高初中数学的衔接讲座

高初中数学的衔接讲座-育才编（全套，新课标人教A版）

如何做好高、初中数学的衔接

•第一讲如何学好高中数学•

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课

程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、

乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常

常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重

的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失

去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教

学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人

的经验教训，搞好自己的数学学习。

-高中数学与初中数学特点的变化

1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很

远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通

俗的语言方式进行表达。而高一数学-下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学

习到的函数语言、空间立体几何等。

2思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师

为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路。因此,

初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,

数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这

种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生定要能从经验型

抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的''量"上急剧增加了。例如：高一《代

数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、

定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了

概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地

减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避

免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工

作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新I日知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知

识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果

不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使

知识结构一目了然：类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一：使几类问题同构于同

一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。

二不良的学习状态

1学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数,

初中数学教师将各种题型都一•罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望

子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，

家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老

师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上

课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没

有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中

学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三

临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。

有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚

矣。

3学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突

出思想方法。而•部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题

也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概

念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打

采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

4不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基木方法的学

习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的

“水平”，好高鹫远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中

途“卡壳”。

5进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一

次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、

方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形

与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不

讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。

三科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才

能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好

的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和

课外学习几个方面。

(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和

克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格

要求自己，磨炼学习意志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且

能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材

弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上.

(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。”学然后知不足”，课

前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地

方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对

基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边

复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知

识的理解和对新技能的掌握过程。这-过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由

“会”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏

解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业

再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知

识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所

学到的知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。

小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭

示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识

由“活，，到“悟”。

(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流

学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和

巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲

与学习热情。

2循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的

同学贪多求快，囱冏吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得点成绩便洋洋自得,

遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非

一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一

个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练

程度。

3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、

空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象

性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行,

只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找

最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚"和''由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法

因人而异，但学习的四个环节(预习、上课、作业、复习)和一个步骤(归纳总结)是少不了的。

•第二讲初中数学与高中数学衔接紧密的知识点•

1绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

a(a>0)

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0,即时=<03=0)

-a(a<0)

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

(4)两个绝对值不等式:Ix|<a(a>0)-a<x<a；Ixl>a(a>0)。》<-a或%><7

2乘法公式：

⑴平方差公式:a1-b2-(a+b)(a-b)

⑵立方差公式:a3—b3=(a—b^a2+ab+b2)

⑶立方和公式：a3+b3^(a+b)(a2-ab+h2)

⑷完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a+b+c)~=+h~+c~+2ab+2ac+2bc

⑸完全立方公式：(a±b)3=a'±3a~b+3ab2±b'

3分解因式：

⑴把一个多项式化成儿个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程。x=6解的讨论

①当aN0时，方程有唯一解x=2；

a

②当a=0,bwO时，方程无解

③当a=0,6=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

(4)解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6不等式与不等式组

(1)不等式：

①用符不等号(>、#、<)连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等

式。

(4)一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元■■次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7一元二次方程：ax2+bx+c=0(6i0)

①方程有两个实数根oA=^2-4ac>0

'A>0

②方程有两根同号。\c

xx=—>0

.t2a

'A>0

③方程有两根异号。c

xx=—<0

,[2a

bc

④韦达定理及应用：$+工2=——,XjX=一

a2a

VA_"2-4ac

22卜一%21=«X[+%)2—4玉%2

%)+x；=(%j+x2)-2XJX2,

8函数

（i）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上

的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成》=履+力（b为常数，k不等于0）

的形式，则称y是x的一次函数。②当6=0时，称y是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系

内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数x的图象是经过原点的•条直线。

③在一次函数中，当攵<0,b<0,则经2、3、4象限；当k<0,b>0时，则经1、2、4象

限；当&>0,6<0时，则经1、3、4象限；当k〉0,b>0时，则经1、2、3象限。

④当女〉0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随尤值的增大而减少。

（4）二次函数:

