高中数学课时检测42函数的零点苏教版必修第一册

函数的零点

[A级基础巩固]

1.尸/Xx）的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表:

X123456

y0.5-3-234-4

则y=F（x）在区间（1,6）上零点个数为（)

A.3个B.奇数

C.偶数D.至少3个

解析：选D由表可知，在（1,2）,（3,4）,（5,6）三个区间内，尸f（x）各至少有一

个零点，故在（1，6）内至少有3个零点.

2.（多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有（）

解析：选CD

3.（2021•滦阳高一月考）己知卬是函数F（x）=W-2'+2的零点，则实数旌（）

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析：选B函数f（x）=W-2'+2的零点，等价于了=百与y=2'一2的交点的横坐

标，如图所示,

可知两函数的交点横坐标的范围在（1,2）内.故选B.

4.（2021•泰州高一质检）方程e'+x—2=0（其中e=2.71828…）的近似解所在的区间

是（）

A.(0,1B•&1

解析：选A设f(x)=e'+x—2,则函数f(x)为R上的增函数,

因为/'（0）=-1<0,/

由零点存在定理可知，方程e'+x-2=0的近似解所在的区间是(0,A故选A.

加为函数/'(x)=(g)—Ilog2(x—1)I的两个零点，则下列结论

5.(多选)已知实数小

正确的是（）

A.（汨一2）（用-2）<0

B.（汨一1）（也―1）£（0,1）

C.（汨―1）（照—1）=1

D.（小一1）（自一1）e（1,+00）

解析：选AB令/1（x）=0,则=Ilog2U—1）,,分别作图y=（；）与p=|log2（x—

1”如图所示:

由图可得1<汨<2<如所以(汨一2)(照一2)£(―8,0)成立，故A正确;

由于10g2（Xl—1）（及-1）=log2（^l—1）+log2（^2—1），所以0<Cn-1）（&

-1X1,故B正确，C、D错误.故选A、B.

\x—x—1,*22或xW—1,

6.若F（x）=«则函数g（x）=f（x）—x的零点为

[1,—1<K2,

解析：由f(x)=x,

得」或x』W—1,或[。―1<%<,2,

解得入=1+啦或入=1.

答案：1,1+^2

7.函数/U)=|x—21一Inx的零点的个数为一

解析：由题意知，函数/<x)的定义域为(0,+8),函数/'(x)在(0,

+8)内的零点就是方程|*一2|—Inx=0的根.令％=|x-2j乃=ln

x(x>0),在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示，由图

知，两个函数图象有两个交点，故方程|x一2|—Inx=0有2个根，即

对应函数有2个零点.

答案：2

8.已知函数F(x)=3"+x—5的零点A(>e[a,b\,且b—a=l,a,6EN*,则a=,

b—.

解析：：函数f(x)=3*+x-5,.../■(l)=3'+l-5=-l〈0,f(2)=32+2-5=6>0,

f(l)f(2)〈0,且函数f(x)在R上单调递增，F(x)的零点xo在区间(1,2)内.，a=l,b

=2.

答案：12

9.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

(l)f(x)=—f+2x—1；

(2)f(x)=x—x；

(3)f(x)=4'+5；

(4)f(x)=log3(x+l).

解：(1)令一f+2x—1=0,解得xi=%=l,

所以函数f(x)=-<?+2万-1的零点为L

(2)因为/a)=/(x-l)(x+l)=0,

所以x—0或x=l或x——\,

故函数/1(才)=，一*2的零点为0,—1和1.

(3)令4,+5=0,则4*=一5<0,

因为4'>0恒成立，所以方程4'+5=0无实数解.

所以函数f(x)=4*+5不存在零点.

(4)令log3(x+l)=0,解得x=0,

所以函数F(x)=logNx+l)的零点为0.

10.对于函数/1(X),g(x),设ae(x|f(x)=0},£G{*|g(x)=0},若存在a,£,

使得Ia-B\W2,则称f(x),g(x)互为“零点相邻函数”.若f(x)=ei+x—3与g(x)

=/一/一a—2互为“零点相邻函数”，求实数a的取值范围.

