2023届上海黄浦区高三二模数学试题及答案

高中PAGE1高中2023届上海黄浦区高三二模考试数学试卷一、填空题1．设集合，则___________．2．函数的最小正周期为____________．3．若函数的图像经过点与，则m的值为____________．4．已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且（i为虚数单位），则__________．5．以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为____________．6．已知m是与4的等差中项，且，则的值为____________．7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________．9．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．11．如图．在直角梯形ABCD中．，点P是腰AB上的动点，则的最小值为____________．12．已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．二、选择题13．若直线与直线垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球．那么互斥而不对立的事件是（）A．“恰好有一个白球”与“都是红球B．“至多有一个白球”与“都是红球”C．“至多有一个白球”与“都是白球D．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”15．如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（）A．存在某一值．使得B．存在某一值．使得C．存在某一值．使得D．存在某一值，使得16．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列的充要条件．下列判断正确的是（）A．①和②都为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②都为假命题三、解答题17．在中，．（1）求的值；（2）若，求的周长和面积．18．如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．（1）求证：；（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．19．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．（1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．附：．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82820．己知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，过点的动直线l与双曲线C交于点A、B．设．（1）求双曲线C的渐近线方程：（2）若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及人取最大值时的正切值：（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：（1）利用基本不等式求最值；（2）设为，建立相应数量关系并利用它求最值；（3）设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）（3）若点A在双曲线C的左支上（点A不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍．21．三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．参考答案：一．填空题：1、；2、；3、81；4、；5、；6、40；7、；8、；9、；10、；11、4；12、；二．选择题：13、B；14、A；15、D；16、C；三．解答题：17、【答案】（1）；（2）周长32，面积24.【小问1详解】在中，，又，则，则.【小问2详解】，又，，则由正弦定理得，则的周长为的面积为．18、【答案】（1）证明见解析（2），【小问1详解】∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴∥平面，又平面，平面平面，∴，又，则.【小问2详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则点E到平面的距离为；设与平面所成角为，则，则与平面所成角为.19、【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；（2）.【小问1详解】观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80人数为，绩效分数少于80的人数为50，所以列联表为：生产标兵非生产标兵总计35周岁及以上组20608035周岁以下组305080总计50110160提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，的观测值，而，所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.【小问2详解】令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，用样本估计总体知，，，，设，则由，得，解得，因此，所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.20、【答案】（1）（2），（3）证明见解析【小问1详解】设双曲线方程为，焦距为，由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.【小问2详解】由（1）可得，，所以双曲线的方程为，设，，因为点、都在双曲线的右支上，所以，所以，当且仅当时取等号，即，当时，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，即，由，解得，可知，又，所以，.【小问3详解】设直线的方程为，将它代入，可得，设，，可得，，由，可得，故，又、同号，所以，即，所以，解得，此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长倍，此时，所以是等腰三角形.21、【答案】（1）是与在上的“分割函数”；不是与在上的“分割函数”；（2）；（3）.【小问1详解】因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”.又因为，当与时，其值分别为与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”.【小问2详解】设是与在上的“分割函数”，则对一切实数恒成立,由,当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得所以对一切实数恒成立，即且对一切实数恒成立，可得且，即，又时与为相同函数，不合题意，故所求的函数为.【小