2025届新高考数学冲刺精准复习数列的递推关系

2025届新高考数学冲刺精准复习数列的递推关系01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的通项

公式；掌握由递推关系求通项公式的常用方法：累加法、迭乘法、构造

法、取倒数法；掌握由数列{

an

}的前

n

项和

Sn

求数列{

an

}的通项公式的

方法.【考情概述】以简单的递推关系为载体考查数列通项公式的求法是新

高考考查数列的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中均有涉

及，难度中等.

知识梳理1.数列的递推公式如果已知数列{

an

}的第一项（或前几项），且从第二项（或某项）开始

的任一项

an

与它的前一项

an

－1（

n

≥2）（或前几项）间的关系可以用

一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.由递推关系求通项公式的常用方法（1）

累加法对于形如

an

＋1－

an

＝

f

（

n

）的递推公式，利用当

n

≥2，

n

∈N*时，

an

＝（

an

－

an

－1）＋（

an

－1－

an

－2）＋…＋（

a

2－

a

1）＋

a

1＝

f

（

n

－

1）＋

f

（

n

－2）＋…＋

f

（1）＋

a

1求通项公式.（2）

迭乘法

（3）

构造法对于特殊的非等差、等比数列，对递推公式适当变形，可以构造出一个

新数列，使新数列成为等差数列或等比数列，进而先求出新数列的通项

公式，再求出原数列的通项公式.3.

an

与

Sn

的关系若数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，则

an

＝

.

1.判断：

（4）

（RA选二P40练习第3题改编）已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

.若

Sn

＝

n

2＋1，则数列{

an

}是等差数列.

（

✕

）√✕√✕回归课本

A.

an

＝3＋ln（

n

－1）B.

an

＝ln

n

C.

an

＝3＋ln

n

D.

an

＝3＋ln（

n

＋1）BC4.（多选）（RA选二P56复习参考题4第10题改编）“角谷猜想”是指

对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对

它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数

n

经过5

步演算得到1，则

n

的值可能是（

ACD

）A.32B.16C.5D.4ACD5.（RA选二P56复习参考题4第12题改编）已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝2，且

an

＋1＝2

Sn

＋2（

n

∈N*），则

Sn

＝

⁠，数列

{

an

}的通项公式为

an

＝

⁠.3

n

－1

2×3

n

－1

考点一

由递推关系求通项公式考向1

相邻两项的递推关系

[变式演练][对点训练]

A.8B.9C.11D.10D

2.已知在数列{

an

}中，

a

1＝2，

an

＋1＋3

an

－2

anan

＋1＝2，则

an

＝

⁠.

考向2

相邻三项的递推关系例2已知数列{

an

}满足2

an

＝

an

＋1＋

an

＋2（

n

∈N*），且

a

1＝1，

a

2＝

－1.有下面两个结论：①

若

bn

＝2

an

＋

an

＋1，则{

bn

}是常数列；②

若

bn

＝

an

－

an

＋1，则{

bn

}是等比数列.请从中任选一个进行证明，并求出数

列{

an

}的通项公式.

4.已知各项都为正数的数列{

an

}满足

an

＋2＝2

an

＋1＋3

an

.若

bn

＝

an

＋1＋

xan

，则当

x

＝

时，数列{

bn

}一定是公比为

的等比数列.{

n

∈N*｜1011≤

n

≤2021}

1

3

考点二

an

与

Sn

的相互转化

差

[对点训练]（2）

设数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝1，2

Sn

＝

an

＋1＋2

n

－4，则数

列{

an

}的通项公式为

an

＝

.

总结提炼

已知

Sn

求

an

的三个步骤（1）

先利用

a

1＝

S

1求出

a

1；（2）

用

n

－1替换

Sn

中的

n

得到一个新的关系，利用

an

＝

Sn

－

Sn

－1

（

n

≥2，

n

∈N*）便可求出当

n

≥2，

n

∈N*时的

an

；（3）

注意检验

a

1是否可以与

n

≥2，

n

∈N*时的

an

合并.[对点训练]5.（多选）设

Sn

是数列{

an

}的前

n

项和，且

a

1＝－1，

an

＋1＝

SnSn

＋1，

则下列结论正确的是（

BCD

）BCD

（1）

数列{

an

}的通项公式；

（2）

数列{

an