2019届高考数学一轮复习 第5单元 数列听课学案 理

第五单元数列

第28讲数列的概念与简单表示法

课前双击巩固

知识聚焦、

1.数列的有关概念

有关概念定义

数列按照一F列的二歹IJ数

数列的项数列中的__________

数列的通项数列｛a,｝的第n项a„

通项公式数列｛a｝的第〃项a“与之间的关系式

前〃项和数歹!Ha,,｝中，S“=____________________

2.数列的表示法

表示法定义

列表法通过表格表示〃与&的对应关系

用平面直角坐标系内的

图像法

y轴,一系列孤立的点表示

通项公式

公式法

递推公式f(a)a,-i)

3.数列的分类

分类原则类型满足条件

递增数列—

单调性递减数列—

常数列=3/i

周期性周期数列对〃GN*,存在正整数常数A,

使&+*-________

有界数列存在正数M,使__________

其他标准从第2项起,有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项

4.4与S的关系

S［,?i=1,

已知数列｛&｝的前n项和S,,则&=卜"-Sn_俨＞2.

常用结论

an-%-V

求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性,即用瓦之4+1(〃22,〃3)或

-1,

-a«+i(〃N2,求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解.

对点演练、

题组一常识题

357

1.［教材改编］已知数列的前几项为1,-22,32,-42,则该数列的一个通项公式是.

2.［教材改编］己知数列｛%｝满足4=(〃-/)2"(〃6心，若伯〃｝是递增数列，则实数人的取值

范围是.

1

3.［教材改编］在数列｛%｝中，若功=1,a„=l严n-1(〃22),则a3=.

题组二常错题

♦索引：忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集N*或其子集｛1,2,…,n］;求数列前〃项

和S的最值时忽视项为零的情况;根据S求&时忽视对n=l的验证.

］］71—2

4.在数列-1,0,5R…，n2中,0.08是它的第项.

5.在数列｛aj中，a„=-n4〃+7,当其前〃项和S,取最大值时,n=.

6.己知S0+3,则a„=.

课堂考点探究

O探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式

11121

B（1）数列｛%｝的前几项为2,3,万,8,T....则此数列的通项公式可能是)

5n-43n-2

A.Qn~~2B.3n~2

6n-5lOn-9

C.a〃=2D.a〃二2

3579

（2）数列5,4,8,-连,…的一个通项公式为（）

2n+1

A.a=(T)〃・2〃

2n+1

B.a=(T)〃・2"

2n4-1

C.&=(T)"”・2〃

2n4-1

D.a=(-1)""・2n

（3）数列｛%J的前几项为7,77,777,7777,则此数列的通项公式可能是.

［总结反思］由数列前儿项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：

（1）常用方法:观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想

（联想常见的数列）等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,

通过常见数列的通项公式求得所给数列的施加公式.

（2）具体策略:①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一

次递增或以2",3"等形式递增；③柝项后的特征；④各项的短号魁延和幽值的特征；飙异

为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符

号交替出现的情况,可用（-1）"或（-1）"”,来处理.

1524354863

固式题⑴数列万,5记,记,工,…的一个通项公式为

14916

(2)数列&Z-瓦…的一个通项公式可以为.

。探究点二由a“与S,求通项公式a„

IB(1)已知数列®｝的前〃项和S,切病月则通项公式为a.=.

1

⑵己知数列｛，｝的前力项和$满足"GN*),4旦则通项公式为

S］,九=I；

［总结反思］已知S,求&的常用方法是利用a.』Sn-Sn一俨＞2转化为关于a“的关系式,再

求通项公式.主要分三个步骤完成：

(1)先利用国=S,求得ai；

⑵用n-\替换$中的〃得到一个新的关系式,利用1心2)便可求出当杉2,〃GN*

时的通项；

(3)对n=\时的结果进行检验,看是否符合后2,时%的表达式,如果符合则可以把数列

的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=\与两段来写.

12

固式题(1)［2017•西宁五中月考1已知数列｛%｝的前〃项和S,互#后则通项公式为

atl=.

⑵已知数列｛%｝的前〃项和为S,且SHa“-2,则数列｛%｝的通项公式为a产..

。探究点三数列的函数特征

考向1求最大(小)项

n-72017

1ft(1)［2017•临川实验中学月考］已知a/-再向〃CN),则在数列&｝的前100项中

最小项和最大项分别是()

A.Hi,diooB.43100,5-11

C.a5,D.OH,SIS

Rn

(2)己知数列｛，｝的通项公式为a”=(〃+l)U1J(〃GN),则该数列的最大项是第

项.

