教育教学案例

教育教学案例

《数学课程标准》指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循

学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必

须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上”。①在以“课例为载

体”的教师行动教育中，我们通过设计折纸活动让学生动手实践，自主探索与合

作交流，丰富了学生的学习方式和教师的教学方式，在此过程中，学生找到了学

习的乐趣，而教师对数学教与学的方式也有了新的认识。

一、设计折纸活动的背景。

“三角形的中位线”一直是各种版本的初中几何教材中的经典内容，很多公

开课都选了这个内容。但在大量的听课与教学中，我们发现，对三角形中位线性

质的证明，是一个教学难点，只有少数优秀学生能在课上独立完成，大多数学生

在证明中面临困难。如何有效地解决这个教学难点是我们课例研究的出发点。众

所周知，用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的

性质是学习几何的重要方法。由此，我们想到了从学生已有的生活经验、数学基

础出发，重新设计“三角形的中位线”的教学过程。让学生从研究“折纸中的图

形性质”探索出三角形的中位线性质并加以说明。

一方面，折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、纸帆船、

千纸鹤、宝葫芦等。另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学生可以通

过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。

而且折纸活动本身也承载着许多重要的几

何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习兴趣、好奇心与

探索精神，有重要的价值。

二、教学目标。

1.在折纸的情境中，能综合运用角平分线、线段垂线的性质及与三角形、四

边形相关的一些性质和判定。

2.建立生活世界中的一些活动（剪纸与折纸游戏）与几何世界的多种联系，激

发学习几何的兴趣。

3.建立几何与现实生活问题的联系，培养数学的思考方式（联想、类比、直觉

思维）。

4.经历数学学习过程：观察一探索一猜想一验证，体会科学发现的一般规律。

三、教学过程。

1.创设情境。

师：同学们，你们做过折纸游戏吗？折纸飞机、纸船、纸葫芦、纸鹤等都很有

趣。我们在日常生活中接触最多的纸张是长方形的，如把这样一张纸折起一个角，

就得到了一个直角三角形（教师演示），那么怎样用长方形的纸片折出等腰三角形

呢？请同学们折一下。

（学生联想以往的折纸方式折纸。）

2.提出问题。

（1）导入问题一一把一个直角三角形折成长方形。

师：我们已经知道长方形纸片能折出直角三角形。现在考虑反方向的问题，

即直角三角形纸片能否折成长方形？

（学生以小组为单位，进行观察、尝试、讨论折纸，探索折法，表达自己的

发现。）

师：（实物投影）我们展开纸片，画出折痕，并标上字母（如图1）。回想折纸

过程，你有什么发现？（教师提示：注意图中线段的位置与长度的关系，图中是否

有等腰三角形?哪些三角形全等?）

生：（教师边归纳边板书）①EF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此EFII

BC,EGIIACo

②折痕将三角形ABC分成四个全等的直角三角形，两个等腰三角形。

③连接EC,AE=BE=EC=AB/2,ZA+ZB=90°□

师：通过观察我们这张纸（图1）,大家知道了E是AB的中点，并且得到三

点发现，其中第三点中的两条性质我们以前证明过，今天我们用折纸的方法又一

次进行了说明。请大家过中点G、F作一条折痕，思考这条折痕GF与斜边AB有

什么关系？它能不能成为长方形的一边？

（2）一般问题——把一个任意三角形折成长方形。

师：现在，我们考虑更一般的问题，即一般三角形的纸片能否折成长方形？

请同学们折一折。

（学生尝试用任意三角形折长方形。教师巡视中指导：同学们可以回想刚才

是怎样折的。活动进行得差不多时，学生在投影仪上演示：用高线转化成两个直

角三角形的折叠过程。）

师：我们打开纸片展平，画出所有折痕，并标上字母（如图2）。从刚才的折

纸活动中，你发现了这个图形中线段、角和三角形之间存在哪些位置、形状、数

量关系？请各小组的同学讨论一下，发表小组讨论结果。

（教师边归纳边板书学生讨论的结果。）

①关于中点：AE=BE=AB/2,AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD

/2;②斜边上中线：DE=AB/2,DF=AC/2;③关于中位线：EF=BC/2,GE=AD

/2OFH=AD/2。

3.提出猜想。

师：你认为在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段的一半长？

学生发现：①线段的中点；②直角三角形斜边上的中线；③三角形两边的中

点连线。

师：我们实际上是找到了4ABC两条边上的中点E、F,我们把连接三角形两

边中点的线段叫做三角形的中位线。现在你们猜测一下这个中位线与第三边有什

么样的关系？

（学生提出猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。）

4.说明结论。

师：刚才大家猜出了三角形中位线的性质，现在你是否能验证这个性质并加

以说明。

（学生折纸，用折纸比较各条边长及各个角的大小。）

师：小组内讨论一下，如何验证?如何说明？（教师巡视中指导：你的说明要

让别人相信你是正确的。）哪位同学愿意来这里（讲台）向大家说明！你们还有什么

疑问提出来。

（学生相互说明与辩论。在实物投影仪上说明①NA+/B+NC=180。；②四

边形EFHG是长方形。）

师：我们一起发现了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三

边的一半，并通过折纸方法进行了验证与说明，以后我们还要进一步证明与应用

这个性质。

5.交流体验。

师：这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发现？有什么体会？还有什么问

题与困惑？

生1:这节课使我知道了折纸中也有数学道理，感觉到生活中处处有数学，

今后要多观察，多思考。

生2:我在用直前三痢形折长方形时，与组里其他同学的折法不一样，经比

较发现折的长方形没有其他同学的大。我又折了几次发现这样拆（手举如图1方

式的折纸）……面积是最大的，是三角形面积的一半。

生3：我觉得用折纸比较线段和角的关系很方便，比如说可以同时折两个一

样的图形比来比去……容易通过做产生出猜想，今后学几何要多用这种方法。

师：同学们，我们在折纸操作中，通过观察，发现关系，形成猜想，并证明

我们的猜想，得出结论。这是人们发现新知识的重要方法。

6.布置作业。

师：今天课后的作业是用正方形的纸片折叠图形，按工作单进行操作与探究，

从中发现问题。

初中数学教学案例分析

课题：探索三角形全等的条件

一、教学设计：

1学习方式：

