第三章《函数小结》示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】

第三章《函数》小结教学设计

♦教学目标

1.引导学生对本章知识进行小结，构建知识结构图；

2.通过梳理本章知识，总结并构建本章知识网络图，提高对本章知识的理解，弄清知

识之间的联系以及相互之间的逻辑关系，掌握本章所学的重点内容.

♦教学重难点

教学重点：引导学生对本章知识进行小结，构建知识结构图.

教学难点：知识之间的逻辑联系.

♦课前准备

PPT课件.

♦教学过程

1.知识结构

问题1:本章内容有几部分？你能用知识结构图来表示吗？

师生活动：学生回答：本章内容有四部分：函数的概念与性质，函数与方程、不等式之

间的关系，函数的应用及数学建模.学生独立完成简单的结构图并展示交流，教师可用多媒

体展示.

预设的答案：

函数的概念与性质

数学建模函数函数的应用

函数与方程、不等式之间的关系

追问：有不同的结构图吗？

师生活动：学生互相交流，教师可用多媒体展示.

预设的答案：

点数的零点

设计意图：通过画知识结构图可以让学生对本章内容有个全面认识和掌握.而不同的知

识结构图，体现了从不同角度和不同关系去总结本章知识.

问题2：你能用知识结构图来表示函数的图像与性质这一部分内容吗？

师生活动：学生画好后展示，教师完善.

预设的答案：

设计意图：通过画函数的概念及表示方法的知识结构图可以让学生对这一内容有个更全

面的认识和掌握.

问题3：你能用知识结构图来表示函数的应用（包括函数与方程、不等式之间的关系以

及函数的实际应用、数学建模）这部分内容吗？

师生活动：学生互相交流讨论，画好后展示，教师完善.

预设的答案：

设计意图：通过画函数的应用（包括数学上的应用和实际应用）的知识结构图可以让学

生对这部分内容有个更为全面的认识和掌握.

问题4：你能用知识结构图来表示函数的实际应用这一内容吗？

师生活动：学生画好后展示.

预设的答案：

实际问题一数学模型一设未知数一列方程一解方程一检验一应用题的解

函数的应用（一）—实际问题

常见题型：①商品利润；②几何面积问髓；③增长率问翘

2.研究思路

问题5：你能简单描述一下本章内容的研究过程和方法吗？

师生活动：学生讨论并回答，教师补充说明.

本章我们学习了函数的知识，首先在复习初中知识的基础上更新了函数的概念，总结了

函数的表示方法，学习了函数的单调性及其证明方法，然后学习了函数的奇偶性，最后得到

了函数零点以及函数与方程、不等式的关系等.

本章我们虽然引入了函数的一些新的概念，如单调性、奇偶性、函数的零点等，但是从

本质上来说，本章所涉及的函数主要还是我们初中除段所学习的一次函数、二次通数、反比

例函数以及它们的变形(例如构造成分段函数，进行函数变换等)，在学习的过程中，我们

要注意体会如何通过研究函数解析式来得到函数的性质，其中的一般方法是：

(1)明确函数定义域的前提下，首先分析函数是否具有奇偶性.因为如果具备了奇偶

性，就可以将函数性质研究的范围缩小；

(2)研究函数的单调性，得出函数的值城等：

(3)根据函数解析式分析函数值在直角坐标系内的分布情况等；

(4)结合前面的研究结果，通过列表描点等，作出能够反映出函数性质的示意图等.

3.具体内容

问题6：你能对本章的主要知识点进行归纳和整理吗？

师生活动：分组讨论并回答，教师加以补充.

一、函数的概念及其表示

内容考点关注点

函数的概念函数的定义及三要素

函数的定义域使解析式有意义

函数概念及其表示方法

函数的解析式定义域

分段函数自变量的取值范围

方法总结：

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A,B必须是非空实数集.

(2)4中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一”或“多对一''的是函数关系，“一对多''的不是函数关系.

2.判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

3.函数求值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用。替换表达式中的x即得/)的值.

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.

4.对于用关系式表示的函数.如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数

表达式有意义的自变量取值的集合.这也是求某函数定义域的依据.

5.作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像

有无对称性，并标明特殊点.

6.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注

意有的函数要注明定义域.

7.分段函数求函数值的方法：

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现/(/(xo))的形式时，应从内

到外依次求值.

