高考数学二轮复习 考前回扣5 数列讲学案 理-人教版高三全册数学学案

回扣5数列

IT基础回归--------------------

1.牢记概念与公式

等差数列、等比数列

等差数列等比数列

=x

通项公式dn3.1(Z7-1)dan=a\(j~(oWO)

Ga」一心

(1)1，Sn—1

心1+a)1—，

S"一2

前〃项和a\—anq

_氏n—l),一1一°；

一Z751「।2d

(2)0=1,Sn=na\

2.活用定理与结论

(1)等差、等比数列｛a｝的常用性质

等差数列等比数列

①若如n,p,q£N*,且R+〃=夕+q,①若加，77,p,q£N*,且加+〃=夕

则为+&=劣+%；+Q,则am•an=ap•/；

性质②&?=&+(7?-m)d：②&=amq~'\

③£,Sim—Sm,SR—£而，…仍成等差数③Sm,Sim—Sm,SinLSim,…仍成等

列比数列(SHO)

(2)判断等差数列的常用方法

①定义法

a5—a尸d(常数)(AGN*)。、｝是等差数列.

②通项公式法

a0=pn+q(p，＜7为常数，=｛aj是等差数列.

③中项公式法

2a„+i=an-\-an+2(〃GN*)o｛aj是等差数列.

④前〃项和公式法

S产短+Bn（A,6为常数，”eN*）Q｛a〃｝是等差数列.

（3）判断等比数列的常用方法

①定义法

—=Q2是不为0的常数，〃6"）=回｝是等比数列.

②通项公式法

n

an=cq（c,g均是不为0的常数，〃GN*）o｛a〃｝是等比数列.

③中项公式法

a：+i=a〃•a”+2（a〃•an+i•a0+2^0,〃eN*）o｛a〃｝是等比数列.

3.数列求和的常用方法

（1）等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.

⑵形如｛a•4｝（其中｛&｝为等差数列，伍｝为等比数列）的数列，利用错位相减法求和.

（3）通项公式形如当=’（其中a,瓦，&,c为常数）用裂项相消法求和.

（a〃十。i）（a〃十友）

（4）通项公式形如为=（一•〃或a〃=a・（一1）〃（其中a为常数，〃GN*）等正负项交叉的数

列求和一般用并项法.并项时应注意分〃为奇数、偶数两种情况讨论.

（5）分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成以=4+4形式的数列求和问题的方

法，其中—｝与伉｝是等差仕匕）数列或一些可以直接求和的数列.

（6）并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S.

Ef易错提醒------------------------

1.已知数列的前〃项和求为，易忽视〃=1的情形，直接用S—S—1表示.事实上，当〃=1

时，4=S；当77三2时，an=Sn—Sn-l.

2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a,6的等比中项是土，£.

3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等

差数列回｝与伍｝的前〃项和分别为S和北，已知2=**,求年时，无法正确赋值求解.

T„2/?+3bn

4.易忽视等比数列中公比gWO导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成

增解.

5.运用等比数列的前〃项和公式时，易忘记分类讨论.一定分°=1和gWl两种情况进行

讨论.

6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.

7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，

11111<11A

如贝〃+2产］—而7^而百二万色一滔刁.

8.通项中含有（-1）"的数列求和时，要把结果写成〃为奇数和〃为偶数两种情况的分段形

式.

m回归训练

1.设等差数列｛2｝的前〃项和为S,已知S13>O,Si4<0,若8-8+1V0,则A等于（）

A.6B.7C.13D.14

答案B

解析因为｛a｝为等差数列，S3=132,Si4=7（&+a）,

所以&>0,aVO,&所以k=7.

2.已知在等比数歹（J｛4｝中，a+&=3,&+a=12,则乃5+a等于（）

A.3B.15C.48D.63

答案C

解析晶='=4,所以为+a=（&+&）•/=48.

为十女2

3.设等差数列｛2｝的前〃项和为S,且田>0,&+为0>0,a&VO,则满足S>0的最大自

然数〃的值为（）

A.6B.7

C.12D.13

答案C

解析V5i>0,乃64<0,

・・・法>0,与V0,等差数列的公差小于零，

H3+510=3，iH-42>0,a+ai3=2a7<0,

「・Si2>0,Si3V0,

・•・满足S>0的最大自然数n的值为12.

4.已知数列｛a｝满足3%=9・3%（刀£的且&+a+a=9,则logi（〃5+%+%）等于（）

3

1

A.——B.3

U

1

C.—3D.―

o

答案c

解析由已知3%=9・3""=3°"+2,所以a〃+i=a.+2,所以数列｛aj是公差为2的等差数

列,

含+司7+己9=(&+3由+(2+3扮+(含+3中

—(石2+a+&)+9d=9+9X2=27,

所以logi(〃5+%+。9)=l°gi27=一3.故选C.

33

5.已知正数组成的等比数列｛a｝,若&・&°=100,那么与+如的最小值为()

A.20B.25

C.50D.不存在

答案A

解析在正数组成的等比数列｛a｝中，因为a•心=100,由等比数列的性质可得演•的)

2•517=100,那么a十4•&4=24100=20,当且仅当&=劭4=10时取等号，所以

乡+&4的最小值为20.

