线性代数学习指导讲稿

第一篇内容提要与典型例题分析

第一章行列式

1.1教学目的要求

1.会求n元排列的逆序数;

2.熟练掌握计算2阶和3阶行列式的对角线法则;

3.深入领会行列式的定义；

4.掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式;

5.灵活掌握行列式按（列）展开；

6.理解代数余字式的定义及性质；

7.会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解.

1.2重要公式与结论

1.2.1n阶行列式的定义

“11012"•a\n

n阶行列式。=%a22a2n十/八,

=\(-1)。5a2内

..............................(PlP2-P„)

a.2•••a””

其中P1P2…P”是n个数12...n的一个排列，t是此排列的逆序数，£表示对所有n元

排列求和，故共有n!项.

1.2.2行列式的性质

1.行列式和它的转置行列式相等.

2.行列式的两行（列）互换，行列式改变符号.

3.行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于

用该数乘此行列式的任意一行（列）.

4.行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零.

5.若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，

a\\a\2■"%”«11a\2.­•%”«lla\2.-ayn

aa+bb

%+%i2+〃2.1,inin—%ai2.•,au,十bn坛••,in

an\an2.-a„na„\an2,••a„nan\an2,-a,.n

6.把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上

去，行列式的值不变.

1.2.3行列式按行（列）展开。设D为n阶行列式，则有

Di=j

EaikAjk=%41+4,242+•••+“"/"=<

K=10i丰j

Di=j

aA+aA

X"ikAjk=n,i\i2j2+…=<

K=10i^j

其中A”是%的代数余子式.

1.2.4克拉默法则

1.如果线性非齐次方程组

a"[+a]2x24----F=A

ax+ax+---+ax=b

<2X}2222nn2

q内+见02+X"=bn

“11"12…a\n

aa”...aD

的系数行列式O=121}22l2n”00,则方程组有唯一解x,=j（i=i,2,…，n）,

%]%2,•1斯"

其中。是D中第i列元素（即x,的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式.

2.如果线性齐次方程组

/丙+吁2+…+为“x”=0

ax+axH—+ax=0

<2}]2222nn

«„,x,+a„2x2+---+a„„x„=0

的系数行列式。#0,则方程组只有唯一零解.

若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0=0.

1.2.5一些常用的行列式

2

1.上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.

a\\。12…a\na]]0...0a”0...0

0d22•••6Z2]。22«••00a22...0

—=

•••••••«•••••・••••••••••••«••••・・««•

aaa

°0...annn\n2…nn°0…

如瓦“

2.设R=：D2=::「则

h

ak1„\…b1m

a\\…a\k

\\\0

aa

k\,「kk

C\\…C\k"11…配

%•••cnk%…b,

3.范德蒙行列式

11...1

"142…an1-Tz、

=11(%-《)・

…...........................\<i<j<n

%"T琪T…

1.2.6.计算行列式的常用方法:

1.利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式;

2.利用n阶行列式定义计算行列式；

3.利用行列式的性质化三角形法计算行列式；

4.利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；

5.利用数学归纳法计算行列式；

6.利用递推公式计算行列式；

7.利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；

8.利用加边法计算行列式；

9.综合运用上述方法计算行列式.

1.3典型例题分析

例1.1下列排列中（）是偶排列.

(A)54312(B)51432（C）45312(D)654321

3

解按照例1的方法计算知：

排列54312的逆序数为9；

排列51432的逆序数为7；

排列45312的逆序数为8；

排列654321的逆序数为15；

故正确答案为（C）.

例1.2下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（）.

（A）^（3^44^32^41^55（B）"2l"32"41"|5054（C）"31"25"43"14052（D）^15^31^22^44^53

解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此（A）、（B）不

是五阶行列式的项，但（C）应取负号，故正确答案为（D）.

201311

例1.3行列式3=02-10,。2=232，若鼻=。2,则％的取值为（）

102153

(A)2,-1(B)1,-1(C)o,2(D)0,l

解按三阶行列式的对角线法则得3=（几+1）（/1-1）2,。2=0.若R=。2，则

（2+1）（2-I）2=0,于是九=1,一1,故正确答案为（B）.

/U1+%2+=1

例1.4方程组＜西+AX2+x3=1有唯一解，贝ij().

%1+x2+AX3=1

(A)1且XH—2(B)XH1且几。一2(C)XHI且4H2(D)XH—1且

402.

解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时.，该方程组有

唯解，于是令行列式

A11

1A1=（2+2）（2-I）2^0

11A

即且2。一2,故正确答案为（B）.

20062008_

例1.5D-).

20042006-

分析：对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行

计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质

4

进行计算.

解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算

较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解.

20062008-22008-22

DCCc+1003c,=4,

20042006\~2-220062-20

故答案为4.

