高中数学竞赛真题分类汇编 17 其它综合类竞赛题（学生版+解析版50题）

竞赛专题17其它综合类竞赛题

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2019•全国•高三竞赛）计算:£g（g）=.

2.（2019・全国•高三竞赛）设平1,2,3）/（2,4,1）,41«,5）,小4,4+1,3）是空间中体积为1

的一个四面体的四个顶点.则k=.

3.（2019•全国高三竞赛）给定函数/（x）=7TG（xVl）定函数f（x）与反函数尸（x）

交点的坐标为.

4.（2019•全国・高三竞赛）把函数了（力=等，的系数按其自然位置排成两行两列，记

（ab'

为二阶矩阵A=.其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

lcd;

af^x)+b。小++bd)

/(/(x))=的系数所组成的二阶矩阵

(x)+d(〃0+4)%+仅0+6/2)

/2I

a+abab+bd'bcab+bd

为A的平方,即A?=AxA=+观察二阶矩阵乘

、ac+cdbc+d2、ac+cdbc+d2

法的规律，写出A3=A?xA=如心中的元素%=.

5.（2018•江西♦高三竞赛）。、匕为正整数，满足则所有正整数对（〃，。）

ab2018

的个数为.

6.（2018・湖南•高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角

形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去

一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A“是第n次挖去的小三角形面积之和（如A是第1次挖去的中间小三角形面积，

4是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和

的值为.

边长为1的原等边三角形第一次第二次

7.（2018・湖南•高三竞赛）己知n为正整数，若〃：+3〃-10是一个既约分数,那么这个

n+6n-16

分数的值等于.

8.（2019・全国•高三竞赛）设Z为常数.若对一切x、ye（O,l）,有

/++FT-则实数k的取值范围是—.

fyxy

9.（2019•全国•高三竞赛）定义数列｛%｝：q=，+4（〃wM）,令4=（44+J•则与

的最大值为.

10.（2019・全国•高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形A3CO,其中，

AB=18,CD=6.若圆台的高为8,PQ是下底面与AB夹角为60。的直径，则异面直

线PC、。。所成角的余弦值为.

2x+y>4,

11.（2018•甘肃・高三竞赛）设苍丫满足,x-y21,若z=or+y只在点A（2,0）处取得最

x-2y<2.

小值，则实数。的取值范围是.

12.（2018.全国•高三竞赛）若函数y=/（x+l）的反函数为丫=尸'（》+1）,且

7（1）=3999,则满足/（"）=〃的最小正整数〃=.

13.（2018・全国•高三竞赛）方程4sinx（l+cosx）=3#的解集为.

（九7T1

14.（2018•全国•高三竞赛）已知一元二次方程

（tan26*+sec2+2（tan2^-sin2e）x-cos26=0有重根.则cos。的值是.

15.（2018・全国•高三竞赛）设〃x）定义在N+上，其值域B=N+，且对任意”eNf,

都有/（〃+1）>/（〃），及/（/（〃））=3〃.则〃10）+/。1）=.

16.（2018•全国•高三竞赛）已知/（x）=*+2x+l,存在实数f,使得当时，

〃x+/）Wx恒成立.则m的最大值是.

17.（2018・全国•高三竞赛）直角坐标平面上两曲线y=V与x=y围成的图形的面积为

18.（2019•全国•高三竞赛）已知关于x的方程/+（4-2010卜+。=0（4/0）的两根均为

整数.则实数。的值为.

19.（2021•全国•高三竞赛）若〃x）=1-2,2019丁-x4+丁-2,2020/+2x-J2019,

则/（V2O19+72020）的值为.

20.（2019•全国・高三竞赛）不等式的解集为.

21.（2019•全国•高三竞赛）已知函数），=V+6ax-a与x轴有两个不同的交点

（与⑼、5⑼，并且（1+肃+动一（-I-T&L3,则。的值是

22.（2019・全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2，+2/-5刈+*+>+%=0在平面直

角坐标系xS，中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上，且

|网=|丽|=1,则可.而=.

