经济数学线性代数 习题答案 第4章 线性方程组

第4章线性方程组

习题全解

同步习题4.1

【基础题】

1.齐次线性方程组4X=O仅有零解的充要条件是（）.

A.系数矩阵A的行向量组线性无关B.系数矩阵A的列向量组线性无关

C.系数矩阵A的行向量组线性相关D.系数矩阵A的列向量组线性相关

解设A为朋X"矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是A的列向量组

的秩等于力，即系数矩阵A的列向量组线性无关，故应选B.

，123

21

2.设齐次线性方程组AX=0有非零解,A=，贝心=

-132

-21-M

(123、23、(\23、

210f一4-5011

解A->,若齐次线性方程组

-132055001+Z

1-21055,000>

AX=O有非零解,则/<A)v3,即1+7=0,解得1=一1,故应填一1.

3.如果五元线性方程组AX=0的同解方程组是］1”则有r(A)=,自

x2=0,

由未知量的个数为个，AX=0的基础解系有个解向量.

解方程组的系数矩阵进行初等行变换后可得

’13000、

01000

A-00000

则“A）=2,进而可知自由未知量的个数为3,且的基础解系有3个解向量.

4.要使。=（l,0,2）T，2=（0』,T）T都是线性方程组AX=0的解，只需要系数矩阵为

).

「01-P

20(~\02、

A.(-2,1,1)B.I).4-22

011JI01TJ

W1"

解A项对应的线性方程组为一2%+%2+%3=0,将A=(1，°，2)T，2=(°，1，T)T代入

方程组均成立.

B项对应的线性方程组为-%―七=°,将。=(1,0,2)T代入方程组，。=(1,0,2)T不

[x2+x,=O,

是+占=0的解，所以。=(1，0,2)丁4=(0,1，T)T不是方程组的解.

C项对应的线性方程组为卜％+2&=°，将。=(l,0,2)T&=(0,1,-1尸代入方程组,

[%2_工3=°，

方程均不成立，所以。=(l,0,2)T,5=(0』,一l)T不是方程组的解.

冗2—&二。，

D项对应的线性方程组为卜占-2X2+2毛=0,将。=(1,0,2)T代入方程组，3个方程

%+』=0,

均不成立，所以。=(1,0,2)’「&=(0,1,-1)'1"不是方程组的解，故应选A.

5.设A是“阶方阵，r(A)=n-3,且囚,电，打3是线性方程组AX=0的3个线性

无关的解向量，则AX=0的基础解系为().

A,。1+%,%+%，/B.%一见，%—%,%一%

C.2a2-at,^a3-a2,a,-a3D.Of]+CU2+—一%一2a3

解A,B,C,D中的解向量都是线性方程组AX=0的解向量，而B项中的3个解向量满足

(%-四)+(%-％)+(区一生)=°，故线性相关；C项中的3个解向量满足

(2a2—q)+2(—a2)+(%—。3)=0，故线性相关；D项中的3个解向量满足

(e+%+%)+(%一。2)+(一四一2a^=0,故线性相关；A项中的3个解向量是线性无

关的.所以，只有%+%，%+%，。3+%可作为口=0的基础解系，故应选A.

X,+x2+x5=0,

6.求齐次线性方程组的基础解系：xx+x1-xi=0,

x3+x4+x5=0.

解对系数矩阵A做初等行变换化为行最简形:

1100、1001、11001、

r3+r2

A=11-1()000-10-1T00101

(001,0011100010

-I\'0

同解方程组为《X3=_%5,自由未知量取了2，刍，令,得基础解系为

J

%=0,77

x,-x2+5X3-X4+X5=0,

%+*2-2七+3X4-x5=0,

7.求齐次线性方程组的基础解系和通解：1

3%一%+8尤3+/+2/=0,

%+3X2-9X3+7X4-3X5=0.

