高中数学探究性教案

高中数学探究性教案篇1

教学目标

(1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

(2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

(3)掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；

(4)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

(5)通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找

出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去

解决有关排列数的应用问题.难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题.突

破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理

的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中.

从n个不同元素中任取m(msn)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为

从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.因此，两个相同排列，当且仅当

他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同.排列数是指从n个不同

元素中任取m(mwn)个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同

排列，才有可能计算相应的排列数.排列与排列数是两个概念，前者是具有m

个元素的排列，后者是这种排列的不同种数.从集合的角度看，从n个元素的有

限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是

相应的排列数.

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解.要重点分析好

的推导.

排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生

解决应用问题的能力.

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种

数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用.

在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止

单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之

后，可以逐渐地不作这方面的要求.

三、教法建议

①在讲解排列数的概念时，要注意区分"排列数"与"一个排列"这两个

概念.一个排列是指"从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序

摆成一排"，它不是一个数，而是具体的一件事才非列数是指"从n个不同元素

中取出m个元素的所有排列的个数"，它是一个数.例如，从3个元素a,b,

c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab,ac,ba,be,ca,cb,

其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示

排列数.

②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素"，二是"按一定顺

序排列”.

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才

是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的

排列，都不是同一排列。叫不同排列.

在定义中"一定顺序"就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题

的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区

别.

在排列的定义中，如果有的书上叫选排列，如果，此时叫全排列.

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题.

③关于排列数公式的推导的教学.公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图

的直视解释来讲解.课本上用的是不完全归纳法，先推导.......再推广到，

这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的.

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，

防止学生在"n"、"m"比较复杂的时候把公式写错.这个公式的特点可见课

本第229页的一段话："其中，公式右边第一个因数是n,后面每个因数都比

它前面一个因数少1,最后一个因数是，共m个因数相乘这实际是讲三个

特点：第一个因数是什么?最后一个因数是什么?一共有多少个连续的自然数相

乘.

公式是在引出全排列数公式后，将排列数公式变形后得到的公式.对这个

公式指出两点：(1)在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公

式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公

式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题;(2)为使这个公式在时也

能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解

释.

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解.

⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，

而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实.随着学生解题熟练

程度的提高，可以逐步降低这种要求.

高中数学探究性教案篇2

一、学情分析

本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识

的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况

是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的

巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示;平面向量的坐

标表示;平面向量的坐标运算。

二、考纲要求

L会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.

三、教学过程

(-)知识梳理：

1.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

(2)设A(xl,yl),B(x2,y2),则

I1=____________

(二)平面向量坐标运算

1.向量加法、减法、数乘向量

设=(xl,yl),=(x2,y2),则

+=-=入=.

2.向量平行的坐标表示

设=(xl,yl),=(x2,y2),贝！］ll=,

(三)核心考点•习题演练

考点1.平面向量的坐标运算

例1.已知卬-2,4)用3,-1),(：(-3,-4).设⑴求3+-3;

(2)求满足=m+n的实数m,n;

练：(2015江苏,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)

行刀£。则介11的值为

考点2平面向量共线的坐标表示

例2:平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)

若(+k)11(2-),求实数k的值；

练:(2015,四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若人为实数,(+入)

II,贝必=()

思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用？

方法总结：

1.向量共线的两种表示形式

设a=(xl,yl),b=(x2,y2),(i)aIIboa=Ab(bwO);②allb=xly2-x2yl=0.至于

使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

2.两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列

出方程(组)，求出未知数的值.

考点3平面向量数量积的坐标运算

例3"已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，

则的值为；的值为

【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利

用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.

练:(2014,安徽，13)设=(1,2),=(1,1),=+k若_L，则实数k的值等

于()

【思考】两非零向量±的充要条件：•=0=

解题心得：

⑴当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(xl,y1),b=(x2,y2),则

a-b=xlx2+yly2.

(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量

的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.

(3)两非零向量a，b的充要条件ab=0oxlx2+yly2=0.

考点4:平面向量模的坐标表示

例4:(2015湖南理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=l上运动，且ABJLBC若

点P的坐标为(2,0),则的值为()

A.6B.7C.8D.9

练:(2016,上海,12)

在平面直角坐标系中，已知AQ,0),B(0,-1),P是曲线上一个动点，则

的取值范围是？

解题心得：

求向量的模的方法：

(1)公式法，利用|a|=及(a士b)2=|a|2±2a-b+|bR把向量的模的运算转化为

数量积运算；

(2)几何法，利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解..

五、课后作业(课后习题1、2题)

高中数学探究性教案篇3

-:说教材

平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之

间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向

量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两

点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，

三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。

二：说学习目标和要求

通过本节的学习，要让学生掌握

(1):平面向量数量积的坐标表示。

(2):平面两点间的距离公式。

(3):向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是

向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三：说教法

在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：

(1)启发式教学法

因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备

让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重

要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的

充要条件。

(2)讲解式教学法

主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感;例题讲解时，演示解题

过程！

主要辅助教学的手段(powerpoint)

(3)讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自

学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四：说学法

学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学

习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目

的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导

两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论!并在具体的问题

中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！

五：说教学过程

这节课我准备这样进行：

首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？

继续提出问题：假如知道两个