1234

2341

例1.6D=).

3412

4123

分析:如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到

第一列（行），提取第一列（行）的公因子（简称列（行）加法）.

解这个行列式的特点是各列4个数的和为10,于是，各行加到第一行,得

12341010101011111111

234123412341()12-1

D1010

34123412341201-2-1

4123412341230-3-2-1

1111

012-1

=10160.

00-40

000-4

2xx12

1x1-1

例1.7设/（无）,则炉的系数为（),一的系数为（).

32x1

111x

分析：此类确定系数的题目,首先是利用行列式的定义进行计算。如果用定义比较麻

烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算.

解从/（%）的表达式和行列式的定义可知，当且仅当/（%）的主对角线的4个元素的

积才能得出其系数显然是2.当第一行取/3（=1）或卬4（=2），则含％3或%4的行列式

的项中是不出现含a“（=2x）的行列式的项中是不出现于是含/的项只能是含

an,a2i,%3，a44的积，故/的系数为一1.

5

故答案为2,-1.

12345

11122

例1.8设。=32146则(1)+A32+A33=().

22211

43210

(2)A34+&5=()，(3)A51+人52+A53+44+人55=()•

分析：此类题目•般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结

构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算.

12345

11122

解111220（第2,3行相同）

A3|+Ai2+A33+2(434+435)=

22211

43210

即(41+42+43)+2(44+)=0.同理2(41+432+A33)+(434+45)

于是，

A31+Ai2+A33=0>A34+A35=°

1234512345

1112211122

451+452+453+^54+^55=32146〃+32146=0

2221133333

1111111111

故答案为0,0,0.

00…010

00:200

例1.9D-

02005•••000

20060…000

00•••002007

分析:当行列式中有较多零元素时，•般可以采用行列式的定义或按行（列）展开来计算.

解此行列式刚好只有n个非零元素,%._2，ann,故非零项只有一项:

,其中（〃1）（"2）

(-1)ain-ia2n-2"'an-\\ann

2

(2007-1)(2007-2)

因此£)=(-1)丁2007!=-2007!.

6

此题也可以按行（列）展开来计算.

例1.10计算n阶行列式

211­-1

121•-1

Dn=112■-1

111­•2

解法1（行（列）加法）

因为这个行列式的每一行的n个元素的和都为n+1,所以将第2,3,…，n列都加到第

一列上，得

n+1111111

〃+12111211

Dn=n+112[=(«+!)112"一八，(i=2,3,…〃)

n4-11111•••2

1111

0100

(/J+1)0010=〃+1

000•••1

解法2（加边法）

解法3（利用行列式的性质）

7

1+x*1+X|乃•,•i+/方

i+尤2yl1+”,••1+々以

例1.11计算。“=

1+5l+X/2-■-l+x,J“

1+x*1+X|>2

解当n=2时一，。2=二（工2-xj(乃-y,)

1+X2必1+*2%

1+x*1+x1y2…1+/%

（》2—七）弘(KJ口）必

当n）3时，=0

Dn=

(X.FM（x“一Jq)%

例1.12计算

a+X]aaa

]2%,,n-2%Tn

-%iX20•-000

D“=

000•,-X,.-2X“_i0

000•-0一x,,-\X”

其中七片0（iwl,2,…

解因Z)]=|cZ]4-X]|=6tj+X]=X](1d---),

ax+/

=xx(l+—+-),

D2=12

一/王九2

归纳推得Dn=xtx2••■x„(l+—+

-+9

8

用数学归纳法证明上式，假设当k=n-l时结论成立，即

D,i=x]x2-•-x,,，!(1+—+•••+—^).

则当k=n时，将按第n列展开，得

l+H

D“=x„+(-l)an(-%1)(-x2)•••(~xn_2)(-%„_1)

=x“%+(—1产(-I)"-'ax2-

can

Xn^n-\+X\X2，9*Xn-2Xn-lXn

=JCjXj•••xn(l+—+•••+—)

玉X.

即当k=n时结论也成立,故对一切自然数结论都成立.

例1.13计算

11•••1

222…2"

。“=332…3"

nn~•­•n"

解(利用范德蒙行列式计算)

111•­•1

T123…n

。“=2=〃!：：：：

12"T3'1...n"-'

=n!(2-1)(3-1)••■(«-1)(3-2)(4-2)---(/z-2)---[n-(n-l)]

=n!(n-l)!(n-2)!---2!.

a+pa0­-00

Pa+0a-•00

0pa+p-•00

例1.14计算=

000••a+/3a

000•-Ba+/3

解按第一列把Dn分成两个行列式的和

9

aa0・・・00Ba0••00

0a+£a・・・00Ba+〃a-•00

00a+000Ba+p-•00

D.=+

000…a+£a000•-a+pa

000…#a+(3000•-Pa+/3

/a0…00

0/a・・•00

0000

=+=aD»_i+/(1)