23.（2019•全国•高三竞赛）已知〃、b、c是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数〃，成立（a"+夕+c"『=2（++〃"+/"）.则〃=.

24.（2018・山东•高三竞赛）已知a,beZ,且a+b为方程x2+ax+6=0的一个根，则

b的最大可能值为.

x3+y3=26

25.（2018•贵州♦高三竞赛）方程组/〈的实数解为___________.

xy（x+y）=-6

26.（2018•全国•高三竞赛）已知a、£、/为方程5/-6/+7x-8=0的三个不同的

根，则⑷+a£+尸^（加+为+力（/+ya+a?）的值为.

27.（2018•全国•高三竞赛）使得方程f+ar+8a=0①只有整数解的实数。的个数为

28.（2018・全国•高三竞赛）某人排版一个三角形，该三角形有一个内角为60。,该角的两

边边长分别为X和9.这个人排版时错把长X的边排成长x+1,但发现其他两边的长度没

变.则x=.

29.（2018・全国•高三竞赛）已知/1（x）=x3-3/+3X在区间[a,/?[他＞〃）上的值域为

[a,b].则满足条件的区间[a,句为.

30.（2018・全国•高三竞赛）30!末尾最后一个不为零的数字为.

31.（2018•全国•高三竞赛）平面区域

S=，（x,y）x、ye0,—,Sin,x+sinx-siny+sin2y4之＞的面积等于

、‘L2」4]

32.（2018•上海•高二竞赛）分解因式：（孙+l）（x+l）（y+l）+^=.

33.（2021•全国♦高三竞赛）若一个分数:（〃，人均为正整数）化为小数后，小数部分

b

2

出现了连续的“2020”，例如9=0.020202L,就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二

小的可能值为.

二、双空题

34.（2018♦全国♦高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误.题目：

平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个

的最短边又是另一个三角形的最长边.证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，

可以得出15条边，记为4,生,…，阳.第二步，由于任何三点组成的都是'‘三边互不

相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设4＜的＜…＜。”.第三步，由于“任何三

点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则6、

生、4组成的三角形的最长边4,也是。3、%、为组成的三角形的最短边，命题得证.

这三步中，第步有错误，理由是.

三、解答题

35.（2019•全国•高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C,其起始位置分别

为4（4,6）、Bo（-V5-2,-^5-3）,C0（6+A/5,9+^5）,首先，A以B为中心跳到其对称

点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点

上，.…依此类推.设A、B、C第n次跳到的位置分别为A,,、B,、C„,必―

的三边长分别为a、b、c,面积为S.证明：/+从+/＞300x17237$

36.（2019•全国•高三竞赛）设异面直线〃、6成60。角，它们的公垂线段为E尸，且

但同=2,线段A3的长为4,两端点A、B分别在〃、方上移动.求线段AB中点P的轨

迹方程.

37.（2018♦全国•高三竞赛）求所有三次多项式P（x）,使得对一切x、y>0,均有

P（x+y）NP（x）+P（y）.

38.（2018・全国•高三竞赛）已知多项式

/（x）=2ar4+（2-7a）x3+（5«-3）x2+（1l-7a）x+3«-5,其中，。为实数.证明：对任

意的实数。，方程/（力=0总有一个相同的实数根.

39.（2018.全国•高三竞赛）给定正整数〃，求M，其中，国表示不超过实数x的

最大整数.

40.（2018•全国•高三竞赛）试求所有的正整数〃及实数xxw一，使得

〃tanx+右与cotx+6均为有理数.

3333

41.（2018•全国高三竞赛）实数Z』=W>，=Z1=i满足工k上—，试求

/=1i=lr=lX/=］玉+玉々壬3

4="1=1，2,3)的值.

a=ib+c,

42.（2018・全国•高三竞赛）已知非零实数。、匕、C、什茜足，

%=c(l+f+r).

（1）求证：二次方程c/+ce-2c）x-92+c2）（b-c）=0①必有实根，且2c—是

方程的一个实根；

（2）当a=15,b=7时，求c、t.

43.（2018・全国•高三竞赛）设。、b为复数，OWpWl.求证：\a+b\p<\a\p+\h\p.

