱ）点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱雉的体积.3.（华娇教育2024年广东省普通高中毕业班综合能力检测）如图，为圆柱底面的内接四边形，为底面圆的直径，为圆柱的母线，且．(1)求证：；(2)若，点在线段上，且，求四面体的体积．题型二：立体几何中的线面角问题1．（广东省新南方联盟2024届高三4月联考）如图，四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点，（1）证明：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.2.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.3.（安徽省黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测）如图，已知为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，,，是的中点,．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4.（2024届河北省承德市部分高中二模）如图，在四棱锥中.（1）证明：平面；（2）若求直线与平面所成角的正弦值.5.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）如图，在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.（1）证明：平面平面ACD；（2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.6．（新疆乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，．（1）证明平面；（2）证明平面平面；（3）若，，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值．7.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）如图，在直三棱柱中，，点到平面的距离为分别为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.题型三：立体几何中的面面角问题1.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测）如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.2.（山东省“齐鲁名校联盟”2023—2024学年高三年级第七次联考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，且，点，分别为棱，的中点，．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．3．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面．为的中点，且分别为的中点．（1）证明：．（2）设交平面于点，求平面与平面夹角的余弦值．4.（湖北省十一校20232024学年高三下学期第二次联考）如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，（1）若，求证：平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.5.（2024年大连市高三第一次模拟考试）如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．（1）证明：；（2）求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；（3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．6.（湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.7．（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值8.（湖南省2024届高三“一起考”大联考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中．（1）证明：平面BCD；（2）求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值．9.（湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值，题型四：立体几何中的距离问题1.（辽宁省锦州市2024届高三年级质量检测）如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．(1)证明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．2.（河北省承德市2024届高三下期联考）如图，在三棱柱中，平面平面，是矩形，已知，动点在棱上，点在棱上，且.(1)求证：;(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.题型五：立体几何中由线线角、二面角求参数值问题1.（江西省新余市20232024学年高三年级第二次模拟考试）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若O为的中点，证明：平面平面；（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.题型六：立体几何中动点问题1.（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考）如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.（1）证明：；（2）若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.2．（2024届杭州市高三年级教学质量检测）如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．题型七：立体几何中的最值问题1.（萍乡市2023—2024学年度高三二模考试试卷）如图所示的几何体是圆锥的一部分，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是弧上一动点（不与重合），点在上，且，.（1）当时，证明：平面；（2）若四棱锥的体积大于等于.①求二面角的取值范围；②记异面直线与所成的角为，求的最大值.2.（2024届湖北省高中毕业生四月模拟考试）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，图1图2（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数.题型八：立体几何中的折叠问题1.（辽宁省鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）如图1，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到位置，且，得到如图2所示的四棱锥．（1）求证；平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．题型九：立体几何中的探索性问题1.（湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测）如图所示，四边形为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．（1）求证：；（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．题型十：创新情境中的立体几何中综合问题1.(2024年江西省南昌市高考数学二模)如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相