2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i+i2(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为(

)

A.22 B.2 C.43.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π6，b=2，sinB=34，则A.34 B.43 C.834.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为(

)

A.2 B.22 C.3 5.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于(

)A.33π B.3π 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB−bcosA=c，且C=2π5，则∠B=(

)A.π5 B.π10 C.3π107.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(    )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=1A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸8.如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，OA0=

A.2025(a+b) B.2026(a+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2满足z1=1+1iA.z1⋅z2=2i B.|z1|=|10.下面说法正确的是(

)A.多面体至少有四个面

B.棱柱所有的面都是平行四边形

C.棱台的侧面都是梯形

D.以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台11.在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是(

)A.当r=3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为37

B.当l=6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为213

C.当l=6时，圆锥SO的外接球表面积为81π2

D.当l=6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，长方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C

13.已知向量|a|=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45o时，则向量a在向量e14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=7，D是边AB的中点，CD⊥CB，且b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC−sinA)，则CD的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，其中i为虚数单位．

(1)求m+2n的值；

(2)记复数z=m+ni，求复数z16.(本小题15分)

某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC=30°，∠ABC=60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(注：点A，B，C，D在同一平面内)

(Ⅰ)求△ABD的面积；

(Ⅱ)求点C，D之间的距离．17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为锐角，2asinB=3b.

(1)求A；

(2)设AD为BC边上的中线，若b=3，c=1，请选择以下思路之一求出AD的长．

思路①：利用cosB=a2+c2−b22ac=(a218.(本小题17分)

如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点E为BC的中点．

(1)求证：AE⊥平面BC19.(本小题17分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC=3(sin2B−cos2C+cos2A)．

(1)求A；

(2)若b=1，c=3，D为线段BC内一点，且BD：DC=1：2，求线段AD的长；

(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.B

7.B

8.D

9.ABD

10.AC

11.BC

12.棱柱

13.314.2115.解：(1)∵2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，

∴(2−i)2+m(2−i)+n=0，即4−4i+i2+2m−mi+n=0，

∴3+2m+n−(4+m)i=0，

则3+2m+n=0，4+m=0，

解得：m=−4，n=5，得m+2n=6；

(2)z=−4+5i，16.解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，

由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45∘=ABsin60∘，

所以AD=sin45°sin60∘⋅AB=2232×12=46(km)，

sin∠BAD=sin75°=sin(45°+30°)=22(3217.解：(1)由正弦定理，得2sinAsinB=3sinB，

又sinB≠0，所以sinA=32，

又A为锐角，所以A=60°

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=9+1−2×3×1×12，

所以a=7；

若选择思路①

由a2+c2−b22ac=(a2)2+c18.(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，

∴BB1⊥平面ABC，而AE⊂平面ABC，

∴BB1⊥AE，又AB=AC，点E为BC中点，

∴AE⊥BC，而BB1∩BC=B，可得AE⊥平面BCB1；

(2)解：取BB1中点M，连接AM，EM，

∵AA1/​/BB1，AA1=7，BB1=27，点M为BB1中点，

∴AA1=B1M，AA1//B1M，得四边AMB1A1为平行四边形，

∴AM//A1B1，

则直线A1B1与平面BCB1所成角等于直线AM与平面BCB1所成角，

∵AE⊥平面BCB1，

∴∠AME为直线AM与平面BCB1所成角，

∵点E为BC中点，BC=25，

∴BE=5，AE=32−5=2，EM=5+(7)2=21