①一般式：y=ax1+bx+c=a(x+—)2+~生(。工0),对称轴是犬=--—,

2a4〃2a

顶点是（一2,4"，一J；

2a4a

②顶点式：y=a（x+m）2+k（tz^O）,对称轴是冗=一加,顶点是（一〃z,k）；

③交点式：y=。（尤一玉）食一次2）（。。。），其中（％,。），（12，。）是抛物线与x轴的交点

（5）二次函数的性质

b

①函数^=。》2+桁+。（。#0）的图象关于直线苫=一一对称。

2a

②a>0时，在对称轴（x=-2）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=-2）

2a2a

—/72

右侧；y的值随工值的增大而增大。当了=——h时，y取得最小值4」cic-----

2a4。

③a<0时，在对称轴（x=—2）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x=—2）

2a2a

4ac—

右侧；y的值随x值的增大而减少。当x=-b2时，y取得最大值h~

2a4a

9图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个

图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段

被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，-个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合,

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点

所连成的线段都被对称中心平分。

10平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或

横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系

的原点。

（2）平面直角坐标系内的对称点：设AT。2,为）是直角坐标系内的两点，

①若"和叱关于y轴对称，则有，~一一

I必=为

②若M和AT关于x轴对称，则有1~一”。

出=一%

③若M和〃'关于原点对称，则有《1-。

以=一%

④若"和关于直线y=x对称，则有|“一当。

1凶=々

x.-2a-x,I-2a-x.

⑤若M和M'关于直线x=a对称，则有《।2或《2I。

I%=%I%=%

11统计与概率：

(1)科学记数法：一个大于10的数可以表示成Ax10'的形式，其中A大于等于1小于10,N

是正整数。

(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小

反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总

体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：

能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

(5)平均数：对于"个数…外，我们把小玉+々+…+赤)叫做这个N个数的算术

平均数，记为"

(6)加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数

时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

(7)中位数与众数：①/V个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数)叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的

众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生

活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数

据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

(8)调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的

全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这

种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的•个样本。③抽样调查只考察

总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查

结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性

和广泛性。

(9)频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频

率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

(10)数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均

数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方

差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

(11)事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情

我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②

有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发

生的可能性是有大小的。

(12)概率：①人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件

发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1,记

作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0；如果A为不

确定事件，那么0<P(A)<l

•第三讲衔接知识点的专题强化训练•

★专题一数与式的运算

【要点回顾】

1.绝对值

口]绝对值的代数意义：.即lal=.

[2]绝对值的几何意义：的距离.

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：|。-表示的距离.

⑷两个绝对值不等式：lxl<a(a>0)o；

Ixl>a(a>0).

2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：；

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

[公式1](a+b+c)2-

[公式2]=/+/(立方和公式)

[公式3]=/3(立方差公式)

说明：上述公式均称为“乘法公式”.

3.根式

[1]式子右(〃20)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(yfa)2=；(2)=；(3)>[ab=；(4)

vr---------------

⑵平方根与算术平方根的概念：叫做。的平方根，记作

x=士曰（a>0）,其中石（a20）叫做。的算术平方根.

［3］立方根的概念：叫做”的立方根，记为

X-yfa

4.分式

AA

口］分式的意义形如一的式子，若8中含有字母，且3工0,则称一为分式.当#^0时，分

BB

A

式一具有下列性质：（1）；（2）

B----------------------

已］繁分式当分式4的分子、分母中至少有-一个是分式时，a就叫做繁分式，如〃胃+.p,

BB2m

n+p

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

［3］分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘

以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有

理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1解下列不等式：（1）|x-2|<l（2）|x-l|+|x-3|>4.

例2计算:

(1)(JV*―A/2X+—)"(2)

5225104

(3)(a+2)(.—2)(小+4.2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

021

例3已知/一3》=1=0,求的值.

X

已知〃+Z?+c=O,求。('+!)+。(,+!)+。('+，)的值.

例4

bccaab

例5计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）:

⑴言(2)J(1-x)~+J(2-x)“(xN1)

U1

(3)—+-(4)2.

ab

设.当2-V3

求d+y3的值.

例6“五国，

2-V3

Xx2+3x4-96xx-\

例7化简：（1）一7一(2)H----------------------------

1-xX2-279x-x6+2x

x+-r

X——

X

XXx_xx(x+l)x+1

(1)解法一：原式二一-一

1-X(1-x)-XXx2+X-Xx2X

XH--Z------x+------—

2x----------------------

x-l(X+1)(%—1)X+1X+1

X

XXXx(x+l)x+1

解法二:原式二

(l-x)-xx(l-x)Xx2+x-xX

x+——x+x------

x2-lx+1

(x——)-x

X

/、&,m4/+3x+96xx-l16x-1

⑵解.序式=------------------1_____________________=-------------------------------

•八(X-3)，+3X+9)X(9-X2)2(3+X)X-3(X+3)(X-3)2(X-3)

2(x+3)—12—(x—l)(x—3)—(x—3)~3—x

2(x+3)(x—3)2(x+3)(x—3)2(x+3)

说明：（D分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行

约分化简；（2）分式的计算结果应是最简分式或整式.