解对系数矩阵A做初等行变换化为行最简形:

1-15-11、r2-r\’1-15-11、’1-15-1

G-3/j丐一。

11-23-1，…02-74-2r「2r202-74-2

A=

3-181202-74-100001

13-97-3;<04-148-4/k000007

3

、(\-15-10、1010

-15-102

r\~r3I7

4+2。

02-74001-207

->T2->0120

0000I'1

0000

0000000001

0000

OJ00000>

3

无产一/七一％4，

7c、0

同解方程组为〈W=5七一2%,自由未知量取入3,%4,令(o,得基础解系

717

…0，

T

为4=(一■|,g,l,0,0)T,^2=(-1,-2,0,1,0),通解为cg|+C2$,其中为任意常数.

1212、

8.设A=()1tt，且方程组AX=0的基础解系中含有2个解向量，求AX=0

101J

的通解.

解对系数矩阵A做初等行变换化为行最简形:

(\0-1（）、

得1=1,此时A—011,同解方程组为I%=七'自由未知量取%3,％4,

%2二一七一%，

、()00

0、

令（0，得基础解系为4=（1,T,1,0）「*2=（°，T，°，1）T，通解为哨+‘2$，

17i

其中为任意常数.

【提高题】

1.设A=（他）“*“，且IA1=0,但A中某元素的代数余子式AgWO,则齐次线性方

程组AX=O的基础解系中所含向量的个数为（）.

A.1B.kC.ID.n

解由|A|二O可知齐次线性方程组AX=0有非零解，而A中某元素的代数余子式

4尸0,则说明“A）=〃一1，从而齐次线性方程组AX=0的基础解系中含有1个解向量,

故应选A.

2.设A为加x及矩阵，则对于齐次线性方程组AX=O,下列结论成立的是（）.

A.当加之〃时，方程组只有零解

B.当初V”时，方程组有非零解，且基础解系中含”个线性无关的解向量

C.若A有〃阶子式不为零，则方程组只有零解

D.若A所有的九一1阶子式不为零，则方程组只有零解

解对于齐次线性方程组AX=0,有以下结论成立:

(1)当r(A)="时，方程组有唯一解;

(2)当r(A)=rv〃时，方程组有无穷多解，其通解为喈+…+£_焉一，其

中相2,…自一为基础解系，CpC2,---,Cn_r为任意常数.

当mN〃时，r(A)可能大于〃，可能等于〃，也可能小于〃，故方程组可能无解，可

能只有零解，也可能有非零解.因此，A项结论不正确.

当mV”时，r(A)=r<n,方程组有非零解，但/*(A)不一定等于,”，故基础解系中

含〃一厂个线性无关的解向量，B项结论不正确.

若A所有的〃一1阶子式不为零，则“4)2〃-1.由于方程组在r(A)=〃时只有零解,

故当r(A)=〃-1时方程组有无穷多个解(此时其基础解系中只有1个解向量)，D项结论不

正确.

若A有”阶子式不为零，则r(A)=〃，从而方程组只有零解，C项成立，故应选C.

3.设7,%,%为线性方程组AX=O的一个基础解系，则下面也是该方程组基础解系

的是().

A.%,3%-%，-7-3%+2%B.7+2%+%闻+%,%+%

C.与外,彷，％等价的同维向量组名，&2，。3，%口.与7，%,%等价的同维向量组夕1，夕2，A3

解A项、B项的3个解向量都是线性相关的，不能作为基础解系；与吊,仿,小等价的

同维向量组可以作为该方程组的基础解系，其解向量的个数应为3个，因此C项不正确(事

实上C项中的向量组也是线性相关的).故应选D.

axx+bx?+bx3+---+bxn=0,

bx、+ax2+b%+・・・+Zzr〃=0,

4.设齐次线性方程组«其中a丰O,bwO,HN2.问：a,b

bx]+bx2+如+…+%=0,

为何值时，方程组仅有零解、有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表

示全部解.

ab•••b

ba•••b

解系数矩阵A的行列式为Ml=[a+(n-1)b](a-b)"-'

bb…a

当ApO时，即当a#匕且a*(l—时，方程组仅有零解;

当Q=力或4=(1—n)b时，方程组有无穷多解.

(1)当。=匕时，同解方程组为叫+©2+叼+…+研,=0，自由未知量取

*2,而，…，册,则方程组的基础解系为。=(T/,0,…,0)T,

&2=(T，°，L…，°)T，…，*[=(TQO,…,1)T，通解为cg|+C2f2,

其中0,。2,…,C,“为任意常数.