000…尸a

000…0£

Ba000

0a+£a•••00

0Ba+p…00

D„+

000a+£a

000Pa+B

aa0•-00

Ba+Pa•-00

0Ba+/3•-00

000••a+Ba

000•-Ba+(3

a0000

0aQ00

0/3a00„

=爪+.•=网一|+2⑵

000a0

000Pa

ocn-B

(a)当a丰/3时由(1)(2)得a2i+£"=£0i+a",则Qt=——受

a-p

a"+l-J3n+l

于是D„

a-p

(b)当a=尸时，由(1)得Dn-c(Dn_{+a"=,•,=(”+l)a".

10

abc

例1.15设a>/?>c>0,证明:b2c2<0.

ab+be+ca

becaab

证明将行列式的第1行x(o+b+c),第2行x(-l),然后加到第3行，得

abcabc

a2b2c2=a2b2c2

becaabab+be+caab+be+caab+be+ca

abc111

=(ah+he+ca)a2b2c2=(ab+be+ca)abc

111a2b2c2

=(ab+be+CG)(C-a)(c-b)(b一a)

于是，不等式的左边=(。一。)(。一匕)@一。).由于。>b>c>0,

从而(c—a)<0,(c—〃)<0,3—q)<0,因此，当时,

abc

b2c2<0.

〃/?+be+ca

becaab

例1.16设/(x),g(x),//(x)在［〃,切上连续，在(a,。)内可导，试证：至少存在一个

f(a)g(a)h(d)

］£(a,b),使得〃G)=O其中H(x)=g(b)h(b).

/(%)g(x)h(x)

证明由题设知”(x)在［a,句上连续，在(氏。)内可导，又由行列式的性质可知

H(a)=H(b)=0,于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个自£(。,0),使得“'0=0.

1.4独立作业

1.4.1基础训练

一、选择题

1.设。=同|为〃阶行列式，则为2423a34…4.1/,“在行列式中的符号为().

n(rt-l)

(A)正(B)负(C)(—1严(D)(-1)^

2.行列式。“为0的充分条件是(

11

(A)零元素的个数大于n;(B)，中各行元素的和为零；

(C)次对角线上元素全为零；(D)主对角线上元素全为零.

3.行列式不为零，利用行列式的性质对。“进行变换后，行列式的值).

(A)保持不变;(B)可以变成任何值;

(C)保持不为零;(D)保持相同的正负号.

1111

12-2x

4.方程=0的根为).

144X2

18-8X3

(A)1,2,-2(B)l,2,3(C)l,-1,2(D)0,1,2

a\2ai33Q”44]3-。12一。13

5.如果D=。21〃22。23=4,则A=3。214a23一。22一。23

。31。32。333々314〃33—。32一〃33

(A)-12(B)12(C)48(D)-48

二、填空题

42516251

6.行列式).

70929092

logo*1

1logba

abc

8.行列式bac,则A”+A?1+A3]=().

dbc

2x13

9.函数/(x)=x—x1中的系数为().

21X

11111

12345

10.122324252).

123334353

124344454

三、计算题

12

10100

14916Qy0x

02-100

491625x0yQ

11..12.D=13.D=31000

91625360x0y

00021

16253649y0x0

0000-2

53000

1Xyz25300

14.1y15.02530

1z孙00253

00025

X]+y]XI+>2X]+%事+>4

工2+%Z+为G+为》2+九

16.

/+M%3+为/+X

乙+为乙+为乙+L

伍b2by咄b.

-a}a2000

17.0一出。300,(其中%N0,(i=l,2,…,〃))

000-«„-i%

0111

1XI00

18.D=10x20(x,0,z=1,2,1••,«)

100•••xn

1222

1+x(111

2222

11+x11

19.220.2232

111+七1

111+X4

222n

211

121

21.D„=

11•••2

四、综合题

13

2xl+4X2+(4-l)x3=0

22.当〃取何值时，齐次线性方程组((〃-3)为+X2-2X3=0有非零解？

-xl+(1-/LI)X2-x3=0

2cosa10••00

12cosa1••00

012cosa••00_sin(7i+l)a

23.证明

sina

000••2cosa1

000■-12cosa

(其中sinaw0).

1.4.2提高练习

一、选择题

1.设4为n阶方阵,A为4的伴随矩阵,则||A|4*|为).

(A)(B)|A『T(C)|呢"(D)⑶"

0B

2.设A为n阶方阵，8为m阶方阵,).

A0

(A)T胭(B)W(C)(T)/胭(D)(-l)m+B|A||S|

x-x-IX

223x

3,若g（%）=,则％2的系数为（）.

