初三奥数竞赛试题及解答

全国初中数学竞赛试卷及解析

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分.每小题均给出了代号为

A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的

括号里）

1、设a,b,c的平均数为忆a,6的平均数为/V,Mc的平均数为尸，若a〉b〉c,

则"与产的大小关系是（)

力、M=PB、M〉PC、MYP。、不确

定

答案：B

_N+ca+b+2c一ca+b-2c

解析："=中N3r=-------=------------M-P=------------

22212

..,„a+b-2cc+c-2c„

..M-P=--------------A---------------=0,即M-PAO,即MAP

1212

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回6千

米（AYO）,再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间大的关系示意图是（）

解析：因为图（⑷中没有反映休息所消耗的时间；图（6）虽表明折返后S的变

化，但没有表示消耗的时间；图（。）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（。

正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）

/、甲比乙大5岁B、甲比乙大10岁

a乙比甲大10岁小乙比甲大5岁

答案：A

解析：由题意知3X（甲一乙）=25-10=15

二甲一乙=5。

4、一个一次函数图象与直线y=』x+史平行，与x轴、y轴的交点分别为尔B,

44

并且过点（一1,-25）,则在线段18上（包括端点从B）,横、纵坐标都是整数的

点有（）

44个6、5个C、6个D、

7个

答案：B

解析：在直线48上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-l+4N,y=-25+5N,

3V是整数）.在线段上这样的点应满足-l+4N>0,且-25+5N40,，,4N45,

4

即N=l,2,3,4,5

5、设a,b,c分别是AABC的三边的长，且色=上①，则它的内角/4、ZS的

ba+b+c

关系是（）

4、ZB>2ZAB、^B=2ZAC、ZBY2ZAD、不确

定

答案：B

解析：由0=上上得@=上，延长2至〃，使次）=回，于是CZ）=a+c

ba+b+cb〃+cC

在AABC与ADAC中，ZC=ZC,且生=9X\a

ACDC/\

・

..MBCADAC,ZBAC=ZDA\-----c~~~V

VZBAD=ZD\

:.ZABC=ZD+ZBAD=2ZD=2ZBAC

D

6、已知AABC的三边长分别为d,b,c,面积为£AA4G的三边长分别为4，

b、,G，面积为S],且b〉b、,cAq,则S与酬的大小关系一定是（）

AyS>-S|B、SYS、C、S=S\D、不

确定

答案：D

解析：分别构造AA3C与AA4G如下：①作AABCSMSG，显然]=（幺）

即S»S1;②设a=O=，c=20,则儿=1,S=10,囚=々=G=10,贝IS1=100”10,

即SYS|；③设a=匕=VHil,c=20,则力，=1,S=10,a,=bt=729,c,=10,则也=2,

S,=10,即5=$|；因此，S与酬的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知:“=返+啦+VT,那么3+3+二=

aa~a

答案：1

解析：V（V2-l）b=2-1=1,gpl=V2-l

•3313ci~+3ci+1〃°+3a~+3a+1(a+1)

••—i-~-i—~=------------=---------；---------1=--------—1-(V2j—1=2—1=1

8、如图，在梯形4%刀中，AB//DC,AB=8,BC=6五，ZBCD=45°,ZBAD=120°,

则梯形ABCD的面积等于.

