高中数学人教版（A版）必修 第一册(2019)-第三、四、五、六章知识（必修一） 公开课

函数的概念与性质+指数函数与对数函数姓名:

一、函数：班级:

(1)函数的概念：.

(2)函数y=°(x)的图象与直线x=a交点的个数为个。

(3)函数的三要素：，，o

相同函数的判断方法:①；②(两点必须同时具备)

(4)函数解析式的求法

①定义法一(拼凑):②换无法:③待定系数法:④赋值法:

(5)函数定义域的求法:.

①y=3,则________________；②y=GN*)则____________;

g(x)

③丁二】/。)］。，则；④如：y=iog〃x)g(x)，则；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

例.函数y=/(%)的定义域是［0,1］,则0(x)=/(%+«)+/(%-a)的定义域为.

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际

意义来确定。例.已知扇形的周长为20,半径为r,扇形面积为S,

则S=/(r)=；定义域为.

(6)函数值域的求法:

①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为型如：/(x)=ax2+bx+c,xe(瓶,〃)的形式；

②换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑧单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；

④教形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域；

求下列函数的值域：①y1”(-oo,0)；②yL”(-oo,0)；

Xx-1

二、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较/(幻与/(-%)的关系。

/(%)-/(一%)=。o/(X)=/(-%)O/(X)为偶函数；

/(x)+/(-X)=0o/(x)=-/(-X)o/(X)为奇函数。

判别方法：定义法、图像法、复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性:定义:若函数/(X)对定义域内的任意X满足：/(X+T)=/(幻，则T为函数/(x)

的周期。

其他：若函数/(x)对定义域内的任意x满足：/(%+«)=/(%-«),则2a为函

数/(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

三、…图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换

的一般规律。

平移变换y=/(x)fy=/(x+a),y=/(x)+b注意：有系数，要先提取系数。

例.把函数y=/(2x)经过平移得到函数y=/(2x+4)的图象。

对称变换：y=/(%)->y=/(-x),关于y轴对称；

y=/(x)fy=-/(x)，关于x轴对称；

y=/(%).y=/(|%|),把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称；

y=/(x)-y=|/(x)|,把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴

对称。(注意：它是一个偶函数)

伸缩变换：y=/(%)-y=/(ox),y=/(x)—,二^^口左+⑶具体参照三角函数的

图象变换。

一个重要结论：若/(a—x)=/(a+x),则函数y=/(x)的图像关于直线x=a对称；

反函数：(1)两个函数图象关于直线对称；(2),=。*与,=1086,%互为反函

例.y=/(x)的图象如图，作出下列函数图象：

(Dy=/(—%)；(2)y=-/(%)；(3)y=/(|x|)；

(4)y=1f(x)|；(5)y=/(2x)；(6)y=f(x+l)；

(7)y=f(x)+1；(8)y=-f(-x)；

四、常用的初等函数：

(1)指数.函数:y=ax(a>O,a^1)

指数运算法则：__________________________________

指数函数：丁=优(。>0,。彳1)图象恒过点(0,1),单调性与。的值有关，在解题中，往往

要对。分。〉1和0<。<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

(2)对.数函数:y=logaMa>o,aW1)

对数运算法则：；；

对数函数：y=log“x(a>0,awl)图象恒过点(1,0),单调性与。的值有关，在解题中，

往往要对。分。>1和0<。<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

注意：比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不

相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

例.解不等式：(Dlog/vl；(2)a3~2a<a2(a>OJiLa1)

(3)幕函数：一般地，形如y=x"(aeR)的函数称为幕函数，其

中a为常数.