［总结反思］求数列的最大项与最小项的常用方法：

(1)将数列视为函数"X)当时所对应的一列函数值,根据/(X)的类型作出相应的函数图

像,或利用求函数最值的方法,求出/(X)的最值,进而求出数列的最大(小)项；

an—an-1»

(2)通过通项公式触研究数列的单调性,利用14之4+1(〃22)确定最大项,利用

an—an-1，

,an-an+l(〃》2)确定最小项.

(3)比较法:

an+1

若有尸-f｛n｝A)(或&A)时，an>1),则aQa、则数列｛a｝是递增数列,所以数

列｛&｝的最小项为a=f(D;

an+1

若有a”“-a”=f(n+D-F(〃)<0(或a,,X时，％。)，则则数列｛a.｝是递减数列,所以数

列｛a,,｝的最大项为&=『⑴.

考向2单调性的应用

IB［2017•永州二模］已知数列｛%｝的前〃项和S%"(4-n)-6,若｛%｝为递减数歹ij,则4的

取值范围是()

A.(-8,2)B.(-8,3)

C.(-8,4)I).(-oo,5)

［总结反思］数列的单调性是数列最重要的性质之一，它在求参数的取值范围、证明不等式

及恒成立等问题中有着广泛应用.应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的

常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，

利用比较法判断.

强化演练

1.【考向1】已知数列｛a,,｝的通项公式为a=(一§),则数列｛a.｝的最大项为()

A.a\B.32

C.&3D.国

件一1件-1

2.【考向1】已知数列｛&｝的通项公式为时⑼-⑶，则数列｛&｝()

A.有最大项,没有最小项

B.有最小项，没有最大项

C.既有最大项又有最小项

D.既没有最大项又没有最小项

—1,%V2,

3.【考向2】设函数-2）x,x>2,数列｛a｝的通项公式为a.=/5)(〃GN*),若数列{%}

是递减数列，则实数在的取值范围为（）

A.S2)B.卜喏)

4.【考向1】数列&｝的通项公式为&=（2*1）团T,则数列&｝的最大项为.

5.【考向2】若其中A为实常数），〃GN",且数列｛当｝为递增数列，则实数A的

取值范围为.

O探究点四由数列的递推关系式求通项公式

考向1形如a“二&廿（九）,求an

I例［2017•衡水中学六调］若数列｛，｝满足a尸1,且对于任意的"CN"都有ae=a“+n+l,则

111

。1加24・凶2017等于（）

20172016

A.2018B.2017

40322107

C2017D.1009

［总结反思］形如为+产&*（〃）（a〃）是可以求和的）的递推公式求通项公式时,常用累加法

求出与〃的关系式,进而得到/的通项公式.

n

考向2形如&刊=a,/（）,求a,1

n2但

IB［2017•成都二诊］在数列入｝中，afa,邛2_1m（〃22,,则数列的前n项

和T„=.

［总结反思］形如a*a“-是可以求积的）的递推公式求通项公式时,常用累乘法

求出力与n的关系式,进而得到&的通项公式.

考向3形如a“”=pa“+q,求a”

例7［2017•黄冈中学三模］已知数列｛4］满足珈=3a+2,且a2.

⑴求证:数列｛%+*是等比数列；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

［总结反思］形如a*pa”+q的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列

｛an+x\,即将原递推关系式化为a.“+x=p（a“+公的形式,再求出数列的通项公式,最后求

｛4｝的通项公式.

Aan

考向4形如a,/%+C（4氏。为常数），求4

IB［2017•湖北六校联合体联考］已知数列｛%）满足a=l,尸4+2（〃6心，若

13

4s•（4田）（力《心，&=与九且数列仇｝是递增数列，则实数4的取值范围是

（）

4

A.A<5B.4<1

32

C.A<2D,A<3

［总结反思］形如a„,^Ban+。（4,B,C为常数）的递推关系式求通项公式时,一般对递推式两

边同时度倒数，化为4+1+广小、1的形式，构造公比为1的等比数列14J,通过求

-+x

I、）的通项公式从而求出｛&｝的通项公式,其中用待定系数法求X是关键.