(1-n)hx}+bx2+Z?x3H---Fbxn=0,

x2",

(2)当°=(1一〃乃时,同解方程组为，%3=Xp自由未知量取

%，令X|=l,方程组的基础解系为J=(1,1,1,…,1)T,通解为芯，其中C为任意常数.

同步习题4.2

【基础题】

a1P‘再、(1、

1.设方程组1a1尤21有无穷多解，则”=

kX3J

11a-2

)/

解对增广矩阵A做初等行变换化为行最简形:

a11、n-ar201-a21-6;\-a002-a-a14+2〃

r3-r2“一(1+叽

1a11T1a11f111

11a—2,01-aa-\-30\-aa-\-3

/7

「0\-aa-\-3}(1a1

1a11f()\-aa-1-3

、002—a—cr4+2aJ(001-a-cr4+2%

因为方程组有无穷多解，所以r(A)=r(A)<3,从而2—“一〃=4+2。=0且1一。。0,

解得。=一2.

玉+*2=-a.

2,若线性方程组J々+七=/有解,

则常数4,%，％，％应满足条件

/+甚=_/

.5+玉=a4

解对方程组的增广矩阵A=(A/)做初等行变换化为行阶梯形:

41001100-ai

_011020110a

A=2

0011—。30011—%

J001a-—101q+%

'1100-4、‘1100-a1、

0110a0110a

f2—>2

0011一%0011-a3

、00114+。2+。4,、00006+4+03+04,

可见"A)=3,因为原方程组有解，所以r(A)=r(A)<3,故4+%+%+%=°・

3.非齐次线性方程组右=匕中未知量个数为”，方程个数为,“，系数矩阵A的秩为

/，则().

A..=,〃时，方程组AX=〃有解B.r=〃时，方程组AX=Z?有唯一解

C.,”=〃时，方程组4%=人有唯一解D.厂V”时，方程组AX=人有无穷多解

解对于非齐次线性方程组AX=),有以下结论成立.

(1)若r(A)wr(A),线性方程组AX=力无解;

(2)若r(A)=r(A)=n,线性方程组AX=h有唯一解；

(3)若r(A)=r(A)=r<n,线性方程组AX=h有无穷多解.

由题意知方程个数为切，则增广矩阵下的秩「㈤。以若"A)=m,则r(不=)，从

而r(A)=r(N),此时线性方程组AX=〃有解，A项是正确的.

但当厂=〃，，"=〃或〃v〃时，都不能保证r(A)=r(A),从而线性方程组AX=力不

一定有解.因此，B、C、D项均不成立.故应选A.

4.设A是〃,x〃矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX^h所对应的齐次线性方程组,

则下列结论正确的是().

A.若AX=O仅有零解，则AX=)有唯一解

B.若AV=O有非零解，则AX=b有无穷多解

C.若以=力有无穷多解，则AX=()有非零解

D.若有无穷多解，则AX=()只有零解

解方程组AX=)有解时，AX=O仅有零解是方程组AX=〃有唯一解的充要条件，

没有有解的前提，结论不成立.因此，A、B项不成立.若线性方程组AX=6SwO)有无穷

多解，则有「(入)=T(4)<”.由/(人)<〃知齐次线性方程组/1%=0有无穷多解，故有非零

解，因此，应选C.

5.设A是mx〃矩阵，非齐次线性方程组AX=〃有解的充分条件是().

A.r(A)=mB.A的行向量组线性相关

C.r(A)=nD.A的列向量组线性相关

解A是加X〃矩阵，若r(A)=m,则r(A)=r(A),从而非齐次线性方程组AX=b

有解.因此，r(A)=m是非齐次线性方程组AX=人有解的充分条件.

若A的行向量组或列向量组线性相关，则r(A)<m,从而r(A)与r(A)不一定相等，

非齐次线性方程组AX=匕不一定有解.同样地，由“A)=〃也不能判定r(A)与相

等.故应选A.

6.设”阶矩阵A的伴随矩阵A*M0,若。，$，刍，或是非齐次线性方程组AX=〃

的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组4X=0的基础解系().

