2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案

试卷试卷上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角的终边经过点，且，则______．3.若，则______．4.已知，则________________．5.函数最小正周期是________6.在△中，角、、对边分别为、、，其面积，则________7.已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.8.若函数在上的最小值是，但最大值不是，则的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案10.定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且______．11.设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______．12.若不等式对任意都成立，则实数的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为 B.，的最小值为C.，的最小值为 D.，的最小值为14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角的面度数为，则（）A. B. C. D.15.将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（）．A.9 B. C.3 D.1116.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于A. B. C. D.三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.18.在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求外接圆的面积.19.设为常数，函数（）．（1）设，求函数单调区间及周期；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．20.已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．（1）用及表示和；（2）求的最小值．21.对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．（1）求证：，“函数”；（2）若函数是“函数”，求的取值范围；（3）对于定义域为函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】【解析】【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解.【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则．①由扇形面积公式，得．②由①②得，，∴．∴扇形的圆心角为．故答案为：2.角的终边经过点，且，则______．【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】解：角的终边经过点，且，，则，故答案为．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若，则______．【答案】【解析】【分析】利用正余倍角公式，将转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为，又，所以.故答案为：.4.已知，则________________．【答案】【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】，，所以，则.故答案为：.5.函数的最小正周期是________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果.详解】函数，函数的最小正周期为故答案为：.6.在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则________【答案】【解析】【分析】根据面积公式得到,根据余弦定理得到,对等式进行整理,即可得到的值【详解】由三角形面积公式可得,由余弦定理可得,又,,,,即故答案为【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为求得，然后将时，函数恰有两个不同零点，转化为时，恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数，，，因为函数的周期为，所以，因为时，函数恰有两个不同的零点，所以时，恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示：由图象可知：，即，所以实数的取值范围是，故答案为：【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数在上的最小值是，但最大值不是，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据的范围可确定的范围，由正弦型函数最值可确定所满足的不等关系，解不等式组可求得的范围.【详解】当时，，由题意可知：，，解得：，，，，解得：，又，，，，即的取值范围为.故答案为：.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，可得的取值集合，即可确定一个a的可能取值是．【详解】解：由已知及正弦定理，可得，可得，可得的取值集合为：．可得a可能取值是．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且______．【答案】【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得，且，结合三角恒等变换化简可求得，即可求得答案.【详解】依题意可知为的两根，为的两根，需满足，即，故，且，故，则，故，，经验证满足故答案为：11.设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令，由定义域为，且，所以为奇函数，且在单调递增，所以在单调递增，所以不等式对一切恒成立，，，，即，在恒成立，设，则问题转化为：在上恒成立，又因为，所以，解得：或，所以实数的取值范围是：.故答案为：.12.若不等式对任意都成立，则实数的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得恒成立，化简为恒成立，将化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由对任意都成立，可得，即恒成立，又因为中，，则，当时，取得最大值144，即，故，即实数的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为 B.，的最小值为C.，的最小值为 D.，的最小值为【答案】A【解析】【详解】由题意得，，可得，因为位于函数的图象上所以，可得，s的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角的面度数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设角所在的扇形的半径为，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得，利用两角和的余弦公式即可求解的值．【详解】解：设角所在的扇形的半径为r，由扇形的面积公式可得，则，可得.故选：B.15.将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（）．A.9 B. C.3 D.11【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得的解析式，根据已知求得的最大值和的最小值，即可求得的最大值以及的最小值，即得答案.【详解】将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像,即，则，故由可得，则，因为，故，所以需取到最大值，取到最小值，即取到最大值，取到最小值，此时取最大值，即最大值为，故选：A16.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.【答案】【解析】【分析】由题意，根据是半周期内的两个相邻的零点，求得，进而求得和，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当是半周期内的两个相邻的零点，则所以函数（2）当是一周期内的两个不相邻的零点，则所以函数【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求外接圆的面积.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，问题得以解决；（2）由（1）可得，先由余弦定理求出，再求出的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以由正弦定理得.因为，所以.【小问2详解】因为，，，所以由余弦定理得：，即，即，因为所以，设的外接圆半径为，则，解得，所以的外接圆面积为.19.设为常数，函数（）．（1）设，求函数的单调区间及周期；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间，减区间为；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为，所以，令，解得，即函数的单调增区间为；令，解得，函数的单调减区间为函数的周期为.【小问2详解】函数为偶函数，则，即，即，即，由于，则，故，由于，故.20.已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．（1）用及表示和；（2）求的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先利用及R表示出的长，即可表示出，进而设的中点为O，连接，表示出的长，结合三角形面积公式即可表示出；（2）利用（1）的结论可得的表达式，结合三角函数之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为，故，所以，设的中点为O，连接，则,设交于点E，则，则，同理求得，故.【小问2详解】由（1）的结论可得，令，则，故，所以，由于，在上单调递增，则，故，即的最小值为.21.对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．（1）求证：，是“函数”；（2）若函数是“函数”，求的取值范围；（3）对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值【答案】（1）证明见解析（2）（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可；（2）根据函数是“函数”，