强化演练

1.【考向2】已知“之物,,则数列｛%｝的通项公式4等于（）

22

n-n+1n+zi4-1

.n2Q2

A.2NB.2

-n+2

2.【考向4】已知数列｛&｝满足&=1,为产4+2则数列｛&｝的通项公式为（）

A.为二九+1B.at,=n-1

nn

C.at,-+1D.alt-+1

3.【考向3］［2017•山西实验中学模拟］在数列｛%｝中，a=3,且点P„（a„,珈）在直线

4x-y+l=0±,则数列｛%｝的通项公式为.

4.【考向1】己知数列｛%）满足如玄'，且日=1.求数列｛%｝的通项公式.

第29讲等差数列及其前〃项和

课前双击巩固

知识聚焦、

1.等差数列中的有关公式

己知等差数列｛a｝的首项为a,公差是d,前〃项和为S,则

等差数列定

__________(〃22,d为常数)

义式

等差中项________(A是a与b的等差中项)

通项公式____________或______________

前〃项和公

S=___________________

式n

2.等差数列的性质

已知｛a｝是等差数列,W是｛&｝的前n项和.

⑴若m+n=p+q夕,k(m,n,p,q,AGN*),则有.

(2)数列£,S.』9…成数列.

3.等差数列与函数的关系

(1)等差数列｛a,,｝的通项公式可写成a“=,当今0时，它是关于〃的，它的图

像是直线y力上横坐标为正整数的均匀分布的一群的点.

注：当力0时，｛&｝是数列；当困)时，｛&｝是数列；当dW时，｛&｝是.

(2)前〃项和公式可变形为S.=,当dWO时,它是关于〃的常数项为0的,

它的图像是抛物线1-9入上横坐标为正整数的均匀分布的一群的点.

注:若乃为"<0,则S存在最________值;若a<0,力0,则S,存在最_______值.

常用结论

等差数列的性质

1.已知｛a｝,｛4｝是公差分别为Ld的等差数列,£是｛a｝的前〃项和，则有以下结论：

(1)｛&J是等差数列,公差为2d.

(2)｛pa„+qb,｝是等差数列(p,q都是常数)，且公差为pd\+q山.

(3)ak,a**”,a3…(A,/"GN)是公差为md\的等差数列.

■三)1

(4)［反)成等差数列,其首项与3,｝的首项相同，公差是｛a,,｝的公差的万.

(5)数列/编，｛必如｝都是等差数列5,q都是常数)，且公差分别为pd、,4.

2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质

S奇an

⑴若项数为In,则5僧-5奇=nd,5偶=%+x

S奇n

(2)若项数为2/?-1,则Si；,-na,„S奇-Si«=a„,，偶=«-1.

anS2n-1

3.两个等差数列｛a,J,｛2｝的前n项和分别为S,7；,它们之间的关系为九=72"-1.

对点演练、

题组一常识题

1.［教材改编］在等差数列｛叫中，且2+=改电则a,-.

2.［教材改编］在等差数列｛%｝中,1,戊=-5,则%二..

3.［教材改编］在等差数列｛%｝中，SN,5=12,则$2=.

4.［教材改编］己知等差数列入｝的公差为d(d#O),且金七6炀。炀3=32,若则

m=.

题组二常错题

♦索引：忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号

判断不正确

5.在等差数列｛aj中,a,=-28,公差d=4,则前n项和S取得最小值时n的值为.

6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是.

7.已知等差数列｛%｝的通项公式为a,.=n-n,则功/齐••+/.片______.

课堂考点探究

❶探究点一等差数列的基本运算

例1⑴［2017•蚌埠质检］已知等差数列｛%｝的前n项和为$,且424,£43,则ak

()

A.4B.5

C.6D.7

(2)公差不为0的等差数列他，｝的前n项和为S,若ae=3a,且S°=4&,则A的值为()

A.15B.21

C.23D.25

［总结反思］(1)等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五金最n,d,a,„S,„知道其中

三个就能求出另外两个.

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项&和公差d.

固式题(DE2017•鹰潭二模］等差数列｛%｝的前〃项和是S.,且&=1,a,N,则S*()

A.39B.91

C.48D.51

⑵已知等差数列｛%｝的前〃项和为&且3&=a6M，若$<10,则比的取值范围是()

A.(-°°,2)B.(-8,0)

C.(1.+8)I).(0,2)

O探究点二等差数列的性质及应用

板也(1)［2017•沈阳东北育才学校模拟］在等差数列｛4｝中，a+aA则

Q12

log2(2.2".....2"1。)=()

A.10B.20

C.40D.24og25

$2013^2011

⑵在等差数列｛4｝中，a,=-2017,其前〃项的和为£,若丽3-而1夕,则殳--.