8.已知函数值求字母取值的步骤：

(1)先对字母的取值范围分类讨论.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通过解方程求出字母的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

二、函数的基本性质

内容考点关注点

函数的单调性单调性相对于区间而言

利用单调性解不等式函数的定义域

函数的基本性质

函数的奇偶性定义域关于原点对称

奇偶性、单调性的综合运用单调性的不同

方法总结:

1.求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取

值范围分段求解；

(2)利用函数的图象.

2.利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值：设M，X2是该区间内的任意两个值，且为C2.

(2)作差变形：作差_/(M)-AX2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为

易判断正负的式子.

(3)定号：确定火Xi)—/(必)的符号.

(4)结论：根据凡ri)—7(X2)的符号及定义判断单调性.

也可利用平均变化率来判断和证明单调性：

若/是函数y=/(x)的定义城的子集，对任意©,X2/且王力々，记包=之口：

Axx2-%)

y=f(x)在/上是增函的充要条件是包＞0在/上恒成立；y=f(x)在/上是减函数的充要

条件是包＜0在/上恒成立.

Ax

3.函数的最大（小）值与单调性的关系

（1）若函数/（x）在区间口，句上是增（减）函数，则f（x）在区间侬，切上的最小（大）

值是/（a）,最大（小）值是/"）.

（2）若函数/G）在区间伍，句上是增（减）函数，在区间g，c］上是减（增）函数,

则/（X）在区间口，c］上的最大（小）值是/（b）,最小（大）值是/（a）与/（c）中较小

（大）的一个.

4.判断函数奇偶性的两种方法

（1）定义法：

（2）图象法:

5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略

（1）定义域含参数：奇、偶函数人x）的定义域为［a,b］,根据定义域关于原点对称，利用

a+b=0求参数.

（2）解析式含参数：根据大一幻=一火0或人一力=人力列式，比较系数即可求解.

6.利用函数奇偶性求解析式的方法和步骤：

“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；要利用已知区间的解

析式进行代入；利用y（x）的奇偶性写出一/（X）或八一x）,从而解出y（x）.

7.解有关奇函数於）的不等式次4）+大6）＜0,先将变形为儿0＜一儿0=火一6）,再

利用汽刈的单调性去掉'了'，化为关于“，方的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.，由

于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质兀v）=

川刈力一园）将y（ga））中的g（x）全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号/,使不

等式得解.

三、函数与方程、不等式的关系

内容考点关注点

函数的零点函数零点的个数，所在区间

函数与方程、不等式的关系二次不等式与二次方程、二次二次不等式的求解，二次方程

函的关系实根分布

二分法变号零点

1.函数的零点

(1)定义：对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)的零

点.

(2)几何意义：函数)，=/(X)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=/(x)的零点.

(3)结论：方程f(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点Q函数y=/(x)

有零点

2.函数零点的求法：

(1)代数法：求方程/(x)=0的实数根.

(2)几何法：与函数y=/(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零

点.

3.函数零点的判定定理

条件结论

函数(x)在海，加上

(1)图象是连续不断的曲线y=f(x)在(a,b)内有零点

(2)/(〃)/")<0

4.判断函数y=/(x)是否存在零点的方法：

(1)方程法：判断方程/(x)=0是否有实数解.

(2)图象法：判断函数y=/(x)的图象与x轴是否有交点.

(3)定理法：利用零点的判定定理来判断.

(4)转化法：转化成两个函数图象的交点问题.

5.二分法的定义

对于在区间口，切上图象连续不断且f(a)-f(b)<0的函数y=/(x),通过不断地把它

的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的

方法叫做二分法.

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该

零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对

函数的不变号零点不适合.

6.二次函数零点个数的判断

函数y=〃N+〃尤+。（〃/））的图象与x轴的交点和相应方程以2+版+。=0（〃/））的根

的关系

函数图象消

判别式符号

（设判别式J>0J=0J<0

A—b2—4ac'）

与X轴交

210

点个数

方程的根

210

的个数

7.一元二次方程根的分布问题

设二次函数丫=公2+版+。（〃>0）对应的方程的根为xi、xz.

根的分布

图象满足条件

P）

\

一个

x\<m<X2f(/n)<0

区间

只有

\

一个m<x\<n

巨小〃)<0,

根<X2<p

一个A>0,

h

区间m<x\<m<------<n,

V

11112a

有两X2<n

z1J1Jf(m)>0,

个根./(»)>o.

4A>0,

b

V--->m,

□1】2a

n।------]

/(/«)>o.

f(/7?)/(〃)vo或/=o

且b

)m<---<n

2a

三］或

或1/■(/〃)=0,

在(加，〃)内有且只有一个根<b