高中数学-方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

《方程的根与函数的零点》教学设计

一.教学内容

本课内容普通高中数学必修①，第3章《方程的根与函数的零点》，新授课，第一课

时。本节内容《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进

一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对

函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

二.学生分析

1.认知起点

建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受

外在信息，而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息，建构当前事物的意义，

所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能，也不是学生只被动地陷于接受、记忆、模

仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流、

阅读自学等学习数学的方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些

活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过对2.2节的学习，学生已经对一次函数、二

次函数的性质与图像有了深刻了解，此时学生对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性

质的联系有了较高层次的认识，所以在本节课提出函数零点的概念，不会显得突然，反而对

学生的认知过程有很好的帮助。

2.学习兴趣

有了良好的知识基础，学生的知识起点会很自然的与本节课的内容进行衔接，这

样学生的学习兴趣会得到保障。另外，在现代化教学设备方面，我们利用《几何画板》

这一具有超强画图功能的软件，可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像，所以学生的

兴趣又得到了的提高。

3.学习障碍

本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了二次函数图像的基础

上，由图像与x轴的位置关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有

任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在

概念的接受上有一点的障碍。

4.学习难度

新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学

生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某些知识的难度要求，

改变了原有教材中原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一

点。难度适中，知识要点突出，层次分明，符合学生的认知特点。

三.设计思想

本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，借助《几何画板》的帮助，

为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们通过数学实验，经

历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。

四.教学目标

知识与技能：(1)通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在

研究和解决问题过程的一般思维方法。

(2)通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间

的关系，掌握零点存在的判定条件。

(3)培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。

过程与方法：通过画函数图像，分析零点的存在性。

情感态度与价值观：使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想，

理解动与静的辨证关系，体会数学知识之间的紧密联系。

五.教学重点

重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点.

难点：探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用

六.教学程序与环节设计

创设情境―......结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题.

组织探究------二次函数零点和零点的判定.

一”…一感知数学，以零点存在性为练习重点进行练习.

意义建构------

---i--建立数学，进一步探索函数零点存在性的判定.

探索研究------

例题研究------应用数学，零点的存在性判断及零点的确定.

I利用《几何画板》描绘某些特殊函数图像，找出零点,

学森纯习―......并尝试进行系统的总结.

作业反馈------重点放在零点的确定和应用.

具体流程设计

一、创设情境

画函数,=/一28-3的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程

彳2-2兀-3=0的根的关系。

师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。

生：独立画图，独立思考。

设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。

再次利用《几何画板》绘制函数y=——2x+l、y=Y-2x+3的图像，并观察它

们的图像与对应的一元二次方程丁-2》+1=0、/-21+3=0的根的关系。

［师生互动］

师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.

设计意图：利用《几何画板》的帮助，使学生的认知起点与新知识平顺对接，形成零点

概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的

根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，为学生

归纳方程与函数的关系铺好了台阶。

二、组织探究

对于函数了=/(X)(XGD),把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xe。)的

零点(zeropoint).

函数零点的意义：

函数y=/(X)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数y=/(X)的图象与X轴交点

的横坐标.BP：

方程/(X)=0有实数根O函数y=/(X)的图象与x轴有交点O函数y=/(x)

有零点.

［师生互动］

师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思想方法

生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点

的意义探索其求法.

设计意图：通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌

握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识

三、意义构建

函数零点的求法：

求函数y=/(x)的零点：

①(代数法)求方程/。)=0的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数了=/(x)的图象联系

起来，并利用函数的性质找出零点.

［师生互动］

师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。

生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法，即求解函数对应的方程；

第二：几何法，画出函数图像，找出零点.

设计意图：深刻认识图象与函数性质的关系，并掌握用几何法求函数的零点。

二次函数y=公2+/?x+c(a*O)零点个数的判定方法：

一元二次方程:次函数

判别式

ax2+Z?X+C=O(Q00)y=ax1+hx+cwO)

△=b1-4。。＞0有两个不相等的实根有两个零点

△=b1-4ac=0有两个相等的实根(重根)有一个二重的零点或有二阶零点

△=b2-4。。vO没有实根没有零点

［师生互动］

师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况.