⑶设£是等差数列｛%｝的前n项和,若以之,Sw=12,则藏6=()

A.22B.26

C.30D.34

［总结反思］利用等差数列的性质“若m+n=p+q5,n,p,gGN*)，则有a」a产a“+a「，或者”常

用结论”中的有关公式可以有效地简化计算.

固式题(1)在等差数列｛%)中，若a+a5+a79+a“N5,W=-3,那么比=()

A.4B.5

C.9D.18

W7n+2。2+。20

⑵两等差数列｛a,,｝和㈤的前n项和分别为S,,T..,且n+3,则与+如=.

(3)一个正项等差数列前〃项的和为3,前3〃项的和为21,则前2〃项的和为()

A.18B.12

C.10D.6

。探究点三等差数列的判定与证明

2-2a”-3

I融已知数列｛%】满足a尸3a*3%+4(旌心.

-1,

(1)证明：数列1%+"是等差数列;

(2)求｛%］的通项公式.

［总结反思］判断数列｛a｝是否为等差数列,通常有两种方法:躁义法,证明a「a*dg

2,d为常数)，用定义法证明等差数列时,常选用两个式子a:=d或a「a，c=d,但它们的意义

不同，后者必须加上“屋；含博差中项法,证明2a.=a.、+a“.、(n'i).

暨改题［2018•齐齐哈尔八中月考］已知数列｛a｝是等差数列，且&，色(a<aj分别为方程

%-6A^5=0的两个根.

(1)求数列｛a0｝的前〃项和$;

Sn1

⑵在⑴中，设4右飞求证:当c=-5时,数列㈤是等差数列.

o探究点四等差数列前"项和的最值问题

例4(1)［2017•福州期末］设等差数列｛%｝的前〃项和为S,若公差d=-2,S21,则当S取得

最大值时,n的值为()

A.10B.9

C.6D.5

⑵在等差数列&｝中，aM,S8=W6,则当S,取得最小值时，〃的值为()

A.18B.27

C.36D.54

［总结反思］求等差数列前〃项和最值的常用方法：

(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前〃项和的最值，但要注意〃GN*.

(2)图像法:利用二次函数图像的对理性来确定n的值，使S,取得最值.

14N0，

(3)项的符号法:当a为,d<0时,满足1册+1"0的项数〃，使S取最大值;当a,<0,力0时,满足

f4wo，

(4+1N0的项数"，使S取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使

S取最值的〃有两个.

。68

II民题(1)［2017•大庆实验中学月考］设等差数列｛%｝的前〃项和为$,&<0且。5=彳工则当

S,取最小值时，〃的值为()

A.11B.10

C.9D.8

(2)［2018•湖北长阳一中月考］已知数列｛%｝为等差数歹U,若且它们的前〃项和S,

有最大值,则使得SX的n的最大值为()

A.11B.19

C.20D.21

第30讲等比数列及其前〃项和

课前双击巩固

知识聚焦、

1.等比数列中的有关公式

已知等比数列｛a｝的首项为&,公比是q,前"项和为己则

等比数列定

________M22,qWO且q为常数)

义式

Gb

等比中项工&G是a与6的等比中项)

通项公式____________或____________

当q=\时,Sn-________:

前〃项和公

式

当qWl时,SE___________二____________

2.等比数列的性质

已知｛a„｝是等比数歹lj,W是｛&｝的前n项和.

(1)若m+n=p+q(m,n,〃，gGN"),贝！］有&an=.

(2)若或<7=-1且勿为奇数，则数列S.W.S…成数歹!],其公比

为.

3.等比数列与函数的关系

Q[Q]Q]

⑴等比数列的通项公式可以写成a/万/(样1),前〃项和公式可以写成$=不代不(q

W1).

(a<0,(a>0,pj<0,

(2)①满足lq>l或(01<q<l时，｛a｝是递增数歹I;②满足(0A<q<l或(q>l时，｛a,,｝

是递减数列；

③当9=1时，数列｛&｝是常数列；

④当g<0时,数列｛4｝为摆动数列.