44.（2019・全国•高三竞赛）已知非常数的整系数多项式/（x）满足

（丁+4/+以+3）/"）=03—2Y+2x—l）f（x+l）.①正明：对所有正整数〃（〃28）,

/（〃）至少有五个不同的质因数.

45.（2019・贵州•高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方

体，上面分别有一到六个洞（或数字），其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面

骰，只能产生六个数之一（正上面）.现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产

生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子

吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.

46.（2019•全国•高三竞赛）设二元函数z=〃x,y）=2x2+3y2-6），的定义域是

£>=|（x,y）|3x2+2/47町,R}.

（1）求z=/（x,y）（点（x,y）wD）的取值范围；

（2）求所有的实数。，使得在空间直角坐标系。-盯z中，曲面z=/（x,y）（点

（x,y）eD）与另一个曲面z=Ay+a（x、yeR）相交.

47.（2019•全国•高三竞赛）设直线与函数y=x4-f+x的图像恰有两个不同的公共

点.求出所有这样的直线方程.

48.（2018•全国♦高三竞赛）已知X”马…,5为实数，且|%已1,对x={l,2,…,〃}的子集

A={id，…/；},定义S（A）=x,；+%+…+%.其中，规定5（0）=0,问：从n个这样的

和中至多可以选出多少个，使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?

49.（2018・全国•高三竞赛）（1）若正整数n可以表示成a〃（a、〃之2））的形

式，则称n为“好数”.试求与2的正整数次鬲相邻的所有好数.（2）试求不定方程

|2。3>&5=|=1的所有非负整数解（x,y,z）.

50.（2018•全国•高三竞赛）在9x9的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一

块由4个方格构成的2x2区域，其中由至少3个方格被染成红色.

竞赛专题17其它综合类竞赛题

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2019•全国•高三竞赛）计算:上［岳

【答案】；［侍T'T

n+\\\2）

【解析】

【详解】

注意到，£C,R=（1+X）".

&=0

两边积分得

”11

Z2C^xkdx=2（1+x）"dx

*=*>（）0

故答案为一彳-1

M+1<2）

2.（2019・全国•高三竞赛）设片（1,2,3）,坐2,4,1）,4（1«,5）,小4«+1,3）是空间中体积为1

的一个四面体的四个顶点.则k=.

【答案】-2或1.

【解析】

【详解】

四面体体积为n|6（"2）-2（07）|=6

n2=1

。〃+］=J4"-a：（n..0,neN）或-2.

故答案为-2或1.

3.（2019.全国•高三竞赛）给定函数〃x）=a^（x41）.则函数"X）与反函数尸（x）

交点的坐标为.

'-i+石-i+VT

【答案】（1,0）,（0,1）,

22

【解析】

【详解】

〃x)=VT，(x41)的反函数为尸(x)=l—d(xN0).

y=Jl-x,①

联立方程

y=l-x2,②

由式①得y4=I—2x+d=2(l_x)_(l—/).

把式①、②代入上式，得y4=2y2-y,即(/一/)-(丁-y)=0,

于是，y(y-D(y2+y_[)=o

解得y=。，&=1：%=1，匕=。；

-1+石（舍去负值），£=1+>.

%=

2

,-I+君-1+⑹

故答案为（1,0）,（0,1）,

-2_­，-2-

4.（2019•全国•高三竞赛）把函数=的系数按其自然位置排成两行两列，记

（b、

为二阶矩阵A弋；.其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

4(力+力

〃〃x))=的系数所组成的二阶矩阵

cf[x)+d(ac+cdjx+^c+d?)

(cr+ahab+bd(cr+bcab+bd、

为A的平方，即A?=AxA=.观察二阶矩阵乘

<ac+cdbc+d2,<ac+cdbc+d1

法的规律，写出A3=A?xA=如外中的元素物=

a227

【答案】a2c+acd+be2+cd2

【解析】

【详解】

根据二阶矩阵乘法的规律，知6=%42中的为应是］中第i行的元素分别乘以

022J

A中第j列对应元素的代数和，贝I」%]={ac-vcd^a+(bc+d2^c=a2c+acd+bc2+cd2.

