广东省东莞市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023-2024学年广东省东莞市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列式子一定是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤即可解答．【详解】解：∵与不能合并，∴错误，∴故项不符合题意；∵，∴正确，故项符合题意；∵，∴错误，故项不符合题意；∵，∴错误，故项不符合题意；故选．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤，掌握对应法则是解题的关键．3.中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴是直角三角形，∵，三角形内角和为∴最大角为，∴此时三角形不是直角三角形，故B符合题意；∵，∴，∴三角形是直角三角形，故C不符合题意；∵，∴设，∴，∴，∴三角形是直角三角形，故D不符合题意；故选：B．4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细；故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键．5.若函数是一次函数，则m的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．【详解】解：根据题意得，且，解得且，所以，．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．6.已知ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B度数是（）A.100° B.160° C.80° D.60°【答案】C【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC．∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°．∴∠B=180°﹣∠A=80°．故选C．7.直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据直线经过第一、二、四象限可以确定、的符号，则易求的符号，由的符号来求直线所经过的象限．【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，∴直线经过第一、二、三象限．故选：B．8.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∵对角线上的两点、满足，∴，即，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=5，∵∠AFB=90°，D是AB的中点，∴DF=AB=3，∴EF=DE﹣DF=2．故选B10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A.4 B.4π C.8π D.8【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝＝＝4，故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11.若要使有意义，则x的取值范围为______．【答案】且【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：由题意可得，解得且，故答案为：且．12.比较大小：_____（填“”“”“”）．【答案】【解析】【分析】根据题意，只需比较即可，利用估算思想解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∴，故答案为：．13.一次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据一次函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，从而可得不等式m+2<0，解不等式即可得结果．【详解】由题意，得：m+2<0解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解一元一次方程，关键是掌握一次函数的性质．14.把直线向上平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据直线向上平移5个单位，得到，计算即可．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．【详解】根据题意，得直线向上平移5个单位，得到，故直线与y轴的交点坐标为，故答案为：．15.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___【答案】6【解析】【分析】由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，由直角三角形可得，列出方程即可解决问题【详解】由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG，四边形EFGH是正方形，，在中设，则，，即，解得：（舍去），，故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键．16.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD．∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF．∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴BE=DF．∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF．∴CE=CF．∴①说法正确．∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形．∴∠CEF=45°．∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°．∴②说法正确．如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF．∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG．∴BE+DF≠EF．∴③说法错误．∵EF=2，∴CE=CF=．设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，∴．∴．∴④说法正确．综上所述，正确的序号是①②④．三、解答题（一）（每小题6分，共18分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂逐项计算即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键．18.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【答案】15米【解析】【分析】设树高米，求得的长，再根据求得的长度，然后在直角中由勾股定理建立方程求解即可；【详解】解：设树高米，则米，由题意得：米，∴米，∵树垂直于地面，∴在直角中由勾股定理可得：，∴，化简得：，解得：，∴树高为15米；【点睛】本题考查了线段的和差，勾股定理等知识；利用勾股定理建立方程是解题关键．19.已知一次函数图象经过和两点（1）求此一次函数的解析式；（2）若点在函数图象上，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法，设函数解析式为y=kx+b，将两点代入可求出k和b的值，进而可得出答案．

（2）将点（m，2）代入可得关于m的方程，解出即可．【详解】解：（1）设一次函数的解析式为，则有，解得：，一次函数的解析式为；（2）点在一次函数图象上，．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式.四、解答题（二）（20题，21题每小题7分，22、23每小题7分，共30分）20.已知，，求下列代数式的值：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值．【小问1详解】∵，，∴【小问2详解】∵，，∴【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．21.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；

（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【详解】（1）证明：如图，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：连接DF，

∵AF∥BC，AF＝BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF＝AB＝5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S＝AC•DF＝10．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．22.已知函数．（1）若这个函数经过原点，求m的值．（2）若函数的图象平行于直线，求m的值；（3）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可．（2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可；（3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可．本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键．【小问1详解】∵关于x的函数的图象经过原点，∴点满足函数的解析式，∴，解得．【小问2详解】∵函数的图象平行于直线，∴，∴；【小问3详解】函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴m的取值范围是．23.“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；（2）当（千米）时，求剩余油量Q的值；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【答案】（1）升/千米，（2）17升（3）他们能在汽车报警前回到家，理由见解析【解析】【分析】(1)根据平均每千米耗油量总耗油量行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；(2)代入求出Q值即可；(3)根据行驶的路程耗油量平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论．小问1详解】解：该车平均每千米的耗油量为（升/千米）；∴；【小问2详解】当时，（升）；【小问3详解】千米；∵，∴他们能在汽车报警前回到家．【点睛】本题考查利用关系式表示变量之间的关系．解题的关键是正确的列出函数解析式．五、解答题（三）（24题，25题各12分，共24分）24.我们已经学过完全平方公式，知道所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：．∴的算术平方根是，根据上述方法化简和计算：（1）．（2）．（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据题意计算即可．（2）计算即可．（3）根据，得到，继而得到，且a，m，n均为正整数，分类计算即可．本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键．【小问1详解】∵，∴．【小问2详解】∵∴．【小问3详解】∵，∴，∴，∴，∵a，m，n均为正整数，∴或，故或．25.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．