新人教高中【数学】必修第一册 课时作业1. 5 . 2 全称量词命题和存在量词命题的否定

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

【学习目标】1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正

确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点含量词的命题的否定

P㈱p结论

全称量词命题VxGM,夕(x)3xGM,糠0(x)全称量词命题的否定是存在量词命题

存在量词命题mxGM,0(x)VxCM,算夕(x)存在量词命题的否定是全称量词命题

-思考辨析判断正误

1.3x《M,p(x)与㈱p(x)的真假性相反.(V)

2.“任意xGR,/NO”的否定为xGR,x<0n.(V)

3.xGR,|x|=x"是假命题.(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、全称量词命题的否定

例1写出下列命题的否定.

⑴所有矩形都是平行四边形；

⑵每一个素数都是奇数；

(3)VxWR,x—2x+l>0.

解(1)存在一个矩形不是平行四边形；

⑵存在一个素数不是奇数；

(3)3xGR,x—2x+l〈0.

反思感悟全称量词命题0：Vx^M,p(x),它的否定㈱n3x^M,p^x),全称量词命

题的否定是存在量词命题.

跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)jO：不论0取何实数，方程£+〃£—1=0必有实根；

(2)p：VxGN,2，〉0.

解(1)㈱P：存在一个实数出使方程系十小―1=0没有实数根.因为该方程的判别式/

=〃2+4>0恒成立，故㈱。为假命题.

⑵㈱0：mXGN,2*WO.。为假命题.

二、存在量词命题的否定

例2写出下列命题的否定.

(1)有些四边形有外接圆；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)3xWR,f+l<0.

解(1)所有的四边形都没有外接圆；

(2)所有平行四边形都不是菱形；

⑶VxdR,f+lNO.

反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行

否定，可以结合命题的实际意义进行表述.

跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)3x,yez,使得弧+y=3.

解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都

不是正数”.由于I—2|=2,因此命题的否定为假命题.

(2)命题的否定：“7x,HZ,加叶/3”.

当x=0,y=3时，镜x+y=3,

二命题的否定是假命题.

三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用

例3对于任意实数x,不等式x?+4x—1〉加恒成立.求实数小的取值范围.

解令/=/+4X-1,xGR,

则尸(x+2)2—5,

因为VxWR,不等式,d+4x—1〉山恒成立，

所以只要冰一5即可.

所以所求必的取值范围是{引水一5}.

延伸探究

本例条件变为：“存在实数x,使不等式一V+4x—1>/有解"，求实数0的取值范围.

解令y=-V+4X—1,

因为y=~x+4x—l=—(x—2)?+3.

又因为mxGR,-/+4*一1〉〃有解，

所以只要加小于函数的最大值即可，

所以所求0的取值范围是{同欣3}.

反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称量词命题“VxG弘a〉y(或a〈力”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，

通常转化为求函数y的最大值（或最小值），即a>jU或a<%n）.

⑵对于存在量词命题'勺x^M,a〉y（或a<y）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，

通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即。>无”（或a<jw）.

跟踪训练3若命题夕：3x£R,f+Zx+aWO是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.己21B.a>lC.a<lD.aWl

答案D

解析命题夕：三x£R,/+2X+HW0是真命题，则/20,即aWl.故选D.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.命题“VxGR,3+第三0”的否定是（）

A.VxdR,|x\+x<0

B.Vx^R,Ixl+fWO

C.3xGR,|x\+/<0

D.3xGR,|x\+/20

答案C

解析条件VxGR的否定是mxGR,结论“Ixl+f/o”的否定是“|x|+f<0”.

2.命题“存在实数x,使x>l”的否定是（）

A.对任意实数x,都有x〉l

B.不存在实数x,使xWl

C.对任意实数x,都有xWl

D.存在实数x,使xWl

答案C

解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.

“存在实数X,使x〉l”的否定是“对任意实数X,都有xWl”.故选C.

3.关于命题9"VxGR,f+IWO”的叙述，正确的是（）

A.辘>p：2xWR,f+1。0

B.p：VxdR,Y+1=O

C.。是真命题，㈱。是假命题

D."是假命题，㈱。是真命题

答案C

解析命题"“VxGR,V+1W0”的否定是xGR,x+l=O".所以0是真命题，㈱

P是假命题.