-71043

1-71A

(A)29(B)38(C)—22(D)34

2x—22x_12x_22x_3

4S(X>=

-3x-33x-24x—53x—5则方程g（x）=o的根的个数为（).

4x4x-35%-74尤-3

(A)l(B)2(C)3(D)4

ax+z=0

5.当aw()时，方程组■2x+ax+z=0只有零解.

\ax-2y+z=0

14

(A)-l(B)0(0-2(D)2

二、填空题

6.排列rj2r3…，”可经过()次对换后变为排列厂3.J“_2…小

7.四阶行列式中带负号且含有因子412和的项为().

x-y0

8.设x,y为实数，则当x=(),y=()时，yx0=0.

-10-1

9.设4为4阶方阵，8为5阶方阵，且同=2,冏=—2,则|-|fi|/l|=(),

H胭=().

10.设A,8为n阶方阵，且闺=3,忸|=—2,则|34*8]=().

11.设A为3阶正交矩阵，网＞0,若|3A+B|=7,贝ijE+gAB，=().

100

12.设A240,则怛+2A[=().

356

三、综合题

1XX_2…X

1瓦6…b;

13.解方程组1b2b\…b’;=0,

1bn斤…K

其中仇,打,打,…也,为各不相同的常数.

42(X)•••q“(X)

axax

勺2(刈…ann(x)

XX2

15.设g(%)=l2x次，求g，(x).

026x

15

111

16.设g(x)=%-33X2-51-3%2,试证：存在Jw(0,1),使得g'e)=0.

2X2-13X5-17X8-1

17.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零.

18.设X,y,z是互异的实数，证明：

111

xyz=0的充要条件是x+y+z=0.

/y3z3

1-513

1134

19.设同=][23，计算设41+乙+-43+-44的值，其中4(i=1,2,3,4)是

2234

|A|的代数余子式.

%j4-2X2-x3=2

20.利用克莱默法则求解方程组]玉一2々+2/=3.

2%!一元2+工3=3

x3X21

321

xsinx2

21.求极限lim------------

x->0J23

sinxCOSX1

011

16

第二章矩阵

2.1教学目的要求：

1.理解矩阵的概念；

2.了解单位矩阵，对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性质;

3.掌握矩阵的线性运算，乘法，转置及其运算规则；

4.理解逆矩阵的概念；掌握可逆矩阵的性质；会用伴随矩阵求矩阵的逆;

5.了解分块矩阵的概念，了解分块矩阵的运算法则.

2.2重要公式与结论

1.对于任意方阵总有AA=A,4=|/区；如果|/卜0,即Z为可逆矩阵，

则有=百/或/*

2.数乘以方阵的关系：设Z为〃阶方阵,左为实数，则

(kAY=kAT,伙㈤t

3.矩阵乘法的关系

(AB)T=BTAT,(AB)-'=B'A',/5=忸/|;

讦/=卬)2,(A2)-'=（A-'）2,\A2\=\A\2

4.若Z、5均为可逆矩阵，则。'（0夕］（A叩/〃0）

0)

(A_(A-'A'CB［（Ao1_jA''o］

105JI0B'「［cB）一［右'。/〃B1）

5.已知N为一个〃阶可逆矩阵(“22),则有⑷=M"";

6.已知N为一个〃阶矩阵，k为实数,

则|0|=左"/，〃*=1国'L（M*

7.已知/为一个〃阶可逆矩阵(n>3),则有（/）*

2.3典型例题分析

17

«1

例2.1计算：⑴(％…％)；⑵・(*•也)•

但］

解：⑴二％瓦+•・a“b”=)也

k=\

%也a{b2•

aha2b2…ab,

⑵：(仇…”,)=212

a„

\kn/

、a,ha,,2…a.b,1

例2.2设/=(%,)为三阶矩阵，且已知|/|=a,/*为/的伴随矩阵又

，为2I'

B=ma2i，na22ma2i,求54

iaJ2〃%3,

，“12I%I//00Va”al2a：

解：由于5=ma2ima22ma23=0m0a21tz22a23=CA

naa

、吗32««33)I。0«A«3143233,

qo0、(al00)

其中C=0m0,故6/*=C4Z*=C|N|E=aC=0am0.

、00%、00cm.

。2(x1^

例2.3设力=,B二,求％与y的关系，使Z与6是可交换的

、43J(2y)

12YXn'x+4l+2y、

解：=

43J2yj、4%+64+3刀

2\_(x+42x+3

3J12+4y4+3y

x+4=x+4

1+2y=2x+3

故要使Z,B可交换，即45=A4的充要条件是

4x+6=2+4y

4+3y=4+3y

即x=y-l.

18

例2.4设C=(g,O,…A=E-CTC,5=E+2CTC,计算N5.

解：AB=(E-CTC)(E+2C