【巩固练习】

1.解不等式|x+3|+|x-2|<7

、几112/+盯+)’.号

2.设了=-7=-,y——7=----,求代数式------------的值.

>j3—2>/3+2x+y

3.当3/+ab—26=03工0,6。0）,求色一2—匕主打的值.

haah

4.设求d+f+Zx—1的值.

2

5.计算(x+y+z)(一尤+y+z)(x-y+z)(x+y-z)

6.化简或计算:

1

+V5+2

xy/x+Xy[yx+y[xy+y

⑶(4)

xy-y2xjx-yy[y

★专题二因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、

解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方

公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：.

[4]（a+h+c）2-

[5]/+/=（立方和公式）

[6]a3-b3=（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式

可以进行因式分解.

2.分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项

以上的多项式，如〃皿+〃仍++既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先

将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如

何分组.

常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式

3.十字相乘法

（1）V+（p+q）x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；

③•次项系数是常数项的两个因数之和.

'/x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）,

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

（2）一般二次三项式af+bx+c型的因式分解

由402了2+（%。2+42。）工+0。2=（［X+q乂/犬+C2）我们发现，二次项系数。分解成6/，

常数项C分解成qq，把弓,“2，。，。2写成:;Xi；，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

如果它正好等于ax?+bx+c的一次项系数6,那么ax?+Ax+c就可以分解成

（a.x+c.Xa^+cJ,其中位于上一行，心，。2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系

数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一

个二次三项式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法

【例题选讲】

1b

例1（公式法）分解因式：（1）3/6—81/；（2）a-ab

222

例2（分组分解法）分解因式：⑴曲。2-/）一（/一/）川（2）2x+4xy+2y-8z

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：（1）X2+5X-24（2）X2-2X-15

⑶x2+xy-6y2⑷

(X2+X)2-8(X2+X)+12

解：(I)，.，-24=(—3)x8,(—3)+8=5x~+5x-24=[x+(―3)](x+8)=(x—3)(x+8)

(2)•••-15=(-5)x3,(-5)+3=-2x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)

(3)分析：把V+孙-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6/，一次项系数是y,

把-6y2分解成3y与-2y的积，而3y+(-2y)=y,正好是一次项系数.

解：x2+xy-6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x-2y)

(4)由换元思想，只要把V+x整体看作一个字母。，可不必写出，只当作分解二次三项式

u~-8a+12.解：

(%2+x)2-8(x2+x)+\2=(x2+x-6)(x2+x—2)=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1)

例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：(1)12--5x-2；(2)5x2+6xy-8y2

解：⑴12/—5x-2=(3x-2)(4x+l)

ccI、，2y

X

(2)5厂+6孙-8y=(x+2y)(5x-4y)5^y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，

为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑"，看是否符合

一次项系数，否则用加法“凑“，先“凑“绝对值，然后调整，添加正、负号.

例5(拆项法)分解因式/—3/+4

【巩固练习】

1.把下列各式分解因式:

(1)ab(c2-d2)+cd(a2-b2)(2)x2-4mx+8/nn-4n2

(3)x4+64(4)X3-11X2+31X-21⑸

x3-4xy2-2x2y+Sy3

2

2.已知a+/?=—,“b=2,求代数式+2//的值.

3

3.现给出三个多项式，-x2+x-\,-X2+3X+\,-X2-X,请你选择其中两个进行加法运

222

算，并把结果因式分解.

4.已知a+/?+c=O,求证：a3+a2c+b2c—abc+b3-0.

★专题三一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2+bx+c=Q(a^O),用配方法将其变形

为:.

山于可以用〃-4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把。2—4ac叫做一元二

次方程G2+6：+。=0（4工0）的根的判别式，表示为：A=/,2-4ac

对于一元二次方程加+"+‘=0（aWO）,有

[1]当A_0时，方程有两个不相等的实数根：

[2]当A_O时，方程有两个相等的实数根：

[3]当A_0时，方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程ax?+bx+c=O（a工0）的两个根为王,，那么:

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定

理称为“韦达定理”.上述定理成立的前提是A20.