要求掌握图像与性质的几个基本嘉函数：

=X；②y=%2；③丫=尤2；@y=x~l;⑤丁=尤3

k

(4)y=x+—(左>0)的图象：

x

定西；值域：；

奇偶性：；单调性：是增函数；是减函数。

k

(5)'=*+勺(左<0)的图象：同上讨论.

x

三角函数

1.终边相同的角

①与a(0°<a<360°)终边相同的角的集合:_________________

②终边在y轴上的角的集合：

③终边在坐标轴上的角的集合：

④写出右图所示阴影部分角a的范围：

⑤象限角a的半角里所在象限的规律：角a的半角区分布图一

22

2.角度与弧度的互换关系：360。=2〃，180。=〃

3.弧度制下的公式:

扇形弧长公式，扇形面积公式，其中a为弧所对圆心角的弧度数。

练习：扇形OAB的面积为Icn?,周长为4cm,则弦长cm

4.三角函数定义：在a终边上任取一点P(羽y)(与原点不重合)，记/=|。尸|=//+,2

贝Usina=,cosa=,tana=。

[2

练习：⑴已知角1的终边经过点尸(%,一小)(#0),且cosa=2，求sina,tana的值.

(2)已知点P(sin6r,cosa)在第二象限，则a在第___________象限。

(3)sin更里；(3)cos(2e+g)=—g

5.同角三角函数的基本关系式：

、.兀

(1)平方关系：.(2)商数关系：%£Z).

32sinOL—2cosa

求值：(1)已知sina=—三，求cosa,tana的值.(2)已知tana=2,求7■:---------------的值.

J4sin«—9cosa

6.诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限)

sin(2»-a)cos(万+a)cos(--ba)cos(-------a)

化简：--------------------------2------------2.-------

9万

cos(»-a)sin(3»-a)sin(一〃-a)sin(----1-a)

7.正弦余弦正切函数的主要性质

函数正弦函数〉=5皿%余弦函数丁=85%正切函

图像

定义域

值域

周期性

单调性

对称中心

对称轴方程

8.函数y=Asin(tyx+°)的图象(A>0,/>0,(p)

方法一：先平移后伸缩：y=sinx|心福”果号吁Ty=sin(x+9)

横坐标变为倍、./।、纵坐标变为倍、4•/,x

-------纵坐标菽>y=sin(/x+(p)----横坐标筱>y:Asin(s+cp)

方法二：先伸缩后平移y=sinx—横坐袋:不变恬,y=sin〃zx

而">0)或向(*<0)~71.z,x纵坐标变为倍、4•/,\

=3------------------------------------>y=sin(°x+哈-------横怦杯不变>y=Asm(ox+(p)

1jr

练习：函数y=2sin(1x+4)+l,可由y=sin%,%£R的图象经过怎样的变换得到？

9.两角和与差的三角函数公式

sin(a+P)=_______________sin(a—P)=_________________

cos(a+P)=_________________cos(a—P)=_________________

tan(a+0)=_________________tan(a—P)=_________________

10.二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2a=cos2a==tan2a=

11.三角函数的降嘉公式

sin2a=______________cos2a=___________

12.合一变形公式：asiwc+Z?cosx=

ta

例.(1),2—2cos6»=_______；(2)j2+2cos8=_______；(3)--—=

1+tan0

…什z3〃、111111-

(4)右CCE.(肛),化间、1、1COS2。_________________.

2V22y22

37r3TC12

例(1)已知a,/?£(彳,1),sin@+/)=-《,sin(/?-/=百，则cos(cr+R=

(2)设//?为钝角，且sina=半，cos/?=—则。+/?=

13.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容__________________________________=2RC2=________________________.

(为△ABC外接圆半径)

变形①a=_______，b=_______,c=_______；①cosC=___________________;

形式®sinA=____,sin8=____,sinC=____;@a2+Z?2-c2=labcosC;

@a:b:c=___________________________；

④a+b+c_a③S=—absinC

2

sinA+sin5+sinCsinA

三角①已知两角和任一边，求另一角和其它两条①已知三边，求各角；②已知两角

形的边；②已知两边和其中一边的对角，求另一和它们的夹角，求第三边和其它两

问题边和其它两角.个角.

14.角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=TT,所以sin(A+B)=；cos(A+8)=；

tan(A+B)=.sin=；cos"+'=-

22

例.(1)在AABC中，a=l,b=2,cosC=工，则c=,sinA=.

4

(2)在AABC中，角A,5c所对的边分别是a,。,c,已知a=2灰:osC,则44BC的形

状为.