6.已知数列｛a｝的前刀项和为S,若S=2a—4(〃£N*),则为等于()

A.2"+iB.2”

C.2”TD.2n~2

答案A

解析为+i=S+i—S=2a+i—4—(24-4)=a+i=2a,再令77=1,.•・S=2&-4=@=4,

・・・数列｛a｝是以4为首项，2为公比的等比数列,

.•.&=4•2〃T=2"+I,故选A.

a成等比数歹b则史什等于

7.已知等差数列｛a｝的公差和首项都不等于0,且色,1

)

A.2B.3C.5D.7

答案B

解析・・•在等差数列｛&｝中,改，电，，成等比数列,

国+与+3915a1

宕=/备，，(国+3d)2=(2+d)(&+7d),：・(}=aid,,:拄G,：・d=ai,：、

色+85al

=3,故选B.

8.已知S为数列｛a｝的前〃项和，若为(4+cos刀兀)=〃(2—cos〃兀)，则曲等于()

A.31B.122

C.324D.484

答案B

解析由题意可知，因为a(4+cOS77Jl)=77(2—COS刀兀)，

246

所以S1—1,32=三,刍=3,34=~金=5,…，

55f5

99

所以数列｛a｝的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列，偶数项构成首项%公差为匚的

等差数列，

所以So=(ai+&+...+49)+(石2+&+…+/0)=122,

故选B.

9.已知等差数列｛&｝的公差杉0,且a,改，为3成等比数列，若a=1,S是数列｛2｝的前

刀项和，则二^(〃£N*)的最小值为()

为十3

A.4B.3

C.2小一2D.|

答案A

解析由题意43成等比数列，可得(1+242=1+124解得4=2,故为=2〃-1,

2s+162/+16。+8(刀+i)2—2(〃+1)+99

Sn=n,因此d+3=2刀+2=刀+1=不=(7?+1)42,由基本不

9C+1Q/Q

等式知，V^=(〃+1)+F—222\/(〃+1)XF—2=4,当〃=2时取得最小值4.

为+3n+1Y'7n+1

10.已知尸(x)=｛x+；］—1是R上的奇函数，数列｛aj满足a”=F(0)+----1-/^^+

『(l)(〃eN*),则数列｛aj的通项公式为()

A.4=〃1B.4=77

C.d,n~~n~\~1D.5/7—77

答案c

解析由题意b(x)=(x+，-1是R上的奇函数，即尸(x)关于(0,0)对称，则/"(x)关于1

对称.

即f(O)+f⑴=2,

1

+…+㈠+广⑴=刀+1.

则为=广(0)+

11.在等差数列｛品｝中，已知2+为=10,则3a+乃7=.

答案20

解析设公差为4则为+备=2a+9d=10,

3a5+&=3(2+4初+(a+6初=4&+18d=2X10=20.

12.若等比数列数j的各项均为正数,且40&1+乃9al2=2/,则In&+lna2T--Fin&o=

答案50

解析:数列｛a｝为等比数列，且40为1+国&2=2e。

・・HioZii+a9al2=2aioaii=2e，••<310511~e，

/.In491+Ina2H-----bln&o=In(&&••・&())

=ln(aioan)10=ln(e5)10=lne50=50.

13.数列｛a｝的前刀项和为Sn.已知51=2,S+1+(—1)"5=2〃，则Sioo=.

答案198

解析当〃为偶数时，S+i+S=2〃，S+2—S+I=2/?+2,所以S+2+S=4/?+2,故S+4+S

+2=4(刀+2)+2,所以S+4—S=8,由劭=2知，S=2,又S—S=2,所以S=4,因为W

+5=4X2+2=10,所以2=6,所以反一&=8,Si2—&=8,…，Soo一&=8,所以Soo=

24X8+2=192+6=198.

14.若数列｛劣｝满足…>A+LA>…，则称数列｛a｝为“差递减”

数列.若数列｛aj是“差递减”数列，且其通项2与其前〃项和S(〃GN*)满足2s=3&+2才

—1(〃GN*),则实数X的取值范围是.

答案\，+s)

解析当〃=1时，2a1=3劭+24—1,ai=l—2,当时，2S—i=3d—1+24一1,所

以2a=3&—32_1,d=3劣一1,所以a=(1—24)3"一1,劣一&_1=(1—24)3"一1一(1一24)

3"T=(2_4X)3"T,依题意(2—44)3T是一个减数列，所以2—4A<0,^>1.

15.S为等差数列｛4｝的前〃项和，且&=1,岳=28.记4=[1ga],其中[%]表示不超过x

的最大整数，如[0.9]=0,[1g99]=1.

⑴求A,611,加1；

(2)求数列｛4｝的前1000项和.

解(1)设｛a｝的公差为名由已知可知，

,7X(7-1),

S=7X&+-~~-X67=7+2167=28,

解得d=\,所以｛&｝的通项公式为a=1+(72—1)X1=72.

61=