新教材人教A版高中数学 选择性必修第三册 同步试题 7

7.4二项分布与超几何分布

一、单选题

1,已知随机变量X服从二项分布8（6,；）,则P（X=2）（

)

3

243B'243C'243D.

16

【答案】A

【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解.

【解析】因为随机变量X服从二项分布X:8（6,；）,

所以P（X=2）=C；.

故选：A.

2.已知随机变量X〜8(〃,p),若。(X)=3,£(X)=4,则〃，〃分别为()

11

A.w=8,p=—B.〃=8,p=一

24

,3/1

C.H=16,p=—D.n=16,P=—

44

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.

【解析】•••随机变量x〜以%p）,o（x）=3,E（x）=4,

.,.£＞（%）=wp（l-p）=3,E（X）=〃p=4,

,,1

:.n=16,p=—.

4

故选：D.

3.下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（）

①某同学投篮的命中率为06他10次投篮中命中的次数J；

②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数4；

③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数4；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，自表示〃次抽取中出现次品的件数

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据二项分布的特征即可判断.

【解析】①满足独立重复试验的条件，是二项分布;

②《的取值是1,2,3…,〃，尸d)=0.9x0.1"|=，显然不符合二项分布的定义，因此自

不服从二项分布；

③虽然是有放回地摸球，但随机变量4的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后

一次是白球，不符合二项分布的定义：

④〃次试验是不独立的，因此。不服从二项分布.

所以只有1个服从二项分布.

故选：B.

4.某批零件的尺寸X服从正态分布且满足尸(x<9)=［,零件的尺寸与10的误差不超过1即

合格,从这批产品中抽取〃件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9,则n的最小值为()

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

9171

【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为g,由对立事件得

即(2〃+1)-(；)"<0.1,令/(〃)=(2〃+1)•(；)"(〃eN*),由/(»)的单调性可解得结果.

【解析】•.•万服从正态分布"(10,，)，且P(X<9)=,，

6

.•.P(94X411)=彳2，即每个零件合格的概率为2:

DJ

合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.

101

合格零件个数为零个或一个的概率为d•(?"+c：?•,

由c：-(1-r+c：01<o.1,得(2〃+i)-(11r<0.1,

令/(〃)=(2〃+l)g)"(〃eN*),

=，•,•〃”)单调递减，又/(5)<0］，/(4)>0.1,

J(n)6〃+3

不等式伽+1)•《)”<0.1的解集为{川〃…5,〃eN*}.〃的最小值为5.

故选：C.

1211

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得C>(3)〃+C3,(P〃T<0］，即

5.12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X表示参加竞赛的“三好

学生”的人数，则笔2■为()

A.P(X=6)

B.P(X=5)

C.P(X=3)

D.P(X=7)

【答案】C

【分析】根据X服从超几何分布直接得到答案.

【解析】由题意可知：随机变量X服从参数为N=12,M=5,〃=6的超几何分布.

由公式P(X=k)=Cf,易知等•表示的是X=3的取值概率.

CN。12

故选：C

C,WC,V-A/

【点睛】随机变量X服从参数为MM,n的超几何分布，则P(X=k)

£

6.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个

数，则X服从超几何分布，其参数为()

A.N=15,M=7,n=10

B.N=15,M=10,n=7

C.N=22,M=10,〃=7

D.N=22,M=7,〃=10

【答案】A

【分析】根据超几何分布概率模型可得选项.

【解析】根据超几何分布概率模型得N=15,M=7,〃=10,

故选：A.

7.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是三的事件为()

A.恰有1个是坏的B.4个全是好的

C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的

【答案】C

【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.

clc3

【解析】对于A,事件的概率为看

2

对于B,事件的概率为:§­=）；

CIO6

C2C23

对于c,事件的概率为■=•；；；；

go1U

对于D,事件的概率为.上—抹匕C；=].

Jo5u

故选C.

8.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为侪已知尸修=1）=或，且该产品

45

的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为（）

A.10%B.20%

C.30%D.40%

【答案】B

r1.r1

【解析】先根据P&=1）=二产*列式求出X,进而可求出次品率.