A.不存在B.仅含1个非零解向量

C.含有2个线性无关的解向量D.含有3个线性无关的解向量

解由于A为"阶矩阵，"=人和旦=0含有”个未知数，于是，AX=O的基础解

〃，r(A)=n,

系含解向量的个数为〃一r(A).又r(A*)=«1,r(A)=〃一1,由于A*#0,于是厂(A)=〃

0,r(A)<71—1,

或r(A)=〃-1.又AX=匕有互不相等的解，即解不唯一，则“A)=〃一l,从而/1X=O

的基础解系中含解向量的个数为〃_"A)=1,故应选B.

%+5%一七一次4=T

%-2X2+X3+3X4=3,

求线性方程组«

7.Q,c-'i的通解.

3%+89-x3+x4=1,

为一9尤2+3x,+7%4=7

q5-1-1、15-1-1-1

1-2330-7244

解A二

38110-7244

—97

J770-144887

31312、

、0

q5-1-1-17TT

0-7244244

->01-

0000077-7

o0000

、000007

o0000>

r(A)=r(A)=2,力=4,因此,导出组的基础解系含2个解向量.此时，齐次同解方程组

313

X\=--X3--X4

一;*0/).又知非

为V解得基础解系为刍

24

X2=-X3+~X4^

31313

-产-7匕+亍,T

齐次同解方程组为4特解为一g,o,oj.综上所述，所

244

彳2=三X3+二七一二，

'777

求通解为

〃+喈+晦=(%*0,0)1,0^|+cd-^,o,l

其中G，。2为任意常数.

Axl+x2+x3=A-3,

8.对于线性方程组《%+4毛+工3=一2,讨论2取何值时，方程组无解、有唯一解和有无

X1+工2+九%3二-2,

穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示通解.

U114-3、'112-2、'112-2

解A=121-2->121-20A-l1-A0

2

J12-2?、/1112-3?、01-21-Z3A-3

(\12-2、

―02-11-20

2

、002-2-232-3?

(1)当2-4-22=。且34-3H0,即％=-2时，r(A)=2,r(A)=3,由于

r(A)wr(A),所以方程组无解.

(2)当2—4—22^0,即4。一2且时，/(4)=r(A)=3,从而方程组有唯一解.

口11-2、

(3)当4=1时，有A—0000,同解方程组为％।=-%2一%3-2,特解为

、0000>

(-2]

7=0.导出组为占=一一毛，基础解系为。=1忑20，通解为

001

<-rr-n

X=〃+C4+C2&=0+41+G0(4，《2为任意常数).

(1+a)xx4-x2+x3+x4=0,

2x,+(2+a)x^+2x,+2x=0,

9.设有齐次线性方程组彳4

、一八试讨论a取何值时，该方程组

J%++(3++J4=U,

4xj+4X2+4X3+(4+6Z)X4=0,

有非零解，并求出其通解.

'1+a111、'l+a111、

22+a2222+Q22

解A=->

333+Q31l-a1+a1

、4444+a,k4444+a.

'1\-al+a1、(\\-a1+a1、

22+a2203a-2a0

->

1+tz1110ci~~ci~—2tz—ci

、4444+a,4a-4aa)

f\\-a1+a1、」\-a1+a1、

03a-2a003a-2a0

1,

00——a2-2a-af00--a2--a

332

cc4cc4

00—aa00--QCl

13)I3；

(1)当a=0时，r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为％+%+玉+/=0，

由此得基础解系为7=(-1,1,0,0)］，%=(-l,0,l,0)T,%=(-l,0,0,l)T,于是所求方程

组的通解为X=km+k2J］2+k^,其中仁，女2,人为任意实数.

’1\-a\+a1、

01-20

(2)当时，有A->3.因此，当a=—10时，r(A)=3<4,

001--

4

、00010+%

[、

100

’111-91、4

01-21]_

010

此时AT3->2,其同解方程组为］%2=5乙，基础解系

001

3

40013

、0000;4X3=-X4,

1000

为〃=(1,2,3,4);于是所求方程组的通解为x=Q7,其中女为任意实数.

