高中数学公式定理大全

价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程

高中数学常用公式及常用结论a/+Ax+c=0(。*0)有且只有一个实根在(占水2)内，等价于

Ak+k

/(匕)/(晨)<0,或/火)=0且kt<-—<-L-^，或/(晨)=0且

2a2

1.元素与集合的关系

x£Au>xeCA,xGCJJA<=>xeA.

U9.闭区间上的二次函数的最值

2.德摩根公式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(aH0)在闭区间[p,q]上的最值只能在

C。(An6)=CuAuCu6；Cu(AU8)=，AnCu8.

x=—2处及区间的两端点处取得，具体如下：

3.包含关系

2a

CA

An6=A=AUB=6=AC=G76Gu

QAnC*=<D=CuAU3=R(1)当a>0时，若x-----G[p,q],则

2a

4.容斥原理

〃X)min="-()J(X)max〜{/(〃)，/(/}；

card(A\JB)=cardA+cardB-card(AA£?)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(ADB)

X=-(史IP，4],/(©max=max{/(P)，/(q)},

-card(ADB)-card(BC\C)-card(C0A)+card(APlBAC)

/(X)min=min{/(P)，/⑷}.

5.集合凡｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子

⑵当a<0时,若x=-(e[p,q],则/(x)=min{/(p)J(g)},若

集有2"-1个；非空的真子集有2"-2个.1nhi

6.二次函数的解析式的三种形式

x=-^^[p,q\,则/(x)max=max{/(p)J(q)},

(1)一般式/0)=ax1+bx+c(a*0);

(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a.0):

/(x)min=min{/(p),/(q)}.

(3)零点式/(x)=a(x-xj(x-x2)(aW0).

10.一元二次方程的实根分布

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式依据:若/(〃?)/(〃)<(),则方程.f(x)=0在区间(〃?,〃)内至少有一个实

N<f(x)<M<=>[/(x)-M][/(%)-TV]<0根.

M+N,M-N以x)-N设/(x)-x+px+q,贝IJ

。"⑴一l<----------<=>2

2M-f(x)(1)方程/(x)=0在区间(九+oo)内有根的充要条件为/(〃?)=0或

11/?2-4^>0

o------------->-----------.

f(x)-NM—N

・上)m；

8.方程/(x)=0在(片个)上有且只有一个实根，与f(kjf(h)<0不等I2

（2）方程，（x）=0在区间（，",〃）内有根的充要条件为/（〃?）/（〃）<（）或是不是至少有一个一个也没有

/（加）〉0都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有（〃一1）个

/(«)>0

/(〃?)=0“〃)=0小于不小于至多有n个至少有（〃+1）个

/-4"0或<

4(〃)>0af{m)>0对所有X,存在某X,

P成立不成立p或q—\p且一><7

m<---<n

2对任何X,存在某X,

（3）方程/（x）=0在区间（—8,〃）内有根的充要条件为/（〃?）<0或不成立成立P且4—p或

p2-4（?>0

14.四种命题的相互关系

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

（1）在给定区间（一8,+8）的子区间L（形如［a,77］,（-8,冏，［。,+8）不同）

上含参数的二次不等式/（x,f）20（，为参数）恒成立的充要条件是

/（Xj）min>O（XL）.

⑵在给定区间（—8,+8）的子区间上含参数的二次不等式/（X,『）20（，为

参数）恒成立的充要条件是f（x,t）man<0（X史L）.

a>0

（3）f（x）^ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是^>0或

15.充要条件

c>0（1）充分条件：若p=q,则p是“充分条件.

（2）必要条件：若qnp,则〃是q必要条件.

a<0

（3）充要条件：若pnq,月=则p是q充要条件.

b2-4ac<Q

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

12.真值表

16.函数的单调性

Pq非PP或qp且q⑴设七・々€。力］,王。々那么

真真假真真

真假假真假（%—X2）［/a）—/（工2）］>0O"'）:"々）>0=/（X）在［a,b］上是

假真真真假

假假真假假增函数；

13.常见结论的否定形式（%—々）［/（4）一/（々）］<0=/邈二9<0o/（x）在卜力］上是

原结论反设词原结论反设词

减函数.(1)函数y=/(x)与函数y=/(—x)的图象关于直线x=O(即y轴)对称.

