2023-2024学年江西省抚州市四校高二下学期第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省抚州市四校高二下学期第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一列数如此排列：1,−2,4,−8,16,−32，则它的一个通项公式可能是(

)A.an=−1n⋅2n B.2.已知函数fx=1x+2x，则其在A.x+y+2=0 B.x−y+2=0 C.x−y−2=0 D.x+y−2=03.在等差数列an中，首项a1=3，前3项和为6，则a3A.0 B.6 C.12 D.184.设Sn为等差数列an的前n项和，n+1Sn<nSA.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S5.已知an为等比数列，函数fx=x33−52x2+4x+1，若aA.±2或±12 B.±2 C.2 6.已知函数f(x)=1ln(x+1)−x，则y=f(x)的图像大致为A. B.

C. D.7.“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项an=2n−512n−52,n≠26A.48 B.49 C.50 D.518.已知函数gx=2x−1ex−ax2A.0,4e B.0,2e C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论中正确的有(

)A.cosπ′=−sinπ B.ln2x10.已知函数fx=xex−aA.1是函数fx的极值点

B.当x=1时，函数fx取得最小值

C.当a<1e时，函数fx存在2个零点

D.当0<a<11.已知各项均为正数的数列an满足：，且an<1，Sn是数列an的前nA.

B.S3=2

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列an中，a1=2，a5=14，则an的前n13.若函数f(x)=x3−x2在区间(a,a+3)内存在最大值，则实数a14.已知函数fx=aln2x+1−xa∈R有且仅有一条切线经过点0,0.若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=ax3+bx+2(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx在−3,3上的最值．16.(本小题15分)设Sn是数列an的前n项和，且a1(1)求Sn(2)求数列Snn+2的前n项和T17.(本小题15分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x．(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm3)(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问18.(本小题17分)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当m=1时，证明：fx(3)若关于x的不等式fx<m−2x19.(本小题17分)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推规定：若∃m∈N∗，使得Sm(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；(3)(i)求满足m>70的最小的“佳幂数”m;

(ii)证明：该数列的“佳幂数”有无数个．

答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.C

9.CD

10.AD

11.BCD

12.3n13.(−3,−2]

14.e−2

15.解：(1)因fx=a由于fx在x=2处取得极值−14，故有化简得12a+b=04a+b=−8，解得经检验，a=1,b=−12时，符合题意，所以a=1,b=−12．则fx=x3−12x+2所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为：y−(2)fx=x令f′x≥0，解得x≤−2或x≥2；令f′x即函数fx在−3,−2上单调递增，−2,2上单调递减，2,3f−3因此fx在−3,3的最小值为f2=−14

16.解：(1)因为an+1=S所以Sn+1两边同除以Sn⋅Sn+1因为a1=−1，所以因此数列1Sn是首项为−1，公差为−1所以1Sn=−1+(n−1)×(−1)=−n，所以(2)由(1)知Sn∴S∴=−=2n+317.解：(1)设包装盒的高为ℎ(cm)，底面边长为a(cm)

由已知得a=2x,ℎ=60−2x2=2(30−x),0<x<30，

则S=4aℎ=8x(30−x)=−8(x−15)2+1800，

∴当x=15时，S取得最大值；

(2)根据题意有V=(2x)222(60−2x)=22x2(30−x)(0<x<30)，

，

令V′18.解：(1)∵f′(x)=(i)当m≤0时，f′(x)>0,f(x)在(ii)当m>0时，f′(x)>0，解得：0<x<2m,∴f(x)在0,2m综上，当m≤0时，f(x)在(0,+∞)上为单调递增；当m>0时，f(x)在0,2m为单调递增，f(x)(2)证明：当m=1时，f(x)=2lnx−1可得f′(x)=2当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以当x=2时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值则f(x)≤ln2，又所以f(x)<1；(3)若关于x的不等式f(x)<(m−2)x恒成立，不妨设g(x)=f(x)−(m−2)x=2lnx−1可得g′(x)=2当m≤0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又g1=−32m+3>0当m>0时，因为g′(x)=−m当0<x<2m时，g′(x)>0，当x>2m时，g′(x)<0，所以g(x)≤g(2不妨设ℎ(m)=2m−2可得ℎ′(m)=−2所以函数ℎ(m)单调递减，又ℎ1=1+2ln所以当m≥3时，ℎ(m)<0，故整数m的最小值为3．19.(1)解：因为S1所以1为该数列的“佳幂数”；又因为S2=1+1=2=2所以2，3为该数列的“佳幂数”；所以该数列的前3个“佳幂数”为：1，2，3；(2)解：由题意可得，数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；⋯

第k组：1,2,4,⋯,2则该数列的前1+2+⋯+k=kSkk+1当kk+12≤50则S50由于210<210+20<故50不是“佳幂数”．(3)(i)解：在①中，要使kk+12>7