/7卜ccqA

(3)在AA5C中，a,仇c分别为内角A,5c的对边，且幺=2+-------——，则8的

cccos(A+C)

大小为.

平面向量

1.平面向量的概念

向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的.

零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

单位向量：模长为1的向量。与£同向的单位向量是.

平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量.规定：0与任意向量共线.

相等向量：模长相等且方向相同的向量.

相反向量：模长相等且方向相反的向量.

2.平面向量基本定理：若1是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的

任意向量有且只有一对实数4,4，使得£=41+4最那么，72叫做表示这一平

面内所有向量的一组基底.

3.平面向量线性运算

向量运算法则运算律

三角形法则交换律：a+b-b+a

加法

平行四边形法则结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

减法三角形法则a—b=a+(—b)

|Au\=_____,

当2>0时，筋与〃的方向=

___»

数乘(2+=

当/<0时，曲与a的方向

___♦X(a+B)=

当2=0时，Aa=—

4.平面向量的数量积

数量积：a-b=\a\-\b\cos0.

/7•h

夹角余弦值：COS0=————(0<0<7l)

\a\-\b\

例.已知非零向量Z4满足|£|=2|B|,且(Z—则"与否的夹角为.

投影向量的概念：.

例.已知Ia|=6,\b\=3,。石=一12,6是与3同向的单位向量,则向量。在向量B上的投影向

量是.

向量数量积的重要性质：

②当〃与]同向时,a-b=\a\\b\；当〃与」反向时,a-b=-\a\\b\.

③|£%区|£鹿|

5.平面向量共线定理：向量B与非零向量£共线的充要条件是有且只有一个实数;I,使得

b=Aa.

三点共线的等价关系：4,8,2三点共线0丽=彳而

U>OP=AOA+/JOB(A,+〃=1).

6.平面向量坐标运算，已知非零向量£=(%],%),b=(x2,y2)

加法运算：〃+/?=(%+々,乂+%)减法运算：a-b-{Xy-x2,yi-y2')

数乘运算：2。=(/1%,丸%)数量积：a-b=xix2+yiy2

一7a-b

模长：|a|=旧+y；cos<a,b>=-

\a\-\b\

若a//Bo%1y2-%2乂=。若aJ_Bo玉/+X%=0

7.平面向量与三角形的“四心”问题(连线)

——>2<2<2

重心中垂线交点OA=OB=OC

垂心中线交点GA+GB+GC=6

外心角平分线交点PAPB=PBPC=PCPA

i/ABAC

内心高线交点OP—OA+z—i—»)

\AB\|AC|

Wr杭卅市富阳区江南中学2020级数学

_函数的概念与性质+指数函数与对数函数姓名:___________

懑运⑴超僦辍好河

(3)函数的三要素：史成―就喇，-OT\

⑷函①单幽-；②_珅叫网-(两点必须同时具备)

图义法(言凑):②换元法:

G)函数定义域的求法：

①尸=，则一科*。.：②y=2〃1(祖〃€N)则,

夙同I

③了=[71(»『，则+伸0:④如：y=log”,)^M，则.

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

例.函数y=f(A)的定义域是[0,1],则火*)=/'(x+a)+/(x-a)的定义域为.

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际

意义来确定。例.已知扇形的周长为20,半径为r,扇形面积为S,owAv士口可

则S=f3=(Jo-八丫V定义域为

士a”皿,T

(6)函数值域的求法：

①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为型如：/(»=ax2+取+，,*6(鸡〃)的形式；

②换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

③单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；

④数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域;

33/一片+3

求下列函数的值域：①人二一=----,-re(-00,0)；②，=———,*e(-8,0);

X।*工、++3a

二、函数的性质：-]&(*,通-口1—

函数的单调性、奇偶性、_Re-Jl-n

单调性•定义:•注意定义是相对与某个具体的区间而百•''如"

卑胴但名毒方法有：定义法(作差比较和作商比较)复合函数法和图像法.

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。，

奇偶性.定义:注意区间是否关于原点对称，比较/(*)与«-力的关系.

4M-/(-*)=0of(x)=f(-力o/(*)为偶函数；

/(力+f(-力=0=/(力=-4-Qo为奇函数.