生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次

函数零点情况的分析，总结概括形成结论，并进行交流。

设计意图：让学生对特殊的函数零点产生直观认识，深化零点概念

四、探索研究

(I)观察二次函数/。)=X2—2x—3的图象

①在区间［一3,1］上有零点；/(-3)=,/⑴=

，/(-3)-/(1)0(＞或＜).

②在区间［2,4］上有零点_/(2)•/(5)0(＞或＜).

结论：二次函数零点的性质

(1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)函数的值变号.

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(II)观察下面函数y=/(x)的图象

①在区间回上.(有/无)零点;

•f\b)0(＞或＜).

②在区间/,c］上_(有/无)零点;

f(b)•/(c)0(＞或＜).

③在区间［c,d］上(有/无)零点;

/(c)•f(d)0(＞或＜).

结论:零点存在性定理如果函数y=/(x)在区间［a,句上的图象是连续不间断的一条

曲线，并且有那么，函数y=/(x)在区间(a,。)内至少存在一个零

点，即存在使得/(c)=0,这个c也就是方程〃x)=0的根.

注意：(1)此性质成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；

(2)零点c并不一定是唯一的，但一定存在；

(3)/(。)・/0)〉0是函数丁=/(只在区间(。力)内有零点的充分条件。但是若

函数y=/(x)是一次、二次函数时，则/(a)・/(b)＞0是函数y=/(x)在区间

(。⑹内有零点的充要条件。

［师生互动］

师：引导学生结合教师所提出的问题及函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符

号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评

析。

设计意图：如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，这

样设计，有得于营造气氛，调动学生的积极性，内容由浅入深，既展现了知识的形

成过程，又体现了能力的培养，符合素质教育的思想。

五、例题研究

例题1：求函数,=一/一2%+3的零点，并指出y>0,y=0时，x的取值范围.

解：由一X?—2x+3=0得，芯=-3,巧=1

，函数^=一/一2%+3的零点为-3,1.

y=—Y—2x+3=—(x+l)?+4,画出图象，

由图象观察可得：当一3<x<l时，y>0

当x<-3或x>l时，y<0,.,.函数的零点为-3,1

y〉0时，x的取值范围是(一3,1)

y<0时，x的取值范围是(一。。,-3)0(1,+8).3

例题2：求函数,=丁-2--》+2的零点，并画出它的图象6

4

.X■'3—2,x2—x+2=尤2(彳_2)_(彳_2)

=(x-2)(%2-1)

=(x-2)(x-l)(x+l)

...函数的零点为T,1,2

三个零点把x轴分成四个区间:(―0,-“,[-1,1],[1,2],也

列表一描点f连线

X・・・-1.5-1-0.500.511.522.5

y-4.301.8821.130-0.602.63•••

83

说明：求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解，而作它的图象，可先由零点分析

出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点。

因式分解的方法主要有：提取公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等.

［师生互动］

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机画函数的图象，结合图象对函

数有一个零点形成直观的认识.

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单

调性判断零点的个数.

设计意图：体现零点存在的判定思想，让学生自己动手做数学，玩数学，体会数学，感

受成功，在这些综合性、趣味性强的练习中，充分体现了尝试教学和愉快教学。

六、尝试练习

1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

(1)-%2+3%+5=0；

(2)2Mx-2)=-3；

(3)—9=x~-6x；

(4)5x2+2x=3x2+5

2.求出下列函数的零点，并画出函数的草图：

(1)f(x)——x，—3x+3；

(2)y=x(x—l)(x—2)；

(3)y=(x-l)(x+l>(x+3)；

(4)/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

［师生互动］

师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数，并

再次明确学习目标

生：认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用，并

总结出确定函数零点的一般步骤。

设计意图：拓展学生思维，培养思考能力，突出数形结合的思想。

七、作业反馈

I.教材'练习A第1、2题；

2.求下列函数的零点：

(1)y———x~+x+30；

(2)f(x)=(x2-2)(x2-3x+2).

《方程的根与函数的零点》学情分析

一、学生具备必要的知识与心理基础.

学生已经学习了函数的概念，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解,

这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.方程是初中数学的

重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而

学生具备心理与情感基础.

