2023届上海普陀区高三二模数学试题及答案

高中高中2023届上海普陀区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题1．设全集，若集合，则______．2．函数的最小正周期为______．3．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．4．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则______．5．函数的定义域为______．6．若且，则______．7．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．8．设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为______．9．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：气温x181310用电量y24343864若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为______．10．设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则______．11．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为______．12．设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．二、选择题13．设A．b为实数，则“”的一个充分非必要条件是（）A．B．C．D．14．设A．b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：（1）若且，则（2）若且，则（3）若且，则（4）若且，则其中不正确的个数是（）A．1B．2个C．3个D．4个15．设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②成立C．①成立，②不成立D．①不成立，②不成立16．设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（）A．B．C．2D．三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，．（1）求证：；（2）设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．18．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．（1）设且，求x的取值范围；（2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．19．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．（1）求取到的白球数不少于2个的概率；（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．20．在xOy平面上．设椭圆：，梯形ABCD的四个项点均在上，且．设直线AB的方程为（1）若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；（2）设，直线CD经过点，求的取值范围；（3）设，，AD与BC的延长线相交于点M，当k变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知，设函数的表达式为（其中）（1）设，，当时，求x的取值范围；（2）设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；（3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：．参考答案：一．填空题：1、；2、π；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．选择题：13、A；14、D；15、B；16、D；三．解答题：17、【小问1详解】，，，，，又直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，平面，.【小问2详解】平面，在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，，，.18、【答案】（1）（2）【小问1详解】由题设，又且都不为1的正实数，所以，而，故.【小问2详解】由，，而数列前100项中有，其中属于数列有，所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，则.19、【答案】（1）（2）【小问1详解】设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.取到2个白球的概率，则取到3个白球概率，，则取到的白球数不少于2个的概率：.【小问2详解】,,,，所以取到的白球数的期望：20、【答案】（1）；（2）；（3）的面积是定值，定值为【小问1详解】因为梯形为的长轴，的高为，所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，可得，又因为在上的射影为的焦点，，解得，，.【小问2详解】由题意，椭圆：，直线的方程为，设，则，化简得，，得，，，，所以所以的取值范围为【小问3详解】设直线的方程为，，，联立，化简得，，，，联立，化简得，，，所以，化简得，即.又的高为，所以将代入化简得，.故的面积为定值.21、【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【小问1详解】由题设，则，即，故，又，则，所以.【小问2详解】由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，所以在上成立，又在D上为严格增函数，即，同时在上恒成