C|o

【解析】设10件产品中有x件次品,

则p（g=l）=隼屋_x（10-x）_16

-

a。一—45-45

所以x=2或8.

因为次品率不超过40%,所以x=2,

2

所以次品率为—=20%.

故选:B.

9.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便•现从中任意选取10个小镇，其中

C4c6

有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于号的是

^15

A.P（X=4）B.P（X<4）

C.P（X=6）D.P（XW6）

【答案】A

【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可.

【解析】X服从超几何分布，

因为有6个小镇不太方便，

所以从6个不方便小镇中取4个，

P(X=4)=泠

C15

故选A.

【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.

10.在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机

摸取一球，设摸得的白球个数为X,黑球个数匕则()

A.E(x)>E(y),D(x)>z)(y)B.E(x)=E(y),z)(x)>D(y)

C.E(X)>E(y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(y),O(X)=O(y)

【答案】c

【解析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是:它是黑球的概率是:，因此X~8(59,r-5(5,1),

由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论.

【解析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是:，它是黑球的概率是李，因此X~5(5,},y~5(5,1),

••E1VE(V<、X)=<5x4—2=0,EE(VYV)、=_5<x—3=15,

=4360…、u3460

=5x—x一=—,D(/)=5x—x一=—,

77497749

故选：C

【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键.变量则E(X)=〃0,

D(X)=np(l-p).

11.某人射击一发子弹的命中率为0.8,现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标

的子弹数〃的概率/(〃)如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是()

n01k19

1819

/(«)0.2”q'90.8'0.2£；0.8*0.2巾"0.8

A.14发B.15发C16发D.15或16发

【答案】D

【分析】设第左发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第左-1、晨左+1发子弹击中目标的概率,

进而可得/住+且/（左）2/（"1）,即可得关于A的不等式组，求解可得答案.

【解析】根据题意，设第A发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数”的概率

A,9

P（„=A：）=C19<0.8.0.2-*（%=0,1,2,L,19）,

则有/⑻”（％+1）且/㈤

19A+I8

ar,[C*-0.8*-0.2-*>C,V'-0.8-0.2'^妨

BP[C*.0,8t.0,2,9-*>C*-1-0.84-'.O.220-4,解可得匕女",

即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，

则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.

故选：D.

【点睛】本题考查〃次独立重复试验中发生人次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常

考题.

12.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出

个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为J个，则随着

的增加，下列说法正确的是（）

A.垮增加，增加B.带增加，减小

C.E&减小,增加D.减小，减小

【答案】C

【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出〃个球，含有红球个数X服从超几何分布，即万~“（6,3,〃）,

11

可得出EX=W，再从甲盒子里随机取一球，则J服从两点分布，所以EJ=P（J=l）=；+w土，

=1-尸传=1）=（-丁二，从而可判断出和。J的增减性.

【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出〃个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X〜”（6,3,〃）,

其中P（X=攵）=七一，其中左EN,k<3^k<nfEX

c662

故从甲盒中取球，相当于从含有］+1个红球的〃+1个球中取一球，取到红球个数为

n]

故尸*

n

随机变量J服从两点分布，所以七］二,代二1)=4+J।］，随着〃的增大，E&减小;

〃+122〃+2

小口-尸(9)］%=|)］-人，随着〃的增大，州增大.

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.

二、多选题

13.若随机变量X服从参数为4,(的二项分布，则()

A.P(X=1)=P(X=3)B,尸(X=2)=3尸(X=l)

C.P(X=4)=2P(X=0)D.P(X=3)=4P(X=1)

【答案】BD

【分析1根据二项分布中概率的计算公式P(X=%)=C：p*(l-p)"-«,左=0』,…/逐项验证即可。

【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式尸(X=幻=C：(|),%=0,1,2,3,4,

8

则尸(X=0)=C；£,P(X=1)=C；

o181

尸-2)=啸作一步*p-3)=C(|)[.|J32

8?

16

尸(X=4)=C：

8?

因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),因X=4)=16尸(3=0).

故选:BD.