二、学生缺乏函数与方程联系的观点.

高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表

现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位.例如一元二次方程根的

分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点

的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务.

三、直观体验与准确理解定理的矛盾.

从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难.而用函数来确定方程根的个数和大致

范围，则需要适应.换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案

例中操作感知，通过更多的举例来验证.

定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连

续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入.这就要求教师引导

学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适

用范围.

《方程的根与函数的零点》效果分析

本节课利用一元一次方程、一元二次方程、指数方程及其相应的函数的关系来引入函

数零点的。可以让学生在原有函数的认知基础上，理解了简单的函数零点，再利用简单的视

频引入定理，激发他们的兴趣。由简入深。由易到难，符合学生的认知过程。在教学过程中

注重学生的主体地位，积极调动学生的活动，发挥学生的主动性。在教学的设计上，讲练结

合，注重数学思想的点拨。让学生充分体会函数与方程的思想以及数形结合的思想在解决数

学问题中的重要性。

通过本节课的学习，学生基本掌握了求函数零点的方法：图象法和方程法。但是对于成

绩较好的学生可以很轻松的将方程根的问题转化成两个函数的交点问题，程度一般的学生这

个转化有点难。但是基础的方程的根与函数零点的转化掌握很好！

《方程的根与函数的零点》教材分析

一、地位与作用

1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注的热点.

2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的

根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上

存在零点的判定方法;是培养学生“化归与转化思想”、“数形结合思想”、“函数与方程

思想”的优质载体.

3、本节课为下节”二分法求方程的近似解”和后续的“算法学习”提供了基础，具有承

前启后的作用.

二、教材重点：

基于上述分析，确定本节课的重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间

的联系，掌握函数零点存在性的判断.

三、教材难点：

基于上述分析，确定本节课的难点是：发现和理解方程的根与函数零点的关系，探究发现函

数存在零点的方法。

第三章函数与方程

3.1.1方程的根与函数零点

测试题

知识点一：函数零点的判断

a

1.已知X=-1是函数f(x)=Tb(aAO)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()

x

人.-1或1B.0或-1C.1或0D.2或1

2x—1,xE[0,+8),

2.(2015・大连高一检测)设函数「6)"2“八、又g(x)=f(x)T,则函数

(X2-4,xe(-OO,o),

g(x)的零点是()

A.1B.±v'5C.1,-V5D.1,v5

3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(aWO)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()

11

A.1,2B.-1,-2C.1,~~D.-1,一

22

4.函数y=(x—2)(x—3)—12的零点为.

x-1

5.若凡0=—1,则函数y=/(4x)-x的零点是.

6.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.

知识点2函数零点个数的判定

7.函数f(x)=X2+X+3的零点的个数是()

A.0B.1C.2D,3

8.已知函数y=/(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：

X123456

y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88

则函数)，=兀0在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个

C.4个D.5个

9.(2015・日照高一检测)二次函数y=ax2+bx+c(a¥0)中,ac〈0,则函数的零点个数是()

A.1B.2C.0D.无法确定

10.偶函数f(x)在区间［0,a］(a>0)上是单调函数,且f(0).f(a)<0,则方程f(x)=0在区间

La,a］内根的个数是()

A.3个B.2个C.1个D.0个

2

11.已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的零点为xbx2(xi<x2),函数f'(x)的最小值为yo,且

则函数y=f(f(x))的零点个数是()

A.3B.4C.3或4D.2或3

知识点3函数零点的应用

12.函数丫=炉一所+1有二重零点，则〃的值为()

A.2B.—2

C.±2D.不存在

13.已知二次函数y=7U)满足_/(3+x)=y(3—x),且y(x)=O有两个实根XI、及，则为+及等

于()

A.0B.3

C.6D.不确定

14.若函数f(x)=ax2-x-l仅有一个零点，则实数a的取值范围是.

15.(2015•郑州高一检测)已知函数f(x)=x?+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中xGR,a,b为常数,则

方程f(ax+b)=0的解集为.

1og3x,x>0,

16.(2015•东营高一检测)已知函数r(x)=(1)X则满足方程「(a)=1的所有的a的

x<0,

值为.

