新教材苏教版必修第一册3. 2. 1 基本不等式的证明

3.2基本不等式而《竽（a,g0）

3.2.1基本不等式的证明

3.2.2基本不等式的应用

基础过关练

题组一对基本不等式的理解

1.若a,beR,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是（）

2+b2>2abB.a+b>2Vab

C.i+i>^=D.-+^>2

ab7abab

2.不等式（x-2y）+会2成立的前提条件为（）

22yB.x>2y

<2yD.x<2y

3.下列各式中,对任何实数x恒成立的是（）

A.x+l>2Vx2+1>2X

C.1•<1D.x+->2

x2+lX

4.（2020北京东城高一期末）“a,b为正数”是、+1）〉2区”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

题组二利用基本不等式比较大小

5.已知a,beR,则a2+b?与21abi的大小关系是（）

%）2221abi2+b2=2|ab|

2+b2<21ab|W>21ab|

6.设0<a<b,且a+b=l,则下列四个数中最大的是（）

7.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a涔^>Vaib>b

B.b>Vab>

C.>Vab>a

D.b>a>^1^>y[ab

8.若a>b>c,则号与J（a-b）（b-c）的大小关系是.

题组三利用基本不等式求最值（取值范围）

9.（2020江苏江阴四校高二上学期期中）若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范

围是（）

A.[9,+8)B.l]u[9,+8)

C.(0,1]U[9,+8)D.[1,9]

10.（2020浙江诸暨高二期末）已知函数y=x+4（x>l）,则函数的最小值为（）

X-1

V2V2+1

11.（2020福建南平高一期末）若a,b都是正数,则（1+£）（1+,）的最小值为

（）

12.（2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末）若正实数X,y满足x+y=l,则士+工的

x+1y

最小值为（）

.4427

A-7Bn-T

C.4D.|

32

13.设0<x<2,则函数y=j3x（8-3x）的最大值为.

题组四利用基本不等式证明不等式

14.设x>0,求证:x+-^—>1.

2%+12

15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>V^F+y[bc+\[ca.

16.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=l,求证：g-1)Q-1

17.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=l.求证:亦+Vb+Vc<-+^+-.

abc

题组五利用基本不等式解决实际问题

18.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且三角形的面积为1n?的铁架框（铁管

的粗细忽略不计），在下面四种长度的铁管中，最合理（够用,且浪费最少）的是

（）

mmmm

19.某公司租地建仓库,每月土地占用费力与仓库到车站的距离成反比,而每月库

存货物的运费力与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库,那

么这两项费用（和yz分别为2万元和8万元要使这两项费用之和最小,仓库应建

在距离车站"处（）

20.（2020广东广州荔湾高二期末）为不断满足人们日益增长的美好生活需要，实现

群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大

型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综

合体ABCD,该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周的绿化带组成.规

划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）.当

长方形ABCD占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为（）

厂!---产

约研w：,

mm

VTomm

21.某市一外贸公司第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均

增长率为X,则X与学的大小关系是.

能力提升练

题组一利用基本不等式求最值

1.（2020山东昌乐一中高二月考,*）设2,1）满足2a+3b=6（a>0,b>0）,贝联+：的最小

ab

值为（）

A,弓B.fC,

633

2.（多选）（2020广东东莞高二期末,#7）若正实数a,b满足a+b=l,则下列说法正确

的是（）

有最大值;

4

B.Va+四有最小值包

C-+：有最小值4

ab

lb?有最小值日

3.（2020辽宁辽南协作校高二期末联考,"）设正实数a,b,c满足a+b>c,贝上+左

ab+c

的最小值为.

4.（2020江苏连云港高一期末,"）已知x〉0,y>0,则立邛的最小值为.

xy+yN--------

5.（2。2。山东前泽高二期末,"）已知x>y>0,求退品的最小值.

题组二利用基本不等式证明不等式

6.3）已知a,b为正数，求证'+台啜3

7.（2020山东烟台高二期末,#7）己知a,b,c均为正数,且a,b,c不全相等.求

证年+*+9a+b+c.

22

8.(水：)若a>b,且ab=2,求证:“+?24.

a-b

9.(*)(1)已知a、b、ceR,求证:丁屋+板+“2+心+7c2+a2^V2(a+b+c);

⑵若0<x<l,a>0,b>0,求证:贮+^->(a+b)2.

X1-x

题组三基本不等式在实际问题中的应用

10.(#：)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数

学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多代数中的公理、定理都能够通过图

形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示,AB是半圆0的直径，点C

是AB上一点(不同于A,B,0),点D在半圆0上，且CD±AB,CE±0D于点E,设AC=a,BC=b,

则该图形可以完成的“无字证明”为()

A.而碧(a>0,b>0)

B.孚〈当(a>0,b>0,a*b)

2a+b

C.岭倔(a>0,b>0)

a+b

D.<Vab<字(a>0,b>0,a*b)

a+b2

11.(W)一批货物随17列货车从A市以V千米/时的速度匀速直达B市，己知两地

铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于(A7千米,则这批货物从A

市全部运到B市最快需要小时.(不计货车的车身长)

12.(*?)某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12

层,每层4000平方米的楼房.经初步估计,如果将楼房建为x(xN12)层,那么每平方

米的平均建筑费用为s=(3000+50x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,

该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少？

(注:平均综合费用;平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用二黑瞿)

13.(#7)2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，后被诊断为一种新

型冠状病毒性肺炎.新型冠状病毒感染的肺炎疫情来势汹汹，1月中下旬,疫情防控

已经到了刻不容缓的地步.在这个紧要关头,党中央决定向湖北派出指导组督导湖

北武汉把习近平总书记的指示和中央部署贯彻落实好,并指导湖北武汉抗击疫情.

