山东省青岛市西海岸新区四中学2024年中考三模数学试题含解析

山东省青岛市西海岸新区四中学2024年中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．2．下列各数中最小的是（）A．0 B．1 C．﹣ D．﹣π3．如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）A．25° B．35° C．45° D．65°4．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()A．15° B．22.5° C．30° D．45°5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜106．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（）A．54°B．36°C．30°D．27°8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是()A．a<0 B．b2－4ac<0 C．当－1<x<3时，y>0 D．－=19．如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是(单位：cm)()A．24πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm210．下列实数中，无理数是（）A．3.14 B．1.01001 C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在△ABC中，BC=7，，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.12．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若，则∠B＝________°．13．已知二次函数，与的部分对应值如下表所示：…-101234……61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线的顶点为；②；③关于的方程的解为；④．其中，正确的有___________________．14．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a），如图，若曲线y＝（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是_______．15．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点至多拐一次弯的路径长称为P，Q的“实际距离”如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5，即或环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具设A，B两个小区的坐标分别为，，若点表示单车停放点，且满足M到A，B的“实际距离”相等，则______．16．如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为(n为正整数)．17．如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．求证：AE与⊙O相切于点A；若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．19．（5分）计算：（﹣1）2018﹣2+|1﹣|+3tan30°．20．（8分）在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F如图①，连接AD，若，求∠B的大小；如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．21．（10分）为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，某班一课外活动小组成员在全校范围内随机抽取了若干名学生，针对“你每天是否会节约粮食”这个问题进行了调查，并将调查结果分成三组（A．会；B．不会；C．有时会），绘制了两幅不完整的统计图（如图）（1）这次被抽查的学生共有______人，扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为______；（2）补全两个统计图；（3）如果该校学生共有2000人，请估计“每天都会节约粮食”的学生人数；（4）若不节约零食造成的浪费，按平均每人每天浪费5角钱计算，小江认为，该校学生一年（365天）共将浪费：2000×20%×0.5×365=73000（元），你认为这种说法正确吗？并说明理由．22．（10分）小明遇到这样一个问题：已知：.求证：.经过思考，小明的证明过程如下：∵，∴.∴.接下来，小明想：若把带入一元二次方程（a0），恰好得到.这说明一元二次方程有根，且一个根是.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：.求证：.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.23．（12分）计算：|﹣1|+﹣（1﹣）0﹣（）﹣1．24．（14分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解析】

根据左视图的定义,从左侧会发现两个正方形摞在一起.【详解】从左边看上下各一个小正方形，如图故选B．2、D【解析】

根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可判断．【详解】﹣π＜﹣＜0＜1．则最小的数是﹣π．故选：D．【点睛】本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小是关键．3、A【解析】

如图，过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2=∠DCB，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．4、A【解析】试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．考点：平行线的性质．5、D【解析】延长CD交⊙D于点E，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，∵D是AB中点，∴CD=，∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，∴，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.6、B【解析】

本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．【详解】根据两点确定一条直线．故选：B．【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．7、D【解析】解：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D．8、D【解析】试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.解：∵抛物线开口向上，∴∴A选项错误，∵抛物线与x轴有两个交点，∴∴B选项错误，由图象可知，当－1<x<3时，y<0∴C选项错误，由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为即－＝1，∴D选项正确，故选D.9、A【解析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其侧面积．【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为8÷1=4cm，故侧面积=πrl=π×6×4=14πcm1．故选：A．【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．10、C【解析】

先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得．【详解】A、3.14是有理数；B、1.01001是有理数；C、是无理数；D、是分数，为有理数；故选C．【点睛】本题主要考查无理数的定义，属于简单题．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解析】分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．详解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E．∵在△ABC中，BC=7，AC=3，tanC=1，∴AD=CD=3，∴BD=4，∴AB=5，由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上．∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BDA，∴，即，得：BP=．故答案为0＜PB＜．点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12、18°【解析】

由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，根据在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得，再由和半圆的弧度为180°可得的度数×5=180°，即可求得的度数为36°，再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°.【详解】解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，∴，∵，∴的度数+的度数+的度数=180°，即的度数×5=180°，∴的度数为36°，∴∠B=18°.故答案为:18.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.13、①③．【解析】

根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，其中，正确的有.①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.14、【解析】

因为A点的坐标为（a，a），则C（a﹣1，a﹣1），根据题意只要分别求出当A点或C点在曲线上时a的值即可得到答案.【详解】解：∵A点的坐标为（a，a），∴C（a﹣1，a﹣1），当C在双曲线y=时，则a﹣1=，解得a=+1；当A在双曲线y=时，则a=，解得a=，∴a的取值范围是≤a≤+1．故答案为≤a≤+1．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.15、1．【解析】

根据两点间的距离公式可求m的值.【详解】依题意有，解得，故答案为：1．【点睛】考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．16、．【解析】寻找规律：由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且A2B2=OA2=OB1=OA1；A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；……．又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1．∴，即点Bn的纵坐标为．17、18【解析】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为18.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析；（2）AD=2．【解析】

（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，则OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，即∠DAO+∠BAO=90°，∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，∴，FB=BC，∴AB=AC，∵BC=2，AC=2，∴BF=，AB=2，在Rt△ABF中，AF==1，在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，∴OB=4，∴BD=8，∴在Rt△ABD中，AD=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．19、﹣6+2【解析】分析：直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．详解：原式=1﹣6+﹣1+3×=﹣5+﹣1+=﹣6+2．点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20、(1)∠B=40°；(2)AB=6.【解析】

（1）连接OD，由在△ABC中,∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD

,即可求得∠CAD=∠ADO

,继而求得答案;

（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD

,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.【详解】解:(1)如解图①,连接OD,∵BC切⊙O于点D,∴∠ODB=90°,∵∠C=90°,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,∵∠ODB=90°,∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;(2)如解图②,连接OF,OD,∵AC∥OD,∴∠OFA=∠FOD,∵点F为弧AD的中点,∴∠AOF=∠FOD,∴∠OFA=∠AOF,∴AF=OA,∵OA=OF,∴△AOF为等边三角形,∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,∴∠B=30°,∵在Rt△ODB中,OD=2,∴OB=4,∴AB=AO＋OB=2＋4=6.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.21、（1）50，108°（2）见解析；（3）600人；（4）不正确，见解析.【解析】

（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A组人数所占比例可得；（2）根据百分比之和为1求得A组百分比补全图1，总人数乘以B的百分比求得其人数即可补全图2；（3）总人数乘以样本中A所占百分比可得；（4）由样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%即可作出判断．【详解】（1）这次被抽查的学生共有25÷50%=50人，扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为360°×=108°，故答案为50、108°；（2）图1中A对应的百分比为1-20%-50%=30%，图2中B类别人数为50×20%=5，