直线与平面垂直 高一下学期数学人教A版（2019）必修2

8.6空间直线、平面的垂直第八章

立体几何初步8.6.2

直线与平面的垂直一二三学习目标掌握直线与平面垂直的性质定理理解两平行平面的距离概念能够利用相关的知识解决问题学习目标复习回顾1.直线和平面垂直的定义如何？

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.αA2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图形表示符号表示关键：线不在多，相交则行.新课导入

下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.两桥柱与水面垂直，两桥柱所在的直线有何位置关系？①新知探究问题1（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系?bαa②互相平行问题1（2）如右上图②，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α,那么，直线a,b一定平行吗？分析：直接证明a∥b比较困难，我们考虑采用反证法证明.O证明：假设直线b不平行于直线a，且b∩α=O，

显然不可能，因此b∥a.已知：a⊥α，

b⊥α

.求证：a∥b．新知探究概念生成直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.a⊥αb⊥αa//bbαa图形语言：符号语言：线面垂直

线线平行作用：证线线平行新知探究问题2

目前为止，我们都学习了哪些证明直线与直线平行的方法？

证明线线平行常用的方法（1）线线平行定义：证共面且无公共点．（2）利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．（3）基本事实4（平行的传递性）：证两线同时平行于第三条直线.（4）线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．（5）面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．（6）线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

典例解析

证明

问题3

直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的联系与转化．你能将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系，得出一些新的结论吗？

新知探究

ba若a⊥α，b

α，且b⊥a，则b//α.

a若α//β，a⊥α，则a⊥β.若a⊥α，a⊥β，则

α//β归纳小结直线与平面垂直的性质性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m.性质2：(直线与平面垂直的性质定理)性质3：若a⊥α，c

α，且c⊥a，则c//α.垂直于同一平面的两条直线平行.性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.αβa⊥αb⊥αa//b性质5：若l⊥α，l⊥β，则.α//β

αβ

例

如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。

典例解析

通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.典例解析棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离)ADBCA′B′C′D′OO′P(S′,S,h分别是棱台的上下底面积和高)例4

推导棱台的体积公式

新知应用

解：

新知应用

巩固练习课本P155

1.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是

.平行或在平面内αABA1B12.已知A,B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等,求证：直线AB//α.过A,B两点分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.则又A1B1

⊂α，又AA1//BB1.∴AB//α.∴AB//A1B1.∴四边形AA1B1B是矩形.AA1=BB1，解：巩固练习课本P1553.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点.求证：DF//平面ABC.DAFBECM解：

取AB的中点M，连接FM，CM.∴DF//平面ABC.∴DF//CM.∴四边形DCMF是平行四边形.由F是EB的中点可得，EA

2FM.

又EA

2DC，∴FM

DC，又DF

平面ABC，CM⊂平面ABC，4.求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)证明：已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α//β.γa′aδb′bβαm设平面α,β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α,β分别相交于直线a,b.

∵