湖北省武汉市依法采取果断措施,坚决落实“四类人员”分类集中管理措施.武汉市

为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募

捐的万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后

墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造

价45元,顶部每平方米造价20元.问：

(1)改造后方舱医院的面积S的最大允许值是多少？

(2)为使S达到最大,而实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长？

答案全解全析

3.2基本不等式底4等(a,b20)

3.2.1基本不等式的证明

3.2.2基本不等式的应用

基础过关练

1.D•.•a2+b2-2ab=(a-b)、0,...A不符合题意；当a〈O,b〈O时，明显B,C不符合题意;

Vab>0,/.->0,^>0,.*.-+->2口=2,当且仅当a=b时，等号成立，；.D符合题意.

abab7ab

2.B不等式成立的前提条件是x-2y和=均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选

x-2y

B.

3.C对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=l时,X2+1=2X,故B不恒

成立;对于C,必+121恒成立,所以41恒成立;对于D，当x<0时,x+i<-2,故D不

恒成立.故选C.

4.D若a,b为正数,取a=l,b=l,则a+b=2V^,所以“a,b为正数”不是“a+b>2VHT

的充分条件;若a+b>2VH瓦取a=l,b=0,则b不是正数,所以“a,b为正数”不是

“a+b>2倔”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2VHT的既不充分又不必要条件,故

选D.

5.AVa2+b-2|abH(|a|-|b|)2>0,

.♦.a'+b2221abi(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).

6.B解法一：因为0<a<b,所以l=a+b>2a,所以a<1.因为a2+b2>2ab,所以四个数中

最大的数一定不是a和2ab.因为l=a+b>2Vab,所以abd,所以2ab<-,a2+b2=

42

(a+b)2-2ab=1-2ab>1—1=|,B[Ja2+b2>|,故选B.

解法二(特值验证法):取a=1,b=：，则2ab=|,a2+b2=|.

因为：>：>[>：,所以I+b?最大，

9293

故选B.

7.C*/0<a<b,/.2b>a+b,/.>y[ab.

Vb>a>0,/.ab>a\/.Vab>a.故>Voh>a.

8.答案g4(a-b)(b-c)

解析因为a>b>c,所以*=(Q-b)：b-c)Njg-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c

时，等号成立.

9.AVa>0,b>0,/.a+b>2VHb,当且仅当a二b时取等号，

/.ab=a+b+3N2V^F+3,

即ab-2，。匕-320,

所以(病一3)(V^F+l)N0,

解得近FN3或(舍去)，则ab>9.

故选A.

10.C因为x>l,所以X-D0,所以y=x+*=(x-l)+—+1>2(x-1)--+1=5,当且

X-1''X-17'X-1

仅当X-19,即x=3(x=-l舍去)时，等号成立.故选C.

X-1

11.C因为a,b都是正数,所以(1+£)(1+弟=5+£+,5+2J舞9(当且仅

当b=2a时，等号成立），故选C

12.Dx>O,y>O,x+y=1,:.x+1+y=2,

••喘+户手・岛+；)竹(1+4+券+”用><(5+2炳=|(当且仅当

x=3y=:时，等号成立)，故选D.

13.答案4

解析,:0<x<2,.,.0<3x<6,8-3x>2>0,:.y=j3%(8-3%)4型联义=|=4,

当且仅当3x=8-3x,即x[时,等号成立.

二当x1时,y43%(8-3x)有最大值,最大值为4.

14.证明因为x〉0,所以x+g>0,

所以X+3=X+」T=X+%+々一%2l(x+-)---=-,

2X+1

应2*2八2)x+i22

当且仅当X+；=A即X=1时,等号成立.故x+-^->1.

2x+-22x4-12

2

15.证明•.•a>O,b>(),c>(),

/.a+b^2VHF>0,b+c>2V^c>0,c+a>2Vca>0,

/.2(a+b+c)N2(VaF+Vbc+y[ca),

即a+b+c>Vab+Vbc+VFZ(当且仅当a二b二c时，等号成立).

.「abc为不全相等的正实数，.•.等号不成立，・•・a+b+c>VH^+V^+V^.

16.证明因为x,y,z都是正数,且x+y+z=l,

所以工_1=生="&迷，①

XXXX

1-1=1^=$返②

yyyyf

2_1=4=0返,③

zzzz9

①X②X③，

得G-l)停-1)(1148,当且仅当x=y=z[时，等号成立.