常用结论

n但

1.若的｝,⑷(项数相同)是等比数列,则｛Aa,J(4壬0),bJ,｛©，｛&.6，也J仍是等比数

列.

2.在等比数列｛a,,｝中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a,„a“*,a.%…为等比

数列，公比为q.

3.一个等比数列各项的4次累，仍组成一个等比数列,新公比是原公比的4次幕.

T2n73n

4.｛4｝为等比数列,若a「a..a„=T„,则北，如,殳“…成等比数列.

%

5.当冲0,疗1时，S„=k-k•/(20)是｛aj成等比数列的充要条件,此时代』.

6.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中

间项的平方.

对点演练、

题组一常识题

1.[教材改编]己知数列｛%]是递增的等比数歹山若则此数列的公比

Q=_________•

2.［教材改编］已知等比数列｛aj的前n项和为S,若a6=8a.,W=2,则&=.

1

3.在％和4之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积

为.

题组二常错题

♦索引:"#=ab”是"a,G,6成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前〃项和公式

时，忽略°=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.

4.在等比数列｛a,｝中，a：fST=16,则a与行的等比中项为.

5.数列｛a｝的通项公式是a尸a"(a#O),则其前n项和为&=.

6.若等比数列｛a,｝的各项均为正数,且aioa”+切a”?e'，则In团+lnaw=.

7.在等比数列｛a｝中，a〃>0,as-ai=15,ai-a2=6,则a3-.

课堂考点探究

O探究点一等比数列的基本运算

例1⑴［2017•揭阳二模］已知等比数列｛4｝满足&&=10,鱼坳=5,则a$=()

1

A.1B,2

1

C.4D.4

(2)［2017•山西三区八校二模］设等比数列入｝的前〃项和为S,若既学,且谢6%如川,则

S(n等于()

A.3B.303

C.-3D.-303

［总结反思］(1)等比数列的通项公式与前〃项和公式共涉及五个量&,a“，q,n,Sn,已知其中

三个就能求另外两个(简称“知三求二”).

(2)运用等比数列的前"项和公式时,注意对q=\和的分类讨论.

圈式题⑴在等比数列｛a｝中，公比qN,若色与2a3的等差中项为5,则a尸()

A.3B.2

C.1D.-1

1

(2)［2017•洛阳三模］己知等比数列｛总满足为巨&备=28+3,则a=()

19

A.-2B.8

C.648D.18

(3)［2017•四川师范大学附属中学三模］已知数列｛册｝为各项均为正数的等比数列且满足

&30,33~Q\,则数列｛4)的前5项和$=()

A.15B.31

C.40D.121

O探究点二等比数列的性质及应用

I触⑴在等比数列｛4｝中，备后产1,则匈(a+2今抽)的值为()

A.2B.4

C.8D.16

(2)［2017•吉林大学附属中学摸底］等比数列｛%｝的前5项的和&=10,前10项的和So-50,

则它的前20项的和酶=()

A.160B.210

C.640D.850

［总结反思］(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前"项和公式,建立

方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,2心，则有a.,=a向”，

则可减少运算量.

(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新教列也具有某种性质，例如在等比数列

中，£,SikSk,&%-£例…也成等比数歹U,公比为/(qWT).

ala17

霞式题(1)在等比数列｛%］中，a3,ag是方程f~6x+84的根，则=()

A.2#B.2

C.1D.-2

⑵设正项等比数列｛%｝的前"项和为S”,若SW,W6=12,则5,=.

。探究点三等比数列的判定与证明

33%

4a

例［2017•重庆调研］已知数列入｝的首项a,=5,a„tl=n+\〃WN*.

fl

----2

⑴求证:数列1%.J为等比数列；

111

(2)记£=%42*.凶”,若5,<100,求〃的最大值.

［总结反思］判定一个数列为等比数列的常见方法：

an+1

(1)定义法:若\=g(d是常数)，则数列｛%｝是等比数列；

⑵等比史项法:若,；—同式心),则数列｛%｝是等比数列；

(3)通项公式法:若a力/(0,g为常数)，则数列&｝是等比数列•

雷式题［2017•北京海淀区模拟］在数列｛4｝中,4+且&32^5.

(1)证明:数列｛册+1｝是等比数列；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S..

第31讲数列求和

课前双击巩固

知识聚焦、

1.公式法

(1)公式法

①等差数列的前〃项和公式：

S“=:.(其中&为首项,d为公差)

②等比数列的前〃项和公式：

当q=l时,S“=;

当尸1时,S.=-.(其中以为首项,q为公比).