2

17.已知函数f(x)=x+ax+b(a,bCR)的值域为［0,+oo),若关于x的方程f(x)=c

(cWR)有两个实根m,m+6,则实数c的值为.

18.若方程x2+(k-2)x+2k-l=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取

值范围.

【参考答案】

a

1.【解析】选C.因为x=-1是函数千(x)=fb(a手0)的一个零点，所以-a+b=0,所以"b.所以

g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a=#0),令g(x)=0,得x=0或x=1.

2.【解析】选C.当x》0时，g(x)=f(x)T=2x-2,令g(x)=0,得x=1;

当x<0时，g(x)=x2-4T=x2-5,令g(x)=0,得x=±\'5(正值舍去),

所以x=-p5,所以g(x)的零点为1,-V5.

3.【解析】选C.方程ax?+bx+c=0(a手0)有两个实根1,2,

1+2=bc

则a所以_=_3,-=2,

1X2=-,aa

a

/c7b

于是f(x)=cx=bx+a=a(-X，H--X+1(2X2-3X+1)=a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点

\aa

1

是1,一.

2

4.【解析】jux2—5x—6=(x+l)(x—6),令y=0,解方程(x+l)(x—6)=0得x1=-1,xi

=6,所以函数的零点为一1,6.

【答案】一1,6

犬—

5.【解析】-：^x)=4-71-,4：1.—-T1—=x,解得x1=；,.•.零点为1今

【答案】\

6.【解析】由题意知2a+b=0,即b=-2a.

Q1

令g(x)=bx2-ax=o,得x=0或x=—=―.

b2

,1

答案：0或--

2

7.【解析】选A.令x?+x+3=0,A=1-12=-11<0,

所以方程无实数根，故函数f(x)=x?+x+3无零点.

8.【解析】•.求2)•贝3)<0,<3)*4)<0,式4M5)<0,

,至少有3个零点，分别在［2,3］,(3,4］,(4,5］上，故选B.

【答案】B

9.【解析】选B.因为ac<0,所以△=b2-4ac>0,

所以该函数一定有两个零点.

10.【解析】选B.由函数的单调性可知：函数在区间［0,a］上有且只有一个零点，

设零点为x,因为函数是偶函数，所以f(-x)=f(x)=0,

故其在对称区间［-a,0］上也有唯一零点，

11.【解析】选D.由f(f(x))=0,可得f(x)=xi或f(x)=xz.

因为函数f(x)的最小值yoW［xi,X2),且xi<x2,故当yo>xi时，方程f(x)=xi无解，f(x)=xz有两解,

故此时函数y=f(f(x))有两个零点.

当yo=xt时，方程f(x)=xt有一解,f(x)=X2有两解，故此时函数y=f(f(x))有三个零点.

12.【解析】,・•)，=/一公+1有二重零点，.,・/=按一4=0,即人=±2,故选C.

【答案】C

13.【解析】由题意，二次函数的对称轴为x=3,由二次函数的对称性知：x\+x2

=6,故选C.

【答案】C

14.【解析】①当a:0时,f(x)=-x-1是一次函数，显然仅有一个零点.

_1

②当a=#0时，A=1+4a=0,所以a=―.

4

1

综上知：a=0或a二--

1

答案：a=0或a=一

4

15.【解析】因为千(x)=x?+2x+a,

所以f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.

b2=9,

(b=-3,

则有＜2b=—6j即la=2.

■=2,

所以f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x-8x+5=0.

因为△=64-808,所以方程f(ax+b)=0无实根.

答案：。

16.【解析】当a>0时,有log3a=1,解得a=3>0,符合题意;

当aWO时，有(：)=1,解得a=0,符合题意，综上所述,a=0或a=3.

答案：0或3

a\2Q2

X+-J+b-y,

(2

因为函数f(x)的值域为［0,+8),

a2(a\2

所以b-j0,所以f(x)二(x+a).

又因为关于x的方程f(x)二c有两个实根m,m+6,

所以千(m)=c,f(m+6)=c,所以f(m)=f(m+6),

2

所以+；+6

(m+|)4(m+|))2(m+|