又因为x,y,z互不相等,所以

17.证明因为a,b,c都是正实数,且abc=l,所以三+白2区=2近,

ab7ab

K+2点=2限

-+->2口=2倔

acy]ac

三个不等式左、右两边分别相加，得

2((+*+十)之2(y/u+yfb+yfc),

当且仅当a二b二c时，等号成立.

又因为a,b,c为不全相等的正实数，

所以+y/cV三+：+士

abc

18.C设直角三角形的两直角边长分别为xm,ym,则为y=l,即xy=2.

周长l=x+y+^/x2+y2>2yfxy+,2%y=2A/2+2=4.83(m),

当且仅当x二尸四时,等号成立.结合实际问题,可知选C.

19.B设仓库与车站的距离为xkm,yi=B(L*O),Ya=fex(k2*0),由x=10

时,yi=2,y2=8,得k,=20,k2=0.8,所以yi哼y2=0.8x,设费用之和为y元，则

y=y2+y1=0.8X+^->2/o.8%-^=8,

当且仅当0.8x=->即x=5时,等号成立,故当仓库建在距离车站5km处时,两项费用

X

之和最小.故选B.

20.B设BC=xm(x>0),贝！ICD=—m,

X

所以长方形A,B,C,D的面积S=(x+10乂詈+4)

=1040+4x+吧吧

X

>1040+2］铉^^=1440,

当且仅当4x=i"竺,即x=50时,等号成立，

X

所以当长方形ABCD占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为50m.故选B.

21.答案x<—

2

2

解析依题意，可得l+a>0,l+b〉0,(l+x)2=(l+a)(1+b)［也产)=(1+

等了(当且仅当a=b时,等号成立)，

所以1+XV1+等，即x4手.

能力提升练

LAL2a+3b=6卷+豹,

（2,b\,ba

.2,33\/a,131bla.13n13,Q25

ab\abj\32/6abbyab66

当且仅当2=三,即a=b4时,等号成立.

ab5

2.ACVa>0,b>0,5.a+b=l,

l=a+b22vH瓦.，.abW（当且仅当a=b=1时,等号成立），

，ab有最大值之...A正确；

4

V（Va+#）2=a+b+2VHF《a+b+2•等=2（当且仅当a=b=g时,等号成立）,

+册d,：.«L+仍有最大值或，，B错误；

•T+1=^=白24（当且仅当a=b=；时,等号成立），

ababab2

*e--+3有最小值4,

ab

AC正确；

,.•a：'+b,2ab（当且仅当a=b=1时，等号成立），由A选项知2ab<|,

•••a2+b2的最小值不是?，

.•.D错误.故选AC.

3.答案V2-1

解析Va,b,c是正实数，且满足a+b?c,

/.a+2b2b+c,

・babab1

••一H-------N-H-----------=-H--------乔

ab+caa+2bai+—

a

弓（1+弓）+言管

a

当且仅当a+b=c且b=^-a时,等号成立.

故答案为企—

4.答案2

/+3y2_/+3

解析

xy+y2^+1

设』,'.,x,y>0,.,」>(),

...立岑=士=、+1产2住+1)+4=0+1)+--2>2l(t+1)x—-2=4-2=2,

xy+y2t+1t+1))t+197t+1

当且仅当1+1=^,即t=l时取等号，此时x=y,

故立冬的最小值为2.

xy+y2

5.解析因为x>y>0,所以x-y>0,

所以0〈y(x-y)1匕箸『=9,

所以x2+-^->x2+if>2疑1=8,

y(x-y)xz7%2

ry=x-y,

当且仅当卜2=枭即后二:时，等号成立,

1%>y>0,

故（+事的最小值为8.

y（x-y）

6.证明因为a>0,b>0,

所以(2a+b)6+=6+《+詈6+2=6+4近=2(71+1)2(当且仅当

b=2&a时,等号成立).

因为2a+b>0,

所以"黑用卢.

ab2a+b

7.证明..•a>0,bX),c>0,

三个不等式左、右两边分别相加,化简得r+右+ga+b+c,当且仅当a=b=c时，等

号成立.又a,b,c不全相等，，等号不成立，

.beac.ab.,.

.・——I------1---->a+bu+c.

abc

8.证明因为a〉b,所以a-b>0,所以宁=空"里=史鲁=(a-b)+

a-ba-ba-b

-^->2I(a-b)-^-=4,当且仅当a=l+B,b=-1+遮或a=l-V5,b=-1一旧时，等号

a-b'''a'b

成立.所以分M.

a-b

9.证明⑴•.,早4月正，...迎2+b2”=y(a+b)(当且仅当a=b时,等号成

立）.

同理,Vb2+c2>y(b+c)(当且仅当b=c时，等号成立)，y]a24-c2>y(a+c)(当且仅当

a=c时,等号成立).

三式相加得+炉+7b2++Va2+c2-~(a+b)4-y(b4-c)4-Y(a+c)

=&(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).

左边二(x+l-x)(y+^)=a2+b2+b2+

—a2^a2+b2+2b2,—a2=a2+b~+2ab=(a+b)b2=—a2,即

X7l-xX1-XX

x=G；时，等号成立).

a+b

10.D由AC=a,BC=b,可得半圆0的半径D