特别地，对于二次项系数为1的•元二次方程f+px+qn。，若为，及是其两根，由韦达定理

可知

为+尼=—。，X、•双=q,即。=—（为+及），q=X\•Xz,

所以，方程x'+px+q=O可化为x‘一（xi+xjx+xi•在=0,山于不，照是一元二次方程

+。=0的两根，所以，x\,及也是一•元二次方程（%+*2）x+xi•照=0.因此有

以两个数为，热为根的一元二次方程（二次项系数为1）是下一（汨+均1+万・乃=0.

【例题选讲】

例1已知关于x的一元二次方程3f—2x+女=0,根据下列条件，分别求出火的范围:

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程有实数根；（4）方程无实数根.

例2已知实数x、y满足V+y2一刈+2x-y+l=0,试求x、y的值.

例3若4尤2是方程—+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值:

(1)+x2~；(2)--1---；(3)(玉一5)(々—5)；(4)I西—々।.

例4已知和工2是元二次方程4依2-4履+k+1=0的两个实数根.

3

（1）是否存在实数女，使（2%一刀2）（占一2彳2）=-5成立？若存在，求出k的值；若不存在，请

说明理由.

（2）求使土+2-2的值为整数的实数k的整数值.

々王

3

解：⑴假设存在实数女，使（2%一々）（％—29）=—5成立.一元二次方程

4日2—4履+左+1=0的两个实数根，；.4，nk<0,又

△=（-4%）2_4.4乂女+1）=-16女20

x+x=1

和九2是一元二次方程4丘2-4履+火+1=0的两个实数根，・,・,t24+1

（2X|—々）（须-2%2）=2（xj+x2）—=2（X]+x2）~-9须々=------=—k=一，但

4k25

k<0.

3

・・・不存在实数火，使（2玉一%）（%一2々）二一/成立.

（2）±+上―2=汇+々-_2=（二+々）一—4=*--4=---

x2Xjxtx2xtx2k+T左+1

•••要使其值是整数，只需&+1能被4整除，故k+1=±1,±2,±4,注意到攵<0,要使土+%—2

马玉

的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.

【巩固练习】

011

1.若再,为是方程2/-6x+3=0的两个根，则一+—的值为（）

x,x2

19

A.2B.-2C.—D.—

22

2.若f是一元二次方程以2+以+。=0(QHO)的根，则判别式A=〃-4ac和完全平方式

M=(2公+与2的关系是()

A.k=MB.△〉〃C.\<MD.大小关系不能确定

3.设Xi，/是方程/+〃％+4=0的两实根，%+1,々+1是关于x的方程/+gx+p=0的两

实根，则「=,q=.

4.已知实数a,b,c满足a=6-Ac?=〃匕-9,则。=，b-,c-.

5.已知关于x的方程/+3%-〃?=0的两个实数根的平方和等于11,求证：关于x的方程

(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.

6.若小乙是关于x的方程f—(2k+l)x+公+1=0的两个实数根，且须,々都大于1.

(1)求实数人的取值范围；(2)若X五=上1，求左的值.

X,2

★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1.平面直角坐标系

[1]组成平面直角坐标系。叫做

x轴或横轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角

坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程对称点的坐标

X轴

y轴

原点

点(a,b)

直线x=a

直线y=b

直线y=x

直线y=-x

2.函数图象

[1]一次函数：称y是x的一次函数，记为：y=kx+b（k、6是常

数，斤0）

特别的，当匕=0时，称y是x的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：函数片取々是常数，20）的图象是的一条直线，当

时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、

第四象限，y随x的增大而

[3]一次函数的图象与性质：函数y=H+6是常数，修0）的图象是过点（0,6）且与直线

产而平行的一条直线.设y=+b（AW0）,贝熠时，y随x的增大而；当时，

y随x的增大而.

[4]反比例函数的图象与性质：函数），=（（AW0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限,

x

在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限

中，y随x的增大而.双曲线是轴对称图形，对称轴是直线＞=%与丁=—x；又是中心

对称图形，对称中心是原点.

【例题选讲】

例1已知A（2,yJ、5（X2,-3）,根据