14.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数"=3aM5(例如10100)其中/的各位数中

19

4(&=2,3,4,5)出现0的概率为g,出现1的概率为彳，记丫二的+%+为+生，则当程序运行一次时()

3°

Q

A.X服从二项分布B.P(X=\)=—

81

OQ

c.X的期望E(x)=]D.X的方差/(X)=§

【答案】ABC

【分析】推导出X~8(4,令，由此利用二项分布的性质能求出结果.

【解析】解：由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,

且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：

①后4个数出现0,X=0,记其概率为P(X=0)=(S=M

3o1

71Q

②后4个数位只出现1个1,X=l,记其概率为尸(X=l)=C(T)q)，=£；

33o1

7174

③后4位数位出现2个1,X=2,记其概率为

33o1

71D

④后4个数为上出现3个1,记其概率为尸(X=3)=《(：)"；)=氤，

33o1

7D

⑤后4个数为都出现1,X=4,记其概率为尸(X=4)=(：)，=3，

3o1

2

故X~B(4,p,故A正确；

71Q

又P(X=1)=《(§)(?;而，故B正确;

EW=4x|=|,故C正确；

•••X~8(45,的方差，(X)=4x|xgJ,故。错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

15.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了

了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项

目的人数如图所示：

0_________________________________________________________________

ABCDEFGHMN学校

若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在

30以上的学校个数，则（）

A.X的取值范围为{0,1,2,3}B.尸（X=0）=:

C.D.E（X）=-

【答案】BC

【分析】首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.

「0「21

【解析】X的取值范围为{0,1,2},了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，P（X=0）=三于=鼻,

A。J

尸（X=l）=警=2,尸（X=2）=等=2，所以E（X）=0xg+lx2+2x2=g

v✓tQIJlx］。

故选：BC.

16.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，

只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为L，第二轮检测不合

格的概率为"，两轮检测是否合格相互没有影响•若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售,

则每件产品亏损80元.己知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是（）

A.该产品能销售的概率为:

B.若《表示一箱产品中可以销售的件数，则自〜

O

C.若g表示一箱产品中可以销售的件数，则P4=3）=支

81

Q

D.P（X=-80）=—

【答案】ABD

【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A可判断，由题意可得4〜可判断选项B,

根据独立重复事件的概率问题可判断C,D选项.

【解析】选项A.该产品能销售的概率为故选项A正确.

选项B.由A可得每件产品能销售的概率为；

一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，故选项B正确.

选项C.由题意P值=3)=C；x(g)x；嗤，不选项C不正确.

选项D.由题意X=-80,即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售.

所以尸(X=-80)=C：图,J=2.，故选项口正确.

故选：ABD

三、填空题

17.设随机变量M艮从二项分布则函数次x)=N+4x+4存在零点的概率是.

【答案】三31

32

【分析】由存在零点结合判别式即可求出处4,由已知二项分布可求出尸仔44).

【解析】由函数外尸:自由+^存在零点，得/=16*420,即公4.又因为变量^〜8(5,g),

所以所求概率尸=1-尸管=5)=1-C；x［；］=..

故答案为:苏31.

【点睛】关键点睛：

本题关键是由存在零点求出4的取值范围，结合二项分布即可求出所求.

18.一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数/=%，%，%，％，其中A的各位数字中，6=1,

19

《"=2,3,4)出现0的概率为：，出现1的概率为若启动一次出现的数字为4=1010,则称这次试验成

功.若成功一次得2分，失败一次得-1分，则54次这样的重复试验的总得分X的方差为

【答案】岑

【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其方差的性质即求.

【解析】启动一次出现数字为/=1010的概率P=图诒，

设试验成功的次数为y,则丫~8（54，卷｝

225100

所以y的方差为D（y）=54xhbk

272727

易得总得分X=2丫-1x（54-丫）=3丫一54,所以£＞（X）=。（3丫-54）=9D（Y）=与.

故答案为：~~.

19.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，〃表示取到黑球的个数.给

出下列各项：

A9/\/Q

①E（x）=],£（7）=1;②E（X2）=E（〃）；③E（"2、）=E（X）；④D（X）=Q⑺=4.

其中正确的是.（填上所有正确项的序号）

【答案】①②④

【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.

【解析】由题意可知X服从超几何分布，〃也服从超几何分布.