(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果尸(x)＞设则/(x)为增函数;(2)函数y=/(mx-a)与函数y=/(b-mx)的图象关于直线x=土也对

如果/(x)＜0,则/(x)为减函数.2m

17.如果函数/(X)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数称.

/(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=/Q)和"=g(x)在其对应的定义域上⑶函数y=/(x)和y=/-'(x)的图象关于直线y=x对称.

都是减函数,则复合函数)，=/[g(x)]是增函数.25.若将函数y=/(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数

18.奇偶函数的图象特征y=/(x-a)+〃的图象；若将曲线/(x,y)=O的图象右移。、上移6个单位，

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一得到曲线/。一。广一0=0的图象.

个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于

26.互为反函数的两个函数的关系

y轴对称，那么这个函数是偶函数.

f(a)=b=fT(b)=a.

19.若函数y=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(—x—a)；若函数

y=/(x+a)是偶函数,则f(x+d)=f(-x+a).27.若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=~[f-'M-b],并

20.对于函数y=/(x)(xeR),/(x+a)=/(/?—x)恒成立,则函数f(x)k

不是y=[7-'(kx+b),而函数y=[/-'(京+匕)是y=-[fM-b]的反函数.

的对称轴是函数x两个函数'=/。+。)与、=f(b-x)的图象关k

28.几个常见的函数方程

于直线％=幺心对称.

(1)正比例函数f(x')=cx,f\x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

2

(2)指数函数/(x)=a*,f(x+y)=f(x)f(y),f(\)=a^O.

21.若/(x)=-/(-x+a),则函数y=/(x)的图象关于点弓,0)对称；若

⑶对数函数/(x)=log.x,/(xy)=/(x)+f(y),f(a)=l(a>0,a1).

/(%)=-/(》+。)，则函数＞=/(x)为周期为2a的周期函数.⑷募函数/(x)=x。，/(盯)=/(x)/(y),/'(D=a.

22.多项式函数P(x)=a,x"+4一尤2+…+即的奇偶性(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零./(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零./(0)=l』im^^=l.

23.函数y=/(x)的图象的对称性XT。X

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称=/(«+%)=f(a-x)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

of(2a-x)^f(x).

(2)/(X)=/(X+6Z)=O,

(2)函数y=/(x)的图象关于直线》=审对称

或f{x+a)=—J—(/(x)^0),

f(x)

=f(a+mx)=f(b-mx)

=/(a+8-mx)=f(mx).sg/(x+a)=--^—(/(X)H0),

24.两个函数图象的对称性/W

34.对数的换底公式

或;+—72")=/(x+a),(/3)e[0,1]),则/(x)的周期T=2a;

logN

logi(N=—(”>0,且。71,机〉0,且机工1,N>0).

(3)/(x)=1-----5—(/(x)W0),贝ij/(x)的周期T=3a；log,”a

f(x+a)

推论logb"--log“b(a>0,且a>1,〃?,〃>0,且mw1,〃H1,

/(x,)+/(x)"m

(4)/(X]+x)=2且

2N>0).

l-/(x,)/(x2)

35.对数的四则运算法则

/(«)=l(/(x,)-/(x)^l,0<lx,-xl<2a),则/(x)的周期T=4a；

22若a>0,aWl,M>0,N>0,贝U

(5)/(x)+/(x+a)+/(x+2a)/(x+3a)+/(x+4/)

(1)log”(〃N)=log“M+loguN;

=/(^)/(x+6f)/(x+2tz)/(x+3tz)/(x+4z),则/(x)的周期T=5a；

M

(6)f(x+a)=/(x)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.⑵log”7=Qg“MTog。N;

30.分数指数基

(3)log"M"=nlogM(〃eR).