解：〃2)=0,且F(x)在R上为增函数，所以Ax)只有唯一零点2,

Ax),g(x)是“零点相邻函数”,g(x)在[0,4]至少有一零点,

令g(x)=x—ax—a—2=0,

x—2

设方O)=5+]，4],y=a,力(x)与尸H在[0，4]有交点，

/、x—2(%+1)之一2(才+1)—11「“1

夙x)=K=7+1=x—=-1,*G[0,4])

由一次函数和反比例函数的单调性可知Mx)在XW[O,4]上为增函数，所以

'14114

A(%)e-2,y,要使方(x)与y=a在[0,4]有交点，需一2WaW石.

那a的取值范围为一2,吊■.

[B级综合运用]

11.(多选)(2021•姜堰二中月考)若函数尸F(x)在区间[a,3上的图象为一条连续不

断的曲线，则下列说法中错误的有()

A.若f(a)f(6)>0,则不存在实数cd[a,8，使得/'(c)=0

B.若/•(a)f(6)〈0,则存在且只存在一个实数ce[a,b\,使得f(c)=0

C.若/'(a)f(8)>0,则可能存在实数cd[a,b],使得F(c)=0

D.若/•(a)f(8)<0,则可能不存在实数cC[a,b],使得/<c)=0

解析：选ABD取区间取为[-2,2],满足£(一2)-(2)〉0,但是/'(x)在

[-2,2]内存在两个零点一1,1,故A说法错误，C说法正确；取/•(x)=sinx,区间取为

甲彘一，满足)=5义(一5)=一不0,但是f(x)在至,—^―内存在三个零

点n,2n,3n,故B说法错误；根据零点存在定理可知，D说法错误.故选A、B、D.

eA,xWO,

12.己知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取

Inx,x>0,

值范围是(

A.[—1,0)B.[0,+«>)

C.[-1,+8)D.[1,+«>)

解析：选C函数g(x)=F(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程/1(x)=—x—a有

2个不同的实根，即函数Hx)的图象与直线尸一A-a有2个交点，作出直线尸一工一a

与函数/Xx)的图象，如图所示，由图可知，-aWl,解得a2一1.

X4X

13.(2021•如皋中学月考)已知XGR,函数/l(*)=2'1'当4=2时,

lx—4%+3,x<A,

不等式f(x)〈0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点，则A的取值范围是

[x<2,

解析:由题意得或《

x—4<0Ix—4^r+3<0,

所以2WK4或1<京2,即1<水4,

所以不等式f(x)<0的解集是(1,4).

当4>4时，f(x)—x—4>0,此时/'(x)=/—4x+3=0,x=l或x=3,即在[4,+°°)

上有两个零点；

当4W4时，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=/-4x+3在(一8,2)上只能有一个

零点得1<4W3.

综上，，的取值范围为(1,3]U(4,+8).

答案：(1,4)(1,3]U(4,+8)

14.已知函数f[x)=x—bx+3.

(1)若f(0)=f(4),求函数Hx)的零点;

(2)若函数f(x)一个零点大于1,另一个零点小于1,求。的取值范围.

解：(1)由f(0)=f(4)得3=16—48+3,即8=4,所以/>(X)=V—4X+3,令f(*)=0,

即4x+3=0得％=3,*2=1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为/tv)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

需/UXO,即1-6+3<0,所以8>4.

故6的取值范围为(4,+8).

[C级拓展探究]

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15.已知函数f\x)=loglx+———

—C>X乙

2

(1)用单调性的定义证明：Hx)在定义域上是单调函数;

(2)证明：/'(X)有零点；

(3)设/•(*)的零点旅落在区间信p力内，求正整数〃的值.

解：(1)证明：显然，f(x)的定义域为(0,+8).

任取乂，至仁(0,+8),不妨设水如则&一为>0,乂上2>0,则:^——^>°，logl

2xi2x2