故答案为a%+acd+he2+cd2

5.（2018•江西•高三竞赛）“、b为正整数，满足则所有正整数对（。力）

ab2018

的个数为.

【答案】4

【解析】

【详解】

山!一!=—^―,知14a<2（）18,且nZ?+2（）18a-2（）l助=（）,

ab2018

于是（2018-a）（2018+6）=20182=22.10092,

ffi]0<2018-a<2018,2018+Z?>2018.

因1009为质数，数2，10092所有可能的分解式为

2

lx2018,2X（2X10092）,4X1009，1009X（4X1009）.

其中每一个分解式对应于（。力）的一个解，故其解的个数为4.

故答案为4

6.（2018・湖南•高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角

形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去

一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A”是第n次挖去的小三角形面积之和（如A是第1次挖去的中间小三角形面积，

4是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和

的值为.

【解析】

【详解】

原正三角形的面积为半，而第k次一共挖去3*T个小二角形，因止匕,

可以采用等比级数求和公式，得到答案为

,⑶"

故答案为邻-图”

7.（2018•湖南•高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数,那么这个

/?"+6/?-16

分数的值等于.

Q

【答案】言

【解析】

【详解】

因为2A小=4―。。，当〃一2=土1时，若（〃+8,zt+5）=〃+5,3=1,则

〃:+3〃-10是一个既约分数，故当”=3时，该分数是既约分数.

〃~一6〃一16

Q

所以这个分数为

故答案为A

8.（2019・全国•高三竞赛）设左为常数.若对一切x、ye（0,1）,有

x*+/_^/<J_+J___L_r则实数4的取值范围是—.

xyxy

【答案】（9,0].

【解析】

【详解】

注意到八yJR0++-力=（1"[1

<=>xA/>1<=>A:<0.

故答案为（f，。]

9.（2019•全国♦高三竞赛）定义数列｛%｝：为=〃3+4（〃€乂），令4=（q,%）.则4

的最大值为.

【答案】433.

【解析】

【详解】

由d/(/+4，(〃+l)3+4),知",,|("+4,3/+3〃+1).

32

贝!]dn|[-3(n+4)+n(3n+3n+1)],

且d/(3〃2+3〃+1)n4伽2+〃-12,3n2+3〃+1)

n4|(2〃+13,3/+3〃+1)ndj(2〃+13,33〃-2)

ndn|[-2(33〃-2)+33(2〃+13)]nd/433.

所以，&LM433-

易知，(%IO，％II)=433.

从而，(4)皿=433.

故答案为433

10.(2019•全国♦高三竞赛)如图，设圆台的轴截面为等腰梯形其中,

48=18,8=6.若圆台的高为8,R2是下底面与A8夹角为60。的直径，则异面直

线PC、。。所成角的余弦值为

【解析】

【详解】

如图，设异面直线PC、。。所成角为a,向量无、丽的夹角为6,以下底面中心

。为原点、A5所在宜线为了轴建立空间直角坐标系.

(Q、(a9出

则。(3,0,8)、£>(-3,0,8),。子早，°、Q\"2~2，0

因此PT•5=1.

nij|pc|=Vi27,|eo|=Vi27,

故cos(9=4.

127

从而，cosa=cosO=.

2x+y>4,

11.(2018・甘肃・高三竞赛)设x,y满足.x-yNl,若z=or+y只在点A(2,0)处取得最

x-2y<2.

小值，则实数。的取值范围是.

【答案】——<o<2

2

【解析】

【详解】

画出平面区域如下：

由数形结合可得-2<-"g,即-g<a<2.

12.(2018•全国•高三竞赛)若函数y=/(x+l)的反函数为y=/T(x+l),且

/⑴=3999,则满足/(〃)=〃的最小正整数〃=

【答案】2000

【解析】

【详解】

由条件得r'(x+l)-/-'(x)=-l,1=尸(3999).

从而，尸（3999）-尸（3998）=-1,尸（3998）-尸（3997）=-1,

相加得l-/T(G)=々-3999n/T(A)=4(XX)-An〃4000—Z)=A.

