高中数学《空间向量的数量积运算》导学案

3.1.3空间向量的数量积运算

卜课前自主预习

O基础导学

1.空间向量的夹角

如果㈤b〉=1，那么向量a,万园互相垂直,记作因小瓦

2.空间向量的数量积

回已知两个非零向量a,b,则|a|向cos〈防垃叫做a,力的数

定义

量积，记作风力

数乘向量与向量

(%)”国23协)

数量积的结合律

运算律交换律ab=吗万・a

分配律a(b+c)=回.力+a・c

两个向量数量积的性质：

(1)若a,乃是非零向量，贝力=0；

(2)若a与8同向，则ab=O|a||Z>|；

若反向，则a,b=/一㈤囹；

特别地：(ra=或回⑷；

(3)若。为“，8的夹角，则cos6=%氤；

(4)|a山叵WJ姻

Si自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)对于空间任意两个非零向量a,b,a〃〃是〈a,b)=0的充要条件.()

(2)若层=〃，则a=Z>或a=一5.()

(3)若m8均为非零向量，则⑷制是a与方共线的充要条件.()

(4)在△ABC中，(宓，BC)=ZB.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.做一做

(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是。，点E,F,G

分别为AB,AD,。。的中点，则,等于()

A.IBA-ACB.lAD-BD

C.2FG-CAD.2EF-BC

7T

(2)若向量a与川两足同=1,向=2且a与方的夹角为则.

(3)已知闻=/，网=乎，。电=—乎，则a与〃的夹角为.

(4)已知a,8是空间两个向量，若⑷=2,向=2,|Q—例=巾，则cos〈a,b)

1

4\-

答案(1)B(2)1(3)135°z18

解析与血的夹角为60。，|必=|网=a,

?.2AD-BD=2的物cos60。=2XaXaX^=a2.

卜课堂互动探究

探究1求向量的数量积

例1如图所示，已知空间四边形ABCO的每条边和对角线长都等于1,点E,

产分别是AB,AO的中点，计算：

⑴旗威；⑵旗诙；(3)旗比;(4)赤臣

[解]⑴旗瓦=；砺切=；|物画|cos<BD,BA)-|xiXlXcos60°=^.

(2)旗的=g|丽琳os〈诙Bit)=|xiXlXcosO°=1.

⑶旗狂;击虎=g|物|为cos〈砺，DC)=^X1X1XCOS120°=-1.

(4)砺CE=^(Bb+册;@+CA)

=^[Bb[-BC)+BA-(-BC)+BbCA+BA-CA]

=^[-^BC-BA-BC+(Cb-CB)-CA+A3Aq

1(11,11,H1

=4Xr2-2+2-2+2j=-8-

拓展提升

1.空间向量运算的两种方法

(1)利用定义：利用a6=|a||b|cosQ,b)并结合运算律进行计算.

(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图

形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.

2.在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入a-A=|a||A|cos(a,b)求解.

【跟踪训练1】如图，在长方体ABCO-AIBIGQI中，AB=AA\=\,AD=

2,。为AC与B。的交点，E为AQi的中点，求下列向量的数量积：

⑴砺荔；

⑵宓而；

(3)协应

解设花=a,AD=b,AA\=c,

则|a|=|c|=l,步|=2,

{\y：BD=AD-AB=b-a,

:.BDAAi=(b—a),c=bc—ac.

又a,b,c两两互相垂直，

.'.bc=Q,ac=O,故协筋i=0.

⑵•森=荔+北

=篇1+；而

=c+),

又衣=9+应Ha+力,

(。+5)

=1|Z>|2=2.

⑶：应H葩-建1

=/丽而一(荔+殆

=1(a+6)—

1

=呼—C,

又衣=a+Z>,

/.而AC=&-c)(a+5)=；/=；.

探究2利用数量积求夹角

例2已知空间四边形0A3C各边及对角线长都相等，E,尸分别为AB,0C

的中点，求异面直线0E与BE所成角的余弦值.

［解］如下图，

设殖=a,OB=b,OC=c,且同=|回=|c|=l,易知NA03=N30C=NA0C

=y

则ab=bc=ca=^.

因为应1=；（应1+曲=%+方）,BF=OF-OB=^OC-OB=^c—b,\dE\=\BF\=^,

所以宓帝=；（4+》）（｝。-。）=；4.。+（。七―；46_382=_3，

所以cos（0E,~BP）=°*此=-*

\OE］\BF\

2

所以异面直线0E与B/所成角的余弦值是京

拓展提升

由数量积求角的方法策略

（1）求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起

点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是

求两个向量夹角的平移法.

（2）由两个向量的数量积的定义得cos〈a,b）=儡|,求〈a,b）的大小，

转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出（a,b）的余弦值，进而求出

〈a,b）的大小.在求a0时注意结合空间图形，把a,分用基向量表示出来，进

而化简得出a）的值.

（3）利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的

角或补角（注意异面直线所成角的范围）.

【跟踪训练2］三棱柱ABC-A\B\C\中，底面边长和侧棱长都相等，ZBAAi

=ZCA4i=60°,则异面直线A3与3G所成角的余弦值为.