判别方法：定义法、图像法、复合函数法

周期性,霆:蠹黑需蒙蠹0的任意"满足："*+n=a*)，则T为函数“幻

器券函数/U)对定义域内的任意*满足：«x+a)=则2a为函

数f(x)的周期.

三、图形蠹，器蠹鼾黑黑髓泼盍本函数的图像，掌握函数图像变换

的一般规律。

Y

9杭州市富阳区江南中学2020级数学

平移变换y=«x)->y=«x+a),y=/(力+6注意：有系数，要先提取系数.

例.把函数y=/(2M经过_A轮增便移得到函数y=/(2*+4)的图象。

对称变换：」=/(»->>=/'(-I，娱于e如对标;

y=/(»->>=-/*(»,关于片轴对称s

y=«*)->/=/>(Ixl),把*轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于*轴对称；

y=f(x)-»y=\/(幻|,把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于/轴对

称。(注意：它是一个偶函数)

伸缩变换：y-/(A)->y=f(a)x),y=f(x)—>y=Af{a>x+<p)具体参照三角函数的

图象变换."

一个重要结论：若/'(a-A)=f(a+；0，则函数y=/(»的图像关于直线*=a对称；

反函数：(1)两个函数图象关于直线对称；(2)尸=2，与尸=108,*互为反函数.

例.y=的图象如图，作出下列函数图象：|〃')

(l)y=(2)y=-/(i)；(3)y=f(|*|)；/

(4)>=|“初；(5)y=/(2力；(6)y=/(x+l)；V一

(7)y=/(力+1；(8)y=-/(-A)；Zp^(io)"""*

四、常用的初等函数：,二二r

指数函数:y=a'(a>0,axl)_

指数运算法则：4”；0吸小_________________；

—(地'A”尸____________

指数函数：y=a*(a>0,awl)图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关，在解题中，往往

要对a分a>l和0<a<l两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

(2)对数函数:7=log,Ma>0,aw1)

对数运算法则：+&N-13阳)

对数函数：y=1国哎a’父勺钟).图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关，在解题中,

往往要对a分a>1和0<a<】两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

注意：比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不

相同时转化为同底数的指数或对奖，还要注意与1比较或与o比较。A>[

例.解不等式：(Dlog/vl；©：卢(2)#2，<"®>0且awl)3a<2"闻0>|

(3)籍函数：一般地，形如/=箱：1X)的函数称为恭函数，其

中a为常数.

要求掌握图像与性质的几个基本塞函数；

£

①尸=*；②>=尸；③/=，；④/=*T；⑤y=V

(4)y=*+*(%>0)的图象：：:

X

京义域：fx卜;J-:值域；(呐，划城小，忤)

奇偶性：十；单调性：1-8,-西],.九那是减函数.

⑸尸*+和<°)的图象；同上讨论.照⑹,

2

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三角函数

1.终边相同的角，L）\y

①与a（0。4a＜360。）终边相同的角的集合:上住旦±%&空L

②终边在尸轴上的角的集合：竹底虹左W.45°

③终边在坐标轴上的角的集合17“X；尊，3了%

④写出右图所示阴影部分角a的火甬词-也硒＜虫#+遍,哪,：/

⑤象限角a的半角2■所在象限的规律：角a的半角巧分布图一

、、＜V

22，/“心、、

2■角度与弧度的互换关系：360。=24，180。=4/：

3•孤度制下的公式：，,

扇形弧长公式［;嫉丫，扇形面积公式Jd丫，其中a为弧所对圆心角的弧度数。

练习：扇形OAB的面积为1cm?,周长为4cm,则弦长|力耳=2加|cm

4•三角函数定义：在a终边上任取一点/周力（与原点不重合）,记r=|0Pl=Jf+歹,

则sina=/______,cosa=x•tana=/_______"（,；

练习：（1）已知角a的终边经过点R*,一也）（*刈），且cos.a=孝，求Md,亩ia含宣•'

（2）已知点/sina,cosa）在第二象限，则a在第'囚：——象限。•

⑶sin庭察g十府”£言十悯.因幺⑶cos(26+g)=-;9;防呼炙用d.