令4000-4=0.则％=2000.

13.(2018・全国•高三竞赛)方程4加犬(1+3同=36的解集为.

【答案】x=2E+W(%eZ)

【解析】

【详解】

原方程两边平方得27=I6sin2x(l+cosx)2=16(1-cos2x)(1+2cos.r+COS2JC)

n16cos4x+32COS3X-32cosx+11=0

=>(2cosx-1)-(4COS2X+12cosx+11)=0

=>cosx=^=>x=2E+g(ZeZ).

14.(2018•全国•高三竞赛)已知。一元二次方程

(tan2，+sec?0^x2+2(tan2，一sin?6)太一©0§2，=0有重根.贝!]005。的值是.

【答案］

【解析】

【详解】

由于方程有重根，故△=0,即卜an?，-sin2/9）+cos26（tan?，4-sec?，）=0.

设d=cos?，.则

（号+d-lj+（2八1）（一+£|=0.

故（屋-3d+l）-=0,

解得〃=三5.

2

因此，cos9=J'.

15.（2018・全国•高三竞赛）设/（x）定义在N,上，其值域B=N+，且对任意〃eN卡,

都有""+1)>〃〃)，及〃/(“))=3〃.贝厅(10)+〃11)=.

【答案】39

【解析】

【详解】

由/(〃1))=3,知/(/(/⑴))=/(3).

若/⑴=1,贝1」3=/(〃1))=〃1)=1,矛盾.

因此，2</(1)</(2)</(/(1))=3.

则/⑵=3,/(1)=2,/(3)=/(/(2))=6,/(6)=/(/(3))=9.

又6=〃3)</(4)</(5)<〃6)=9,故*4)=7,/(5)=8,/(7)=/(/(4))=12,

/(12)=/(/(7))=21,

因为〃9)=〃〃6))=18,18=/(9)<〃10)<〃11)<〃12)=21,所以,

/(10)=19,/(H)=20.

因此，/(10)+/(11)=39.

16.(2018・全国•高三竞赛)已知/(x)=V+2x+l,存在实数r,使得当xe[l,何时，

/(x+f)Mx恒成立.则〃?的最大值是.

【答案】4

【解析】

【详解】

把/(X)的图像向右平移T个单位，数形结合得加的最大值是J),=/(x+o两个交点横

坐标的较大者.

由解得，=-1"=一3.

再由〃x-3)=x,得x=l(舍去)，x-4.

故机的最大值是4.

17.(2018.全国•高三竞赛)直角坐标平面上两曲线y=V与x=V围成的图形的面积为

【答案】1.

【解析】

【详解】

因为两曲线分别关于原点对•称，从而，只需计算两曲线在第一象限围成的图形的面积

A.

当X>1时:x3>A/X；当0cx<1时，x3<\/x,

所以，两曲线在第一象限有唯一的交点(1,1).

又A=j(盯-丁)公所以，两曲线围成的图形的面积为

o144J442

24=1.

18.(2019・全国•高三竞赛)已知关于x的方程f+(a-2010)x+a=0(aH0)的两根均为

整数.则实数。的值为.

【答案】4024

【解析】

【详解】

设方程的根为阳、x,(x,<x2).

由韦达定理得药+电=-(。-2010),xtx2=a.则XiXp+Xi+x?=2010,即

(%+1)(々+1)=2011.

(x=0,(x.=-2012,

又因为2011为质数，所以，\或/.故a=0(舍)或a=4024.

[x2=2010[x2=-2.

19.(2021•全国•高三竞赛)若f(x)=f-2,2019/-%4+/-2,2020。+2x--2019,

则7(^019+V2020)的值为.

【答案】V2020

【解析】

【分析】

【详解】

研究--2V2019x-1=0Wx2-2V2020x+1=0,

即(x—12019+j2020)(x-J2019-12020)=0

和(x-12020+J2019)(x-J2020-0019)=0.

因此毛=^^丽+^^5标两方程的公共根.

f(x)=x4(x2-2V2019x-1)+x(x2-2V2000x+1)+(x-V2019-V2020)+V2020,

故/(V20I9+72020)=A/2020.