【提高题】

1.设区，a2,4是四元非齐次线性方程组AX=〃的3个解向量，且r(A)=3,

T

%=(1,2,3,4尸，a2+a3=(0,l,2,3),c表示任意常数,则线性方程组AX=)的通解

X=().

’1、’1、rp’0、rp"2、T'3、

21212324

A.+cB.+cc.+cI).+c

31323435

4J4346<4；G

解四元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为3,则其对应的齐次方程组

AX=O的基础解系中只含有1个解向量.由于%，%，%是以=力的3个特解，则

%-。2，是其对应齐次方程组AX=O的解，故

一。2)+(四一。3)=2al-(a?+夕3)=(2,3,4,5)|

田(2、

23

是AX=O的基础解系，从而AX=b的通解为由+西=3+。彳，其中，为任意常数•

故应选C.

(Aa、

2.设A是”阶矩阵，。为〃维列向量，若r"1oJ="A)，则线性方程组().

A.Ar=a必有无穷多解B.加=。必有唯一■解

(Aa}(x},(AaVx)

C.1=0仅有零解1).T=0必有非零解

(a0"

(a。八口

.(Aa)

解由于r=r(A)，JIa来说，r(A)=r(A),从而上=1必有解,

aT0

A'Aa'，AaVx、

但解的个数不确定；对=0来说，r<〃+l,从而=0

aT1aT0>(aT。般

必有非零解，故应选D.

X]+工2+%3+=T

3.已知非齐次线性方程组14玉+3々+5七一%=—1,有3个线性无关的解.

西+W+3X3+如=1

(1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2.(2)求a,b的值及方程组的通解.

'1111-1、

(1)证明无=435-13

、a13b1+a,

’1111-1)(102-42、

->0-11-53-01—15-3

、004—2a4-ci+b~54—2a,、004一2。4a+b-54—2a/

因方程组有3个线性无关的解，则r(A)=r(A)<3,由上述行最简形得“A)=2,该问得

证.

(2)解由(1)可得4—2。=4。+8—5=0,解得a=2,力=—3,故齐次同解方程组为

.%=—2七+4/，得基础解系。=(_2,1,1,0):彳,=(4,-5,0,1)、又非齐次同解方程组

x2=x3—5X4,

~=一2七+4%+2,的特解为〃=(2,一3,0,0)T,故方程组的通解为

x2=x3-5X4-3,

TTT

7]+c^+c2^2=(2,-3,0,0)+cx(-2,1,1,0)+c2(4,-5,0,1),其中q,c2为任意常数•

4.设A=(他)3*3满足条件：⑴囱=&-(i,7=1,2,3),其中4是元素%.的代数

余子式；(2)%3=-1•求方程组的解，其中匕=(0,0,1)、

解由于%=4-,所以由T=A*,从而有|A4*|=|A4T|=|A『.又|A4*|=|AM|

=|A||A「=|A『,所以|A『=|A『，解得网=。或榭=1.又%3=-1,于是

14=%A1+4242+%3%3=质+%2+%3~%+%2+1，

从而|A|=1,%|=%2=0且方程组"=匕有唯一解，方程组AX=b的解为

=(0,0,-l)T.

同步习题4.3

【基础题】

1.选择题.

(1)设42=石，石为单位矩阵，则下列结论正确的是().

A.4-E可逆B.A+E可逆

C.A/E时，A+E可逆D.A/E时，A+E不可逆

解若A=石，则A-E=0,A+E=2E,故A-E不可逆，A+E可逆.

若AHE,由42-E=O可知（A+E）（A-£）=O,进而有/■（A+£'）+r（A—E）4〃.

又由AWE,知r(A—£)>0，于是必有r(A+E)V”，从而A+E不可逆，故应选D.

(2)已知川，夕2是非齐次线性方程组AX=〃的两个不同的解，/，%是对应齐

次线性方程组AX=O的基础解系，女2为任意常数，则方程组AX=〃的通解必是

（）.

A.%乌+%2（/+%）+」^--B.%乌+&2（。1一——―-

C.%必+&2(4+凤)+%”D.%乌+右(女一河)+且罗

解非齐次线性方程组AX^b的通解结构为+•••+c”-E,f，

其中/是非齐次线性方程组AX^b的一个特解，刍，$，•••，,一，是对应齐次线性方程

组AX=O的一个基础解系.