(2)分组求和法

一个数列的通项是由的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,

分别求和后再相加减.

2.倒序相加法与并项求和法

(D倒序相加法

如果一个数列｛%］中，到首末两端等“距离”的两项的和相等或等于,那么求这

个数列的前〃项和即可用倒序相加法.

(2)并项求和法

数列｛aj满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用求其前"项和.如通项

公式形如的数列.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之构成的，那么求

这个数列的前〃项和时即可用错位相减法.

常用结论

1.一些常见的前〃项和公式

n(n+1)

(1)1+2+3M六•,+n=2.

(2)1+3为+7*”+2〃-14.

(3)2刊用先卢+2"=/+n.

2.常用的裂项公式

111

(l)n(n+l)-n-n+1.

11(111

(2)(2n-l)(2n+l)^2\2n-1-2n4-1/.

1

(3)A/H+y/n+l=y/n+1->/n.

对点演练、

题组一常识题

1.［教材改编］若数列｛%｝的通项公式为a"'+n,则数列｛，｝的前"项和S.=.

1

2.［教材改编］若数列｛%｝的通项公式为aX3n-2)(3n+l),则数列口〕的前20项和

为.

3.［教材改编］若数列(%｝的通项公式为a“=(n-l)X2"则数列｛%｝的前n项和

S„=.

题组二常错题

♦索引：用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误、不能准确

“错项对齐”等错误;并项求和时不能准确分组.

T

4.设数列｛4｝的前〃项和为$,若(〃eN),则数列［sj的前〃项和为.

5.3乂24也乂2一2百乂2~3户・・+(〃+2)•2~n=.

6.在数列｛&｝中，&*2-+(-1)",刀eN：则&()的值为.

1______1

7.已知数列｛a,J满足"4"4,且则该数列的前2018项的和等于,

课堂考点探究

O探究点一分组求和法求和

例1在公差不为零的等差数列｛%｝中，azF,且鼠，晶成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b0=a.+*\求数列的前〃项和T„.

［总结反思］某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列

通项的和或差,从而间接求得原数列的和.注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.

n+九

震式题已知数列｛4｝的前〃项和Sk2

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设4女'+(-1)3,求数列出“｝的前2〃项和.

。探究点二错位相减法求和

例在等差数列｛%｝中,a”,在数列上｝中，b\C,其前〃项和$满足b".\=S曾(n《

NO.

(1)求数列|｛叫,｛九｝的通项公式;

(2)设&=九,求数列｛%｝的前〃项和T„.

［总结反思］错位相减法求和，主要用于求｛a-G的前〃项和，其中｛%｝,｛4｝分别为等差数

列和等比数列.

度式题［2017•哈尔滨二模］设S,是数列入｝的前〃项和，已知a”,3S+3("GN)

⑴求数列｛%，｝的通项公式；

⑵令-(2/7-1)&,求数列｛%｝的前n项和T“.

。探究点三裂项相消法求和

1

考向1形如a„=yfn+y/n+k

1111111

例］3已知正项数列｛%｝满足31=1,(an+lAi)(an+l-an)=4,数列｛"“｝满足"in+1用,记

也)的前〃项和为T,„则窃的值为.

11

［总结反思］数列的通项公式形如a.坊+"刷,可转化为义工(/与万一诉)，此类数列

适合使用裂项相消法求和.

1

nn

考向2形如atl=(,+k)

恻［2017•青岛二模］在公差不为0的等差数列｛%｝中,婿=a+&,且&为&与a”的等比中

项.

(1)求数列｛，｝的通项公式;

n

(-1)

N-卯。+1-2),求数列｛九｝的前n项和T„.

(2)设bn=

［总结反思］(1)数列的通项公式形如&=而匚6时,可转化为a“/(i中)，此类数列适

合使用裂项相消法求和.

(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相

互抵消的项.

强化演练

1

1.【考向1］数列｛%)的通项公式为赤耳若该数列的前衣项之和等于9,则

★二()

A.98B.99

C.96D.97

1

2.【考向1］数列｛4｝的通项公式为为二声赤*(〃£心，若该数列的前〃项和为W,则

5=()

A.y1n+2-1

B,，九+2+1

-(Vn+2-1)

c.乙

1________

5(曲+2++1_M_1)

D.，

111

3.【考向2］若数列｛%J满足a产1,且对任意的m,"GN*都有a^=aa+a„+mn,则%/2-月20=

4020

A.21B.21

1920

C.10D.19

1

4.【考向2][2017•成都九校联考]已知等比数列包)满足&=4&a5N(aT).