J乙

5.同角三角函数的基本关系式:

（2）商数关系：也史二芸（存尿+多A-eZ）.

（1）平方关系：金&+"或引

求值：（1）已知sina=一|,求黑2,'tana的趋于（2）已知tana=2,求［需吃二:森:的值，

&诱导公式（口诀:奇变偶玛"语着象恐净

sin(2乃一a)cos(〃+a)cos(y+a)cos(^-^一a)

化简:

9/r

cos(/r-a)sin(3乃一a)sin(一江-a)sin(—+a)

函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数尸=1311X

图像r7阖r/"of?

定义域RR斓代以曲总31

值域工力〃

周期性加对

单调性（4硝彦啪Hi硝，。珈（T的山）个

对称中心「威MhH占M

对称轴方程和24MA。不E.心—加

3

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&函数尸4sin(0Hp)的图象(4>0,s>Q,p)

方法一：先平移后伸缩：/=sinLsin(x+<p)

士J平移_____个小位长及/\

横坐标变为俯、..、姒坐标变为倍j.z,、

------->y=sm(0*+<p)——5r~~>y=4sm(o/+(p)

方法二：先伸缩后平移y=sin*J坐翟*福-砧>y=sin0*

由S>0),向(J<0)I.、螟坐标变为倍4・/、

-1和加皿>,=smz®x+p)——jjjgT；一>六4sin®x+<p)

练习：函数尸2sig(%+君+1,可由尸sinX,xeR的图象经过怎样的变酒得到？《不依”.

》左十》船中「横瑶""由心口纲>际H冠+芽胆部

9.两角和与海掇Mff沙住中1

sin(a+0)=出闻)%叫sin(a-P)=U”“邛.困坤

cos(a4-p)=A仪4^・山(叩cos(a—p)=awg,+M4遥.

tan(a+B)=_佳枭3〃7二tan(aT尸仁C-3//届丽

1」二倍角的正弦、'余强前面公式rL4

sin2a=温QCCBJcos2a=%&女子=I-基，tan2a=

11三角函数的降号公式

sin2a=\_______cos2a=______

12合~变形公式：asiiur+反os户Ja式b~.曲M,)

例.(nJ2-2cos6>=半⑶(2)j2+2cosd=才应同;(3)；；.黑-=3律④.

(4)若ae(肛背)，化简J；+gJg+gcos2a=外空--------

例⑴已知a,fie(―,^,),sin(a+夕)=—，sin/-£)=与则cos(a+£)=

45*4134

(2)设a,夕为钝角，'且sina=g,cos^=-则a+尸=X?)---------

1&正弦定理和余弦定理

定理正弦学理Le余弦定理

内容J___________=28/=3)1小皿£________.

次△疵外接的半径)

睽

①2二城•姓4，方Q/?加A_.，c=用和?£—；①cosC=/产-:

②sin4=备，sin5=+,sinC=j^^；②=2abcosC；

③a:b:c=*4以妖FkG_-------------；③S=gabsinC

.a+b+ca

④--------------—=-；—--

sinA+sin5+sinCsinA

-一

三

角①己知两角和任一边，求另一角和其它两条①已知二边，求各角；②已知两角

的

形边；②已知两边和其中一边的对角，求另一和它们的夹角，求第三边和其它两

题

回

一边和其它两角.个角.

14«角的变换

因为在△4BC中，4+5+。="，所以sin(4+必=jJk4__；cos(4+6)=-gC)

0杭州市高阳区江南中学2020级数学

tan（4+5=-«nC.sin~^~^=（仍义；cos-^|-^=

例.(1)在A45C中，a=l,b=2,cosC=L4iJc=2

4

2AosC，则△诙的形

所对的边分别是a,b,c,已知a=

状为

a,b,c分别为内角4附的对边，吃=2+焉志，则5的

(3)在

大小为.

平面向量

1.平面向量的柢念、.

向量：既有大小又有电，的量叫做向量，向量的大小叫做向量的邢.

零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.