A项，4产是AX=O的解；4％+内(/+%)+且产是AX=O的通解，而不是

AX=Z?的通解.

B项，且土隹是AX=6的一个特解，勺%+%(四一%)是。=0的通解，所以

2

左乌+《Q-)+4■笋是AX=人的通解.

C项，匕q+与A是AX=o的解，但不是通解；

D项中不能保证/与4-A线性无关，因而《冈+七3-4)不一定是AX=O的通

解.

故应选B.

(3)设A为小X〃矩阵，则与科=人同解的方程组是().

A.加=〃时，ArX=b

B.QAX=Qb,其中Q为可逆矩阵

C.r(A)=r(A),由AX=力的前「个方程组成的方程组

D.r(A)=r(C)，CmxnX=b

解可直接验证B项：一方面，若。为的解，即Aa=b,则QAa=Q'a必

为QAX=Q6的解；另一方面，若"为QAa=Q〃的解，即QA/?=Q6,两边同时左乘，

有。“。4夕=。乜/?,即得A力=6,所以夕为AX=6的解.故方程组AX=6和

QAX=Q6同解，应选B.

(4)设A为力阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组I：AX=()和H：

ATAX=O必有().

A.II的解是I的解，I的解也是II的解

B.n的解是I的解，但I的解不是n的解

c.n的解不是I的解，I的解不是n的解

D.I的解是n的解，但n的解不是I的解

解一方面，若a为AX=O的解，即Aa=O,则ATAa=AT()=O,«必为ATAX=O

的解；

另一方面,若力为=O的解,即4TAp=0,两边同时左乘夕,有夕TA’A4=0,

T

设做=(%,y2,L,ym),则必有(A0TA夕=。+£+L+1=0,进一步可得

N=%=L=ym=0,即有A尸=0,所以夕必为AX=0的解.因此，方程组AX=0和

ATAX=O同解，应选A.

2.设四元非齐次方程组/我=匕的系数矩阵A的秩为3,7,%是它的3个特解，

且=(2,3,4,5)1，%+〃3=(1，2,3,4)T，求Ax=匕的通解.

解四元非齐次方程组Ax=人的系数矩阵A的秩为3,则其对应的齐次方程组Ar=()

基础解系中只含有1个解向量.而7,%,%是Ax=〃的3个特解，则用一/，7i-73

是其对应的齐次方程组Ar=0的解，故＜=(7-%)+(%-%)=27一(%+7)

，2、「3、

34

=(3,4,5,6)1是Ax=0的基础解系，Ax=人的通解为小+喈+c,其中C为任意

45

.e

常数.

玉+为=0,方程组为，%+2毛=0,求1与［［的公共解

3.设方程组I为1n

x2+x3=0,2X2+x4=0,

X]+匕=0,

解联立方程组i和n得1W+F=0，对其系数矩阵做初等行变换得,

玉+2X3=0,

2x,+x4=0,

、

、1oo1

'1001£

010

0110

->2

002-1]_

001~2

,00007

00

1°07

~X4

1，故公共解为

可得同解方程组I”一/c(-2,-l,l,2)T,其中C为任意常数.

巧二/%，

21、/a\

4.已知矩阵方程0A—101存在两个不同的解.

17

由于方程组存在两个不同的解，则r(A)=r(A)<3,从而有i一;i?一；1+1=0,且

2—I/O,解得;1=-1,a=-2

10-1

2

,1

(2)当；1=一1,a=—2时，A-»010其对应的导出组的同解方程

2

0000

得基础解以，应的非齐次方桂组的同解方程组为

组为玉=今，得

=0,

/31V<31V

其特解为工-二0，因此，方程组的通解为X=±，-二0+c(l,0,l)T,其中c为任意

122J122J

常数.

5.已知％=(1,4,0,2)1%=(2,7,1,31，a3=(0,l,-l,a)\夕=(3,10,0,4)、问

a,b取何值时,

（i）/?不能由%,%，%线性表示？

（2）月可由%线性表示？并写出表示式.

解易知力不能由%，%