4.命题“同位角相等”的否定为.

答案有的同位角不相等

解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等.

5.命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：.

答案所有的三角形都不是直角三角形

解析命题：”有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照

存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）全称量词命题、存在量词命题的否定.

⑵命题真假的判断.

2.方法归纳：转化思想.

3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.若p：VxGR,x|Wl,贝|()

A.辘ip；3xGR,x|>l

B.糠p：YxCR,X>1

C.懒p：2xdR,

D.糠p：YxWR,

答案A

解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，VxGR,|x|Wl的否定为：3xGR,

x|>1,故选A.

2.命题“Vx>0,都有/一不+3/0”的否定（）

A.3x>0,使得/一不+3（0

B.3x>0,使得/-^+3>0

C.Vx>0,都有f-x+3>0

D.VxWO,都有f—x+3>0

答案B

解析命题“Vx〉O,都有£-x+3W0”的否定是：3x>0,使得f-x+3>0.

3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案B

解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有

理数”，故选B.

4.命题0：VxGN,x'>/的否定形式㈱0为（）

A.VxGN,x3W/B.3xCN,xyx

C.3x^N,x<xD.3xGN,x

答案D

解析命题p：VxGN,的否定形式是存在量词命题；

:.糠P：xdN,xWf”.

故选D.

5.已知命题"实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）

A.命题㈱。是真命题

B.命题0是存在量词命题

C.命题0是全称量词命题

D.命题。既不是全称量词命题也不是存在量词命题

答案C

解析命题口实数的平方是非负数，是真命题，故㈱。是假命题，命题。是全称量词命题,

故选C.

6.命题'勺xGN,X>1"的否定是.

答案VXGN,fwi

解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题'勺xGN,V〉l”的否

定为“VxCN,VWl”.

7.命题：3xGR,x—x+l=O的否定是.

答案VxGR,x?—x+lWO.

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以mxWR,x—x+l=O的否定是：VxdR,x—x+lWO.

8.命题“任意一个xGR,都有£—2x+4W0”的否定是.

答案存在xWR,使得2x+4>0

解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在xGR,使得

步一2了+4〉0.

9.写出下列命题的否定，并判断它们的真假.

⑴VxGR,/>0；

(2)3xGR,/=1；

(3)2xdR,或是方程3x+2=0的根；

(4)等腰梯形的对角线垂直.

解(1)命题的否定：mxGR,使fwo,因为才=0时，02=0,所以命题的否定为真.

(2)命题的否定：VxGR,使

因为x=l时，/=1,所以命题的否定为假.

(3)命题的否定：VxeR,x不是方程x—3x+2=0的根，因为x=1时，:一3X1+2=0,

即x=l为方程的根，所以命题的否定为假.

(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题.

10.命题。是“对某些实数x,若x—a>0,则x—6W0”，其中a,b是常数.

⑴写出命题。的否定；

⑵当a,力满足什么条件时，命题。的否定为真？

解(1)命题p的否定：对任意实数x,若x—a>0,则x—6>0.

(2)£Wa.

%综合运用

11.下列命题的否定是真命题的是()

A.三角形角平分线上的点到两边的距离相等

B.所有平行四边形都不是菱形

C.任意两个等边三角形都是相似的

D.3是方程9=0的一个根

答案B

解析A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，

B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，

C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，

D的否定：3不是方程y―9=0的一个根，假命题，

故选B.

12.已知命题'勺xGR,使4系+(a—2)X+(WO"是假命题，则实数a的取值范围是()

A.a<0B.0WaW4

C.a》4D.0<a<4

答案D

解析:命题'勺x£R,使4/+0—2)x+：W0”是假命题，J命题“Vx£R,使4x+(a

—2)x+/0”是真命题，即判别式/=(a—2)2—4X4X-<0,即A=(a—2)2<4,则一2<a—

2<2,即0<a<4,故选D.

13.命题VxGR,x-x+3〉0的否定是,命题mxWR,£+1〈0的否定是.

答案2xGR,x—x+3W0VxGR,x~+l，O

14.已知命题p：任意xGR,y+2ax+a〉0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是

答案{a|aWO,或a三1}

解析若命题0为真命题，则=4a2—4a<0,

/.0<a<l,所以当"为假命题时，a的取值范围是aW