较案小

口水6

解析下图所示,

设该三棱柱的底面边长为1,依题意有葩=葩+荔，拓=9+荔+就=衣

+AA-AB,则|葩F=(森+筋＞=衣+2宓葩+前2=2+2COS60O=3,\BC^=(AC

+筋l丽2=赤+就2+衣+2衣.而l2衣.血一2万「漉=2,而葩.反;=(焉+

AA^(AC+AA-AB)=AB-AC+AB-AA-AB-AB+A-AC+AAx-AA-AAyAiB=\+\-l+

AgiBCi1^6

1—1,所以cos〈荔比〉=,

\ABi\\BCi\小X也6

所以异面直线A3与8a所成角的余弦值为噜.

探究3利用向量数量积求距离

例3已知线段A3在平面a内，线段AC，a,线段且与a所成的

角是30。，如果AB=a,AC=BD=b,求C,。间的距离.

［解］下图，由AC_La,知ACLAA过点。作DO'于点。'，连接8。'，

则NOBO'=30°,(CA,BED=120°,所以|22=近⑦=(2+石+曲2=|德

F+丽+两+2说而+2说语+2希弧序+/+廿+2炉cosl20°=a2+〃，

故。。=肉次+序

拓展提升

(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量

法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何

体的棱上转化).

(2)应牢记并能熟练地应用公式

\a-\-b-\-c\=，(a+〃+c)2

=A/|a|2+|Z>|2+|c|24-2a-c+2a-6+2Z>-c.

【跟踪训练3】在正四面体ABCO中，棱长为mM,N分别是棱A3,CD

上的点，且|MB|=2|AM，|C7V|=1|2VD|,求

解如下图所示，

丽=而=|近|=a,把题中所用到的量都用向量位AC,而表示，于是确=砺

又血贬=^・^7=J^^?=a・acos60o=52,

・•.痂MN=(一+|AD+|AcJf—+|AZ)+|AC1

41145

2衣22222

2十---&y-q--

=^AB-^AD-AB-^AB-AC+^AC-AD+^AD9-9+-+-99

故|痢=、疚.疝7=监/,即附2=监?.

探究4判断或证明垂直问题

例4下图所示，正方体ABC。一481C101中，E,F,G分别是棱CG,BC,

CO的中点，求证：4G，平面。EF.

［证明］设正方体的棱长为

,/A^G-DF=(期+应叶DG)-(DC+CF)=A^A-DC+AD-DC+DG-DC+MCF+AD-CF+

DG-CF=DG-DC+AD-赤=；/-%=0,

：.A\G±DF,同理可证AiG_LOE,又DFCDE=D,

，AiG_L平面DEF.

拓展提升

利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路

(1)由数量积的性质4,〃台。电=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分

别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.

(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化

为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.

【跟踪训练4】如图，四棱锥尸一A8CO中，底面A8CO为平行四边形，

NZMB=60。，AB=2AD,底面A8CD证明：PA1BD.

证明由底面ABC。为平行四边形，ND4B=60。，AB=2AO知，DA1BD,

则励应=0.

由POL底面A8CO知，PDVBD,则成的=0.

又属1=为+^I,

PA-BD=(PD+DA)-BD=PD-BD+DA-BD=0,即出_LBD

f----------------------------------1勰瀛阳-----------------------------------

1.空间向量数量积性质的应用

(l)a±b^ab=0,此结论可用于证明空间中的垂直关系.

(2)|印=/，此结论可用于求空间中线段的长度.

(3)cosQ,b>=品，此结论可用于求有关空间角的问题.

(4)步|cos(a,b)=瞽，此结论可用于求空间中的距离问题.

2.利用向量数量积求夹角问题的两种方法

(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角

的范围.

(2)先求a/,再利用公式cos〈a,力=j^j会求cos〈a,b),最后确定〈a,b).

3.求两点间的距离或线段长的方法

(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.

(2)因为0a=|@|2,所以|0=每，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另

外，该公式还可以推广为|a土加=d(a±5)2=卜a2±2a.<+序.

(3)可用|0e|=|a||cos砥e为单位向量，。为a,e的夹角)来求一个向量在另一

个向量所在直线上的投影.

卜随堂达标自测

1.下列各命题中，不正确命题的个数为()

b=b；③。•(5+c)=(b+c>a；④a2b=6%.

A.4个B.3个C.2个D.1个

答案D

解析Vtz-a=|a|2,.'.y[a^a=]ai，故①正确；

m(za)-b=(mza)-b=mXa-b=(mX)ab,故②正确；

a-(b+c)=ab+ac,(b+c')-a=ba+ca=ab-{-a-c=a(b+c),故③正确；

(rb=\a\2b,bra=\b^a,故④不一定正确.

2.已知同=1,向=啦，且a—)与a垂直，则a与6的夹角为()

A.60°B.30°C.135°D.45°

答案D

解析,:a—b与a垂直，(a—6)a=0,/.a-a—a-6=|a|2—|a||6|cos(a,b)

=1一IXpXcos<a,b>=0,Acos{a,b〉=^-.V0°^(a,b)W180°,

(a,b)=45°.