.2x363x39

・・七（才）=飞一=1，£（//）=—^―=-

又X的分布列

X012

133

P

lo510

1339

—+px-+22x—=

105105

。⑶=颐晓）一囱切2=|一令2=总

〃的分布列为

n123

331

P

10510

3311R

:.E(7)=l2x—+22x-+32x—=—,

s105105

1899

。(〃)=凤〃2)—囱〃)]2=不一(《)2=石.

2

：.E(X)=E(n),O(X)=D(〃)，.,.①②④正确.

故答案为：①②④.

Cr-C"~r

20.若一个随机变量的分布列为尸&=厂）=、二"其中r=0,1,2,-,/,/=min（〃,M）则称4服从超几何分

CN

C“＜，口

布，记为N）并将PC=r)=记为则”(1;3,2/0)=

禺

7

【答案】-

【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.

【解析】根据题意，尸=1,〃=3,M=2,N=\0

.•.4（l;3,2,10）=P（"l）=爸之（

7

故答案为：—.

四、解答题

21.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数.求：

（1）求X的分布列；

（2）求E（X）.

【答案】（1）答案见解析

⑵双子=2

【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.

【解析】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为

所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数X:故

1iq

即尸(x=0)=而，p(x=i)=a，P(x=2)=w，

尸(X=3)=；,P(X=4)=2；

410

X的分布列如下:

X01234

1J_31

P

"16484l6

(2)QX：8(43,...E(X)=4x；=2

22.分别指出下列随机变量服从什么分布：

(1)即将出生的100个新生婴儿中,男婴的个数X；

(2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X.

【答案】(1)二项分布

(2)超几何分布

【分析】(1)利用二项分布的特征求解，(2)利用超几何分布特点求解

(1)

(1)X的可能取值为0,1,2,…100，且每个新生儿的性别相互独立，故男婴的个数X服从二项分布

(2)

(2)X的可能取值为0,1,2,L10,且是不放回抽样，故抽到男孩的个数为X服从超几何分布

23.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要

求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2

道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是且每题正确完成与否互不影响.

(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数〃的分布列及其期望.

【答案】(1《3

(2)分布列见解析,E⑺=2

【分析】⑴设甲正确完成面试的题数为则。的取值范围是{1,2,3}.然后求出尸(J=2)即可；

(2)设乙正确完成面试的题数为，7,则〃取值范围是{0」,2,3},求出〃取每个值时的概率，即可得分布列,

然后根据二项分布期望的求法求解即可.

【解析】(1)解：由题意得：

设甲正确完成面试的题数为则g的取值范围是{1,2,3}.p(g=2)=*=：；

(2)设乙正确完成面试的题数为〃，则〃取值范围是{0,1,2,3}.

「(”。)=。%J。何=1)=。陪卜[I]'=*

尸5=2)心(|卜口岩,P.=3)=C呜|吟.

应聘者乙正确完成题数〃的分布列为

70123

16128

P

27272727

2

,-.£(7)=3xy=2

24.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有

4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最

多分享一次，记第一次抽到女生为事件4第二次抽到男生为事件反

⑴求户⑻,P(B\A),

(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人

数为X,求X的分布列和数学期望.

a1

【答案】（l）P（8）=i,P{B\A）=-

12

（2）分布列见解析；期望为与

【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概

率运算求解;

（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.

【解析】（1）方法一：

由题意可得：尸（/）=：4

“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件“第一次抽到男生且第二次抽到男生''就是事件，8，从7

个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间。包含〃（Q）=A；=7x6=42个等可能的样本点，

因为〃(48)=A；xA；=4x3=12,“(48)=A；xA；=6,

n(AB}+n{AB12+63”,八n(AB\122

所以®-------=-,AAS)=\/­=-，

427、，10427

2

尸(/8)=r1

故P（川Z）=

P(Z)42

7

43323

方法二:-x-H--x—

76767

“在第…次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件4发生的条件下，事件8发生的概率，则

P(z)=g,P(4B)=H=g

2

P(4B)71

故尸（引4）=

叫)=交5

7

（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0,1,2,3,

c*c212

p(x=o)=cl=1「。=|)=罟=

C；3535

「。=2）=筹T，P（X=3）咯=',

X的分布列:

X0123

112184

P

35353535

X的数学期望E（X）=Ox/lx导2x导3x,争.