故答案为：V2020.

3

20.(2019・全国•高三竞赛)不等式丁+0-的解集为.

【答案】｛0,1｝

【解析】

【详解】

令nm=y，则不等式化为V+y2=i,X3+/>1.

故04x?+V

-x2(x-l)+/(y-l)

=(l-y2)(x-l)+(l-x2)(y-l)

=-(y2-l)(x-l)-(x2-l)(y-l)

--(l-x)(l-y)(x+y+2).

因为1=》2+/2》2,所以国41.

同理，341.

故l±xN0,1土yNO,x+y+2*0.

若x+y+2=0,x+l=y+l=0,不满足/+/=1.因此，x+y+2>0.

于是,不等式化为(1一力(1一力40.

但1-xNO,l-y>o,

故(l-x)(l-y)=0.

解得(x,y)=(l,0),(0,1).

经检验，x=0或1都是原不等式的解.

故原不等式的解集为｛0」｝.

故答案为｛0,1｝

21.（2019•全国•高三竞赛）已知函数），=/+65-〃与x轴有两个不同的交点

（小。卜仁,。），并且（1+/（'）一（­）；1-6所％）=8",则”的值是

【答案】|

【解析】

【详解】

由△36/+44>0,得4>0或

根据题意知

y=x^+6ox-a=（x-xJ（x—七）

贝1］（1一百）（1+%）=/（—l）=l-7a,

（l-6a—天）（l-6a—毛）=/（l-6a）=l-7a

于是，—=8”3

1一7。

解得0或4=0（舍去）.

22.（2019・全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2/+29-5个+x+y+Z=0在平面直

角坐标系宜力中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上，且

|罔=|而|=1,则可.而=.

4

【答案】

【解析】

【详解】

由题设知，关于X、y的二次多项式2/+2,2-5町+x+y+Z=O可以分解为两个一次因

式的乘积.

因2x2+29一5孙=（-2x+y）（-x+2y）,

所以，2x2+2y2-5孙+x+y+Z=（-2x+y+a）（-x+2y+/?）,

其中，久6为待定的常数.

将上式展开后比较对应项的系数得

ah=k,—a—2h=l,h+2a=l.

解得。=1,8=-1/=-1.

再由一:'得两直线斜率为S=：,他=2,交点P（Ll）.

设两直线的夹角为夕（。为锐角）.则

八k,一h3八4

tan。=-----=—,cos6=—

1+k2K45,

故丽・丽=|PA|-|PB|cos。

或|PA“P81cos（180。_，）=±|尸川疗8k05，=土1.

4

故答案为士二

23.（2019・全国•高三竞赛）已知〃、b、。是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数〃，成立（优+/+巧2=2（/〃+卢+°2）则〃=.

【答案】4

【解析】

【详解】

设X=Q3，y=jy2fz=（：2f有

2n

0=2（〃2〃+b+）_（〃〃+夕+c"）2=2（/+y4+z4）_（%2+y2+z2J

=x4+j4+z4-2x^y2-2X2Z2-2y2z2

一(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y).(*)

不妨设c为斜边，贝ljz〉x,z>y.可知x+y+z>0,y+z-x>0,z+x-y>Q.

n

（*）式等价于2=》+儿即（q『+1•

另一方面，。2+〃=°2成立,或闫2+（：j=l.

因为0</<1,0<^<1,），=1）+0为单调减函数，仅在一个x点处取y=l,

因此，^n=2,”=4.

2

故答案为4

24.（2018・山东•高三竞赛）已知。，beZ,且a+6为方程d+ar+b=0的一个根，则

b的最大可能值为.

【答案】9

【解析】

【详解】

由题设(a+〃)2+a(a+b)+b=O,则2a2+3ab+b2+b=0.

因为a,beZ,则A=96-892+9="-86必为完全平方数.