对于全等三角形的研究，实际是平面儿何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它

是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段

相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判

定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，

用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发

现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程,

真正把学生放到主体位置。

2学习任务分析：

充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，

发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有

条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合,

注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过

程，为以后的证明打下基础。

3学生的认知起点分析：

学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、

对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利

用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。

4教学目标：

(1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操

作、归纳获得数学结论的过程。

(2)掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了

解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题.

(3)培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。

5教学的重点与难点：

重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。

从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得

到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的

方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。

难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要

做出全面、正确得分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。

根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，

思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点

拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人

的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。。

6教学过程

教学媒体(资

教学步骤教师活动学生活动源)和教学方

式

复习过渡电脑显示，带领学生复习全在教师引导下回

引入新知等三角定义及其性质。忆前面知识，为探究z+z平台演示

新知识作好准备。

电脑显示，小明画了一个三议一议：z+z平台演

角形，怎样才能画一个三角形与学生分小组进行讨论示，教师加以

创设情景他的三角形全等？我们知道全交流。受教师启发，分析。

提出问题等三角形三条边分别对应相等，从最少条件开始考学生分组讨

三个角分别对应相等，那麽，反虑，一个条件;两个条论，师生互动

之这六个元素分别对应,这样的件；三个条件…经过合作。

两个三角形一定全等.但是，是学生逐步分析，各种经过对各种

否一定需要六个条件呢？条件能情况渐渐明朗，进行情况得分析，

否尽可能少吗？交流予以汇总，归纳。归纳，总结，

对学生分类中出现的问题，予以对学生渗透

纠正,对学生提出的解决问题的分类讨论的

不同策略，要给予肯定和鼓励，数学思想。

以满足多样化的学生需要，发展

学生个性思维。

建立模型按照三角形“边、角”元素进想一想：

探索发现行分类,师生共同归纳得出：对只给一个条件画三结论很显然

1一个条件:一角，一边角形，画出的三角形只需学生想

2两个条件:两角；两边;一角一定全等吗？像即可，z+z

一边画一画：平台辅助直

3三个条件:三角；三边;两角按照下面给出的两个观演示。

一边；两边一角条件做出三角形：

(1)三角形的两

按以上分类顺序动脑、动手操个角分别是：

作,验证。30°,50°

教师收集学生的作品，加以比(2)三角形的两

较，得出结论：条边分别是：学生动手操

归纳总结只给出一个或两个条件时，4cm,6cm作，通过实

得出新知都不能保证所画出的三角形(3)三角形的一践、自主探

一定全等。个角为30,索、交流，获

一条边为3cm得新知。

剪一剪：

把所画的三角形分别

剪下来。

比一比：

同一条件下作出的三

角形与其他同学作的

比一比，是否全等。

学生重复上面的操作

过程，画一画，剪一

剪，比一比。

下面将研究三个条件下三角形学生总结出：三个内

全等的判定。角对应相等的两个三

(1)已知三角形的三个角分别角形不一定全等

为40。、60°、80°,画出这

个三角形，并与同伴比较是否

全等。学生举例说明

学生得出结论后，再举例体会

一下。

举例说明：如老师上课用的三

角尺与同学用的三角板三个角举例时，电脑

分别对应相等，但一个大一个辅助演示让

小，很显然不全等；再如同是学生感受反

等边三角形，边长不等，两个学生模仿上面的研究例的作用。

三角形也不全等。等等。方法，独立完成操作

过程，通过交流，归

（2）已知三角形三条边分别是纳得出结论。

4cm,5cm,7cm,画出这个三角

形，并与同伴比较是否全等。

板演：三边对应相等的两个

三角形全等，简写为“边

边边"或"SSS”。

由上面的结论可知，只要三角形

三边的长度确定了，这个三角形

巩固运用的形状和大小就确定了。

及其推广实物演示：

由三根木条钉成的一个三角形

框架，它的大小和形状是固定不鼓励学生自己举出实

变的，三角形的这个性质叫三角例，体验数学在生活

形的稳定性。中的应用.

举例说明该性质在生活中的应

用学生那出准备好的硬

纸条，进行实验，得z+z平台播放

出结论：三角形稳定

类比着三角形，让学生动手操四边形、五边形不具性及四边形

作，研究四边形、五边性有无稳稳定性。不稳定性在

定性生活中的应

用.

图形的稳定性与不稳定性在生

活中都有其作用，让学生举例说

明。

学生练习

题组练习：