(1)求数列｛&｝的通项公式；

11

⑵若数列｛九｝满足6尸1。&(16•%),求证:数列+J的前〃项和S,<2.

第32讲数列的综合问题

课前双击巩固

知识聚焦、

1.数列的综合应用

(1)等差数列和等比数列的综合

等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前〃项和公

式,建立关于两个基本量:首项a和公差力或公比。的方程组，以及解决等差中项、等比中

项等问题.

(2)数列和函数

数列是特殊的函数,等差数列的通项公式和前〃项和公式

分别是关于〃的一次函数和二次函数，等比数列的通项公式和前〃项和公式在公比不等于1

的情况下是公比g的指数型函数，可以根据函数的性质解决一些数列问题.

(3)数列和不等式

以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题,体现了在知识交汇点上

命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个不等式问题,这里的不等式

通常是关于正整数的不等式,可以通过比较法、基本不等式法、导数方法和数学归纳法解决.

2.数列应用题常见模型

等差数如果增加（或减少）的量是一个固定量时,该模型是等差数列模型，增加（或减少）

列模型的量就是公至

等比数如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列模型,这个

固定的数就是公比

列模型

递推数

如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，即随着项的变化而变化时，应考

a.与的递推关系,或前n项和与之间的递推关系

列模型虑a„,S,S।

对点演练、

题组一常识题

3

1.［教材改编］在等比数列｛%｝中，2团,5a力自成等差数列，则等比数列｛%｝的公比

为.

2.［教材改编］设函数W+ax的导数为f（x）=

2x+l,贝1J数歹（的前〃项和为.

3.［教材改编］从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水（视为操作一次），再倒出1

升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，要使酒精浓度低于10%,则至少应操作

次.

题组二常错题

♦索弓I：数列实际问题的两个易错点:项数和年（月）份数

4.己知数列｛a｝是等差数列,且a产生⑹数列同是等比数列,且从=收+4a3,则

bib«=.

5.某公司去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年，

这个厂的总产值为.

6.一个凸多边形的内角度数成等差数列，其中最小的内角为120。，公差为5。，那么这个多

边形的边数〃等于.

课堂考点探究

。探究点一等差、等比数列的综合问题

11

例1［2017•北京朝阳区二模］已知数列｛a“｝是首项国互,公比。互的等比数列.设

91

6『21o(nGN*).

(1)求证:数列｛4｝为等差数列；

⑵设c„-a„+bi,„求数列(c„)的前n项和T,,.

［总结反思］解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相

应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合题的关键

在于审清题目，弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件.

圉式题［2018•安徽六安一中模拟］已知等差数列｛%］的首项团=1,公差小。，等比数列｛4)

满足Q\=b\,均二坛

⑴求数列｛%，｝,｛，＞｝的通项公式；

包

⑵设数列匕｝对任意的〃CN*,均有"1必A♦•也i=a〃“,求数列&｝的前2017项和So”.

O探究点二数列在实际问题与数学文化问题中的应用

IB(DE2017•宝鸡二模］在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入加元的

一年定期储蓄,若年利率9保持不变,且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期,到2017

年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是()

A.z»(i+q),元

B.加(1+q)'元

向(l+q)4-(l+q)]

c.q元

向(i+q)'-(1+q)]

D.q元

(2)《九章算术》是我国古代的数学名著之一，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人

所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“己知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两

人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得

多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)，在这个问题中，甲得到()

53

A.§钱B.2钱

45

C.§钱D.a钱

[总结反思]求解数学文化问题的一般步骤：

(1)阅读数学文化背景材料,获取相关数学信息；

(2)联想相关的数学模型，转化为纯数学问题；

(3)利用相关数学知识与数学方法求解转化后的数学问题；

(4)回答数学文化问题.

。探究点三特殊的数列问题

例3(1)[2017•三门峡调研]定义:若数列｛a｝对任意的正整数都有E+il/%l=d(d为常

数)，则称｛&｝为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”.在“绝对和数列”｛&｝中，团=2,绝对公

和为3,则其前2017项的和So"的最小值为()

A.-2017B