答案：66+673（平方单位）

解析：作力只跖垂直于比；垂足分别为乐F

由BC=6后，ZBCD=45°,得AE=BF=FC=6

由N«4£）=120。，得NDAE=30°

因为A£=6得。£=26，AB=EF=8,。。=26+8+6=14+26

AS=1（8+14+2V3）X6=66+6V3

9、已知关于x的方程（a-l*+2x-a-l=0的根都是整数，那么符合条件的整数

有个。

答案：5

解析：①当g=l时，x=l;②当axl时，易知x=l是方程的一个整数根，再由

1+》=’-且才是整数，知1_°=±1,±2,二a=—l,0,2,3；由①、②得符合条件

i-a

的整数a有5个。

10、如图，工地上竖立着两根电线杆/反CD,它们相距15米，分别自两杆上高

出地面4米、6米的/、。处，向两侧地面上的尺D；B、6点处，用钢丝绳拉紧，以

固定电线杆。那么钢丝绳/〃与a1的交点户离地面的高度为米。

答案：2.4米

解析：作「于0,设80=x米，QQ=y米,

由筋〃PQ〃CE>,得幺及也二」一

4x+y6x+y

两式相加得2=1,由此得力=2.4米

12

即点P离地面的高度为2.4米。

注：由上述解法知，AB、切之间相距多远，与题目结论无关。

11、如图，在直角坐标系中，矩形以比'的顶点8的坐标为（15,6）,直线y=gx+6

恰好将矩形如a'分成面积相等的两部分，那么匕=______也1

OAx

第11题图

解析：直线y=4x通过点〃(15,5),故比>=1

3

当W时，直线y=；x+g通过„(15,5；)两点

则它恰好将矩形的勿分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率

增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是.

注：利润率=销售,盘进价x100%

进价

答案：17%

解析:设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为4x100%,

X

原进价降低6.4%后，在销售时的利润率为ZZ里%x100%,依题意得：

93.6%x

X100%+8%=-93-6%XX100%,解得y=1.17x

x93.6%x

故这种商品原来的利润率为"x100%=17%

X

三、解答题

13、设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x?+2佃-2卜+/一3〃?+3=0有

两个不相等的实数根占，x2.

(1)若x；+x；=6,求力的值;

22

(2)求〃工+上工的最大值。

1-Xj1—X2

解：因为方程有两个不相等的实数根，则

A=4(/??—2)2—4(m2—3m+3)=—4/n+4>0

・\mYl

根据题设，有-iWmYl

222

(1)因为x；+x；=(玉+-2XJX2=4(/n—2)-2(in—3m+3)=2m—+10

A2ITT-10^7+10=6,BPm2-5/n+2=0

.5±V17

••m=------

2

由于一14/nYl,故丁=5一如

mx^+mx；_M%；(1-12)+工；(1-M)]_+x；-xx(马+x

(2)t22

1~X|1—%2(1-芭X1一)七修一一+1

_或2/-10—+10）+（小一+3）（2加-4）]

-\m2-3m+3）+（2m—4）+1~

_〃z（2加38n2+gm―2）

一•）

m~-m

_2加（，〃一l）（〃z2一3"+1）

tn（rn-1）

=2（〃/-3加+1）

y在丁-1Y1上是递减的

,当zn=T时,『取最大值10

->2

故』+三的最大值为10

1--X2

14、如图：已知四边形4颇外接圆。的半径为2,对角线与故的交点为6,

AE=EC,AB=42AE,月.80=2百，求四边形力比力的面积。

解：由题设得AB，=2A£；2=AE-AC

•.•A-B=-A-E-

ACAB

又ZEAB=ZBAC

MBEsMCB

/.ZABE=ZACB,从而=

连结/〃，交劭于〃，则即="£>=6

/.OH=y]OB2-BH2=74-3=1,四=OA-O”=2-1=1

/.S=-BD/l//=-x2>/3xl=V3

（Myr\HDUn22

•••£是47的中点

•.SMBE=SHBCE，SAADE=^ACDE

SSMD=^ABCD

•♦5四边®ztBco=2sM加=26

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只

能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到

1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们

分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意

的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住

的层数。事实上，设住第S层的人乘电梯，而住第匕层的人直接走楼梯上楼，SYf.

交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：

设电梯停在第x层。

①当XYSYf时，若住第s层的人乘电梯，而住第£层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为3f+3s-3x-3;交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为

3t+3s—3x—3.

②当X=时，若住第S层的人乘电梯，而住第£层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为31-3;交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3f-3.

③当SYXY1时，若住第s层的人乘电梯，而