3.已知在平行六面体ABCO-ABGOi中，以A为顶点的三条棱长都等于1,

且彼此的夹角都是60。，则此平行六面体的对角线AG的长为()

A.6B.加C.3D.小

答案B

解析如图，由题意可知,

L

,：AC.=AB+AD+AAX,：.AC^=(AB+AD+AA^=AB+A^+AA^+,1AB-Ab+

2^-Z4,+2^/AM=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,二|花尸诟即A。

的长为观.

4.如图，在长方体ABC。-中，设AD=A4i=l,AB=2,P是CiDi

的中点，则旗与乖所成角的大小为,祀•诵=.

答案6001

解析解法一：连接AQ,则/孙。就是旗'与种所成的角，连接P。，在4

PAiD易得朋1=。4=尸。=6，即△"。为等边三角形，从而/如1。=60。,

即瓦7与了惭成角的大小为60。.因此砧汨w&X&Xcos6（）o=l.

解法二：根据向量的线性运算可得

(启+3筋)=初=1.

KC-A^P=W+AD)-

由题意可得雨i=BiC=啦，则/X啦Xcos®C,初=1,从而〈或C,公处

=60°.

5.已知a+3Z＞与7a—5b垂直，且a—4)与7a—25垂直，求〈a,b).

解(a+36)-(7a-56)=7|a|2-15|6|2+16al=0,

(a-46)-(7a-26)=7|a|2+8|6|2-30a-6=0,

解得步F=2a•5=|a|2,

--cos(a,b)-I^H^I—2,〈a,b)=60°.

卜课后课时精练'

A级：基础巩固练

一、选择题

1.在正方体ABCO-AiBiGOi中，有下列命题:

①（荔+池+而2=3衣；②血:（益一再j）=o；③宓与冠的夹角为60。.其中

正确命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

答案B

解析如图所示,

（筋叶应叶卷）2=（筋叶崩+而）2=花2=3禧；疵（诵一期）=/崩尸0;

葩与命的夹角是瓦7与瓦1夹角的补角，而能与场的夹角为60°,故初与彳力的夹

角为120。.综上可知，①②正确，③不正确.故选B.

2.正方体ABC。一A'B'C'中，位B,B'^D'〉=（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

答案D

解析连接8。，A'D,因为8'D'//BD,XN8。为正三角形，所以N

A'8。=60。，由向量夹角的定义可知〈厂B,物=120°,即（旷B,B'^D'）

=120°.

3.若。是△ABC所在平面内一点，且满足（诙+龙）.（左一而=0,则△ABC

一定是（）

A.等边三角形B.斜三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析,：BO+dC=BC,0C-0A=AC,二击充4c.,.△ABC一定是

直角三角形.

4.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，£是8c的中点，那么（）

N.AE-'BC<AE-CD

B建.诙=建.而

CAE-BC>AE-Cb

D.而友与荏力不能比较大小

答案C

解析易知AELBC,.,.荏友三0,亦近=（9+明•"宓（诙—反）+；而力

=|福威cos120°—丽囱cos120。+1|初商cos120°<0./.AE-~BOAE-CD.

5.已知a,〃是异面直线，A,B^a,C,D^b,ACLb,BDLb,且AB=2,

CD=1,则。与。所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

解析AB=AC+CD+DB,

二宓面=（而+而+的•而=而宓+亦+场面=O+12+o=i,又।福=2,।而

1=1.

.AB-CD11

..cos{AB,CD）=------=不77=不

\AB\\CD\2X12

...异面直线所成的角是锐角或直角，

:.a与b所成的角是60°.

6.正三棱柱ABC-AiBiC的各棱长都为2,E,尸分别是AB,AiC的中点，

则EF的长是（）

A.2B.小C.小D.由

答案C

解析如图所示，设贬=a,AC=b,AAi=c.

G

由题意知|a|=IbI=|c|=2,且〈a,b)=60°,(a,c〉--〈b,c〉—90°.

因为砺=血+方i+诵=—3葩+筋1+3衣=—；a+；0+c,

所以|的2=/2+%2+。2+2(-5*+；万。-

=1X224-1X22+22+2X^-^X2X2COS60°=1+1+4-1=5,所以|闭=

小.

二、填空题

7.已知空间向量。，b,|a|=3啦，|〃|=5,m=a+b,〃=。+劝，〈。，b)=

135°,若初，小则2的值为.

3

答案一而

解析由m±n,得(a+>>(a+2))=0,

/.a2+AZ>2+(l+A)a-ft=O,

即18+252+(1+A)X3V2X5XCOS135°=0,

•一_&

10.

8.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=O,⑷=3,|b|=l,|c|=4,则al

+bc+ca的值为.

答案一13

解析a+b+c=O,.\(a+b+c)2=O,.\a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,

8c+c・a

32+12+42

=—一2—=T3.

9.设a,b,c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a包)c

一(c・a)A=O；(2)|O|—\b\<\a-b\；③(。方)。一(c-a)》不与c垂直；④(3a+2))•(3a