25.某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位

选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回

答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分.

（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；

（2）己知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论

答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题.记第〃次回

答的是甲的概率为七，若不=1.

①求尸2,Pa;

②证明：数列［匕为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.

【答案】（1）12

（2）①鸟=0,②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大

【分析】（1）设该选手答对的题目个数为已该选手在第一轮的得分为〃，可得〃=104，再写出J的所有

可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到自的分布列，并求出4的数学期望，从而可求得〃的数学期望;

（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为g；

②先根据题意建立《与。-的关系式，即可证明数列｛5-；）为等比数列，进而可得到陀,｝的通项公式，从

而可比较27,尸8.

【解析】（1）设该选手答对的题目个数为3该选手在第一轮的得分为〃，则〃=

易知4的所有可能取值为0,1,2,

则尸（八0）=**，

3

尸(4=1)=

5

噂=2）吟得，

故4的分布列为

012

133

P

10510

贝旧劣」'0+，1+2*2=9,

''105105

所以/〃）=10川3=12.

（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，.•.鸟=0,则〃=；.

②由第"次回答的是甲的概率为月，得当〃N2时，第n-l次回答的是甲的概率为七一第n-1次回答的不

是甲的概率为1-

贝1E,=与一「0+（1—与-）；=；（1一Ei），

•..3-；｝是以《为首项，T为公比的等比数歹。，

.•.第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.

26.某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否

满意，决定采取如下“随机化回答技术''进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两

次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式H回答问卷”.

方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“。”，否则画“X”；

方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“。”，否则画“x”.

当所有员工完成问卷调查后，统计画。，画X的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员

企业所有对新绩效方案满意的员工人数,lnno/

工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度=企业所有员工人数K0

（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式I回答问卷的人数，求X的数学期望;

（2）若该企业的所有调查问卷中，画“。”与画“X，，的比例为4：5,试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

【答案】（1）4

(2)40%.

【分析】（1）根据题意分析可得方式I回答问卷的人数X〜利用二项分布的期望的公式运算求

解；

（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解

【解析】（1）每次摸到白球的概率!，摸到黑球的概率为:，

JJ

714

每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率p=c；X：X；=],

由题意可得：该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数丫~8（91}

4

所以X的数学期望£（x）=9x§=4.

（2）记事件A为“按方式I回答问卷”，事件B为“按方式II回答问卷”，事件C为“在问卷中画。”.

由（1）知尸（/）=[,P⑻=1-尸⑷Pp）P（Cp）=P（/IC）=|xl=1.

44

•••Pc）=3=3,

''4+59

由全概率公式产仁）=尸（/）尸94+尸（8）尸（。忸），则[=£+沐平），解得尸仁忸）=1=0.4,

故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%.

27.北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十

三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全

部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行

转位试验等多项“首次为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了

航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小

明正确完成每道题的概率都是:且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道

4

题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参

加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.

【答案】(1)^^;

(2)分布列见解析；期望为3；

(3)小宇；理由见解析.

【分析】(1)求出小明完成3道题和4道题的概率之和；

(2)列出分布列，根据分布列计算概率；

(3)比较小明和小宇分别至少完成3道题的概率，根据概率大小决定谁去参加比赛.

(1)

记“小明至少正确完成其中3道题”为事件4贝U尸(N)=C：

(2)

X的可能取值为2,3,4.

P(X=2)C=2*c215_3

570

尸(丫=3)=青=404

707

Pd年r°C4153

J7014

X的分布列为:

X234

343

P

14714

343

数学期望E(X)=2X2+3X—+4X2=3.

14714

(3)

189

由(1)知，小明进入决赛的概率为P(4)==

256

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则尸(8)=々4+三3="11；

因为尸(8)＞尸(/),故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.

28.中国男子篮球职业联赛(CA4)始于1995年，至今己有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后,

要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：

一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球(前四个是普通球，最后一个球是花球)，前四

个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在

第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为。，且每次投篮是否命中相互独立.

(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X,求X的方差D(X)；

(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投