福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

2023-2024学年第二学期高一年段期中六校联考数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A.2 B.0 C. D.2.已知是两个不共线的向量，且，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线3.在中，，则（）A. B.或 C. D.或4.在矩形中，，，为线段的中点，为线段上靠近的四等分点，则的值为（）A.4 B.8 C. D.55.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（）A.6 B.8 C.4 D.27.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（）A. B. C. D.8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.复数为实数B.对应的点位于第二象限C.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（）A.B.复数的共轭复数的虚部为2C.若是关于的方程的一个根，则D.若复数满足，则的最大值为210.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．在上述坐标系中，若，，则（）A. B. C. D.与夹角的余弦值为11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.若，，向量与向量夹角为，则在上的投影向量为B.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若，则是的垂心D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形12.在中，角，，的对边分别为，，，下列四个命题中，正确的有（）A.当，，时，满足条件的三角形共有1个B.若是钝角三角形，则C.若，则D.若，，则面积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则与夹角为_________．14.如图所示是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是_____．15.海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为______海里.16.赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______；______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．18.如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的外接球的表面积和体积.19.如图，在中，已知为线段上一点，.（1）若，求实数，的值；（2）若，，，且与的夹角为120°，求的值.20.在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的外接圆半径为，求边上的高.21.某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且.（1）当米时，求的长和郁金香区的面积；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设