㈣1a

(1)an=,——Q>0,m，〃£N*,且〃>1).22

(36.设函数f(x)-logm(ax+bx+c)(aW0),记△=b-4ac.若f(x)

\am

的定义域为R,则a>0,且△<();若/a)的值域为R,则a>0,且ANO.对

-巴1

n

(2)a-——m(a>0,m,neN*,且.〃>1).于。=0的情形，需要单独检验.

an37.对数换底不等式及其推广

31.根式的性质

若a>0,b>0,x>0,x#—,则函数y-log(n.(bx)

(1)(族)'=a.a

(2)当〃为奇数时，标7=a；(1)当a>b时,在(0,')和(！,+oo)上y=log”(bx)为增函数.

aa

当”为偶数时，折

,⑵当a<8时，在(0,—)和(一,+8)上y=log〃r(bx)为减函数.

-a,a<0aa

32.有理指数褰的运算性质

推论:设〃>机>1，p>0>a>0，且awl，则

(1)a'as=ar+s(a>0,r,seQ).

(2)(ar)s=ar'(a>0,r,seQ).⑴log,,”("+〃)<log,”

r

(3)(ab)'=ab'\a>0,b>0,reQ).2m+n

⑵logamloga/z<logfl

注：若a>0,p是一个无理数，则a。表示一个确定的实数.上述有理指数2

嘉的运算性质，对于无理数指数嘉都适用.38.平均增长率的问题

33.指数式与对数式的互化式如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,

log.N=bod=N(a>0,aWl,N>0)有〉=N(l+p)”.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系nb+n(n-l)d,(q=1)

s,,n=1sn

（数列｛《,｝的前n项的和为s“=4+a,+…+a)„dA-qd.

(&---)―—〃，(#D

[S“一S,T，"N2Ii-qq-ii-q

43分.期付款(按揭贷款)

40.等差数列的通项公式

每次还款x=abQ+b丫一元(贷款a元,n次还清，每期利率为h).

(1+b)"-1

an=〃1+(72-Y)d=dn+a]-d(neN')；

44.常见三角不等式

其前n项和公式为(1)若XE(0,—),则sinx<x<tanx.

n(77-l)2

na,+------

212(2)若x£(O,工)，KO1<sinx+cosx<V2.

2

d2/1八

——n+（6Z>--u）/?.(3)IsinxI+Icosxl>1.

22

45.同角三角函数的基本关系式

41.等比数列的通项公式

sinf)

22

a“=a0i=幺・。'(〃eN")；sin0+cos0=1ftan-----,tan0-cotO=1.

cos。

q46.正弦、余弦的诱导公式

其前n项的和公式为

n

止A*](-1)2sina,（n为偶数）

sin(---\-a)-<

Sn=l-q/i-i

(-1)2cosa,

.〃q,q=l（n为奇数）

'幺殁&q*lrn（n为偶数）

,ri兀、(-l)2cosa,

或5“=<\-q.cos(—+a)=<

n+1（n为奇数）

na,q=1

{(-1)2sina,

等比差数列的通项公式为

42.{a,}:a„+l=qan+d,%=b(qH0)47.和角与差角公式

b+(n-T)d,q=1sin(a±£)=sinacos/?±cosasin£;

nn

an^\bq+(d-h)q-'-d；cos(a±B)=cosacos<干sinasin(3；

■,q*]tan(a±0=tandtanJ

q-i

1+tanatan0

其前n项和公式为

sin(a+P)sin(a-/?)=sin2a-sin2p(平方正弦公式);

cos(a+J3)cos(6Z-/?)=cos26z-sin2[3.

(1)S^-ah=-bh^-ch(也、%,、h分别表示a、b、c边上的高).