设/-汕=〃PG〃eN),则(6-4)2-*=16,(6-4+/n)(ft-4-,n)=16.

b-4+m=S、b—4+m=4。-4+〃2=—2b—4+/n=-4

所以b_4-"?=2或,.”或人4f=-8或

。一4一〃z=4b-4-m=-4

解得6=9,8,-1,0.所以b的最大可能值为9.

x3+y3=26-一人，

25.（2018•贵州•高三竞赛）方程组/、火的实数解为.

孙（x+y）=-6

x=-lx=3

【答案】一或

y=T

【解析】

【详解】

33

x+y=26/.3__/、

因为Q(X+)，)=-6'所以(x+y>=x+y+3^(x+y)=26-18=8,

即x+y=2,代入孙(x+y)=-6,得个=-3.

x+y=2二或x=3

由

xy=-3y=-l

26.（2018•全国•高三竞赛）已知外夕、了为方程5——6/+7x—8=0的三个不同的

根，则（储+的+62乂夕+方+力（/+世+*的值为

1679

【答案】

~625

【解析】

【详解】

注意到,(«2+4+/2)(/72W+r2)(/2+ya+a2)=邛.-5：

\八八/5(a/)-:5(r/-a')

6仅2/2>7(”)6(仍-办7但力6(y2-a2)-7(/-a)

5(a/)5（尸力5(/-a)

_[6(a+/>7][6仍7)-7][6(y+a)-7]

53

6住小Mmw河7

记/(x)=5(x-«)(x-/?)(x-7)

则⑷+3+夕2)(夕+为+/)(/+侬+&2)='/(塞)=一嘿

27.(2018•全国•高三竞赛)使得方程/+6+8a=0①只有整数解的实数〃的个数为

【答案】8

【解析】

【详解】

设方程①有整数解，"、n("74").则m+〃=-a，""z=8a.

于是，(〃z+8)(n+8)=64♦

解得，

(/n,n)=(-72-9),(-4O,-lO),(-24,-12),(-16,-16),(-7,56),(-6,24),(-4,8),(O,O).

对应的a=-(利+〃)=81,50,36,32,T9,—18,-4,0,共8个.

28.(2018•全国・高三竞赛)某人排版一个三角形，该三角形有一个内角为60。,该角的两

边边长分别为x和9.这个人排版时错把长x的边排成长x+1,但发现其他两边的长度没

变.则x=.

【答案】4

【解析】

【详解】

由上2=COS60。,得x=4-

9

29.(2018•全国•高三竞赛)已知f(x)=d-3/+3x在区间[a,司(b>a)上的值域为

[a,b].则满足条件的区间[a,可为.

【答案】[0』，[0,2],[1,2]

【解析】

【详解】

有/(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2,知除x=l外，r(x)>0.

故/(x)在(fo,-H»)上为增函数.

依题意函数在x=a取最小值4，在x=b取最大值6,则/(a)=a,f0=b,

这表明。、b是方程/(x)=x的两个根.

注意到V—3d+3x=x=x(x-l)(x-2)=0.解得玉=0,x2=1,飞=2.

故所求的区间为[0』，[0,2],[1,2].

30.(2018.全国•高三竞赛)30!末尾最后一个不为零的数字为.

【答案】8

【解析】

【详解】

注意至l」30!=226x3"x57x74xl/xl32x17x19x23x29

则#=2^9”2x132x17x19x23x29

=219X3'4X74xl2x32x7x9x3x9(modl0).

301

因为34、7」模10均余1,且2碗模10余6,所以，需三2,三8(modlO)

31.(2018•全国・高三竞赛)平面区域

jr3

S=4(x,y)x、ye0,—,sir^x+sin无。由)，+$出2y<一5的面积等于.

2」4]

【答案】—

6

【解析】

【详解】

由2(sin2x-sinx-siny+sin2y)=2-2cos(x+y).cos(x-y)+cos(x+y)-cos(x-y)

3c(\1]「/\13

=5_2[cos(x+y)+5][cos(x_y)_5<-,

得cos(x+y)+；]{cos(x-y)-；>0,

2万2万

x+yv-px+yw-p

叫或《

71其面积为图-H4M=：

结合x、ye0,-,可得到如图的平面区域,

32.(2018・上