2420h2c°Dc

4sina+Vcosa=，J+〃sin(a+0)(辅助角0所在象限由点(凡。)的象

b(2)S=—absinC=—bcsinA=—easinB.

限决定，tan^=—).222

a

⑶%.Bf(丽.丽2-"函L

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

54.三角形内角和定理

cos2a=cos2cr-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

在aABC中，有4+8+。=乃=。=乃一(A+8)

八2tana

tan2a=--------；-.C7iA+B“-〜▲z

1-tan-a—=-------------2c=2万一2(A+B).

49.三倍角公式222

55.简单的三角方程的通解

sin36=3sin。-4sin*=4sin0sin(y-6)sin(y+0).sinx=qo_¥=攵4+(-1>arcsin〃(ZGZ,\al<1).

cosx=ax=2上1士arccosa(ZEZ,lal<1).

3

cos3。=4cos夕一3cos6=4cos0COS(y一6)COS(y+8).tanx=anx=%不+arctana(keZ,aeR).

特别地,有

a3tantan30八/九八、n八、尸=》

tan3。=--------------=tan0tan(-----6)tan(—+3).sina=sina=k/r+Jl0(kGZ).

2

l-3tan^33cosa=cospoa=2k兀±0*GZ).

50.三角函数的周期公式tana=tan/=>a=攵；r+0*GZ).

函数y=sin(ox+0),x£R及函数y=cos(69x+e),x£R(A,3,(p为常数,56.最简单的三角不等式及其解集

2471sinx>a(\a\<l)<^>xEQk兀+arcsina,2k兀+%一ai*csina).keZ.

且A70,3>0)的周期T=——；函数y=tan(公¥+9),xwk7V+—,kGZ(A,

co"2sinx<a(\a\<V)<^>xe(2左乃一冗一ai*csina,2k兀+arcsind),kGZ.

TTcosx>6/(1tzl<1)<=>xG(2k)-arccosa,2k兀+arccosa).keZ.

3,0为常数，且AWO,3>0）的周期T=—.

cocosx<。(1。隆1)=xEQkjr+arccos2Lr+2)一arccosa),keZ.

51.正弦定理71

tanx>a(aeR)^>xe(k兀+arctana^krcH——),keZ.

2

sinAsinBsinC71

52.余弦定理tanx<a(ae/?)=>xe(kji:~~,k7i+arctana),keZ.

a2=b2+c2-2/?ccosA;57.实数与向量的积的运算律

b~=c2+/-2cacosB;设入、口为实数，那么

c2=a2+h2-2abcosC.(1)结合律：A(ua)=(入u)a;

53.面积定理(2)第一分配律：(入+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.a-Lb(aw0)=a•b=0=无］/+%%=。.

向量的数量积的运算律：

58.66.线段的定比分公式

(1)a•b=b•a(交换律)；

设[(和m),£(々,%)，P(x,>)是线段6鸟的分点，丸是实数，且

(2)(Xa)・b=2(a*b)=Aa•b=a•(Ab);

电二屉,则

(3)(Kb)•c=a,c+b,c.4

59.平面向量基本定理

_%+AX2

如果小、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一

e2而=吁伙

向量，有且只有一对实数入I、X,,使得a=Aiei+Ae.

1+2

不共线的向量e„包叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示-1+2

设a=(X],y，，by/,%)，且b/0,则ab(b*0)=-々％=0・———1

=。尸=必+(1-。。8(f=77I).

53.a与b的数量积(或内积)

a-b-abcos9.67.三角形的重心坐标公式

61.a-b的几何意义△ABC三个顶点的坐标分别为A(X[,yJ、B(x2,y2),Cj,丫3),则AABC

数量积a-b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos9的乘积.

的重心的坐标是(士号士,

62.平面向量的坐标运算G“+g+X).

⑴设a=&,x),b=(x,y),则a+b=(x,+x,y,+y).

222268.点的平移公式

⑵设则一,

a=(%,%),b=(x2,y2),a-b=(x,-x2,y,-y2).