高考数学一轮复习专题训练：空间中的位置关系与体积、表面积（含详细答案解析）

第9单元空间中的位置关系与体积、表面积第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，为异面直线，直线，则与（）A．一定异面 B．一定相交 C．不可能相交 D．不可能平行【答案】D【解析】若，因为直线，则可以得到，这与，为异面直线矛盾，故与不可能平行，选项D正确，不妨设，为正方体中的棱，即为棱，为棱，由图可知，而此时与相交，故选项A错误，选项C也错误，当取时，与异面，故选项B错误，故选D．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选B．3．在正方体中，与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：因为正方体中与平行，所以即为与所成角，设正方体棱长为，则，在中，，故选C．4．下列说法错误的是（）A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D．5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，，则 D．若，，，则【答案】D【解析】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误；若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确，故选D．6．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．282【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积．故选B项．7．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以，，，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B．8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半径为，所以球的体积为，故选D．9．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到面的距离为6，则这个“羡除”体积是（）A．96 B．72 C．64 D．58【答案】C【解析】如图所示，多面体切割为两个三棱锥E﹣AGD，F﹣HBC和一个直三棱柱GAD﹣HBC，因为，且到平面的距离为6，，所以这个“羡除”体积为．故选C．10．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面 B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为【答案】C【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误；D选项：因为平面平面，连接，则，所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴，又，sin，∴，D正确，故选C．11．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为（）A． B． C．5 D．【答案】C【解析】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠，由余弦定理得．12．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为PA⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，则，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为，则球O的半径的最小值为，因此球O的体积的最小值为．故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为，则的值为______．【答案】【解析】设圆柱的底面圆的半径为，则高为，则圆锥母线长为，所以，，所以，故填．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm．【答案】4【解析】设球半径为r，则由，可得，解得．15．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____．（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，且，则；（4）若，，则，【答案】（3）（4）【解析】若，则与可能平行，相交或异面，故（1）错误；若，则或，故（2）错误；若且，则，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得，故（4）正确，故答案为（3）（4）．16．已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆与圆的公共弦的长为，点是弦的中点，则四边形的面积为_____．【答案】2【解析】圆与圆为该球的两个小圆半径相等，且所在平面互相垂直，可得四边形OABC为正方形，设正方形的边长为x，小圆的半径为r，在中可得，在中可得，即，解得，故四边形的面积为，故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以O为AC1的中点，又因为D是棱AB的中点，所以OD∥BC1，又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为AC＝AA1，所以平行四边形ACC1A1是菱形，所以AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以AB⊥AA1，又因为AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，因为A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C，又因为AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1，因为BC1⊂平面ABC1，所以BC1⊥A1C．18．（12分）如图，在四棱锥的底面为矩形，点在底面的射影落在上．（1）求证：平面平面；（2）若分别是的中点，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）依题意，平面，又平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）因为平面，是的中点，所以是等腰三角形，又，，所以．因为是的中点，所以到平面的距离等于点到平面距离的一半，连接，所以．19．（12分）已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面．（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）如图所示：取BC和BD的中点H、G，连接HG，HG为所求直线，证明如下：因为BC和BD的中点H、G，所以，又平面平面，且，平面BCD，又平面平面，，得，所以，即，所以，所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行．（2）由（1）可得，即平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，记为，三角形ABC的面积，而三角形ACE的面积，用等体积法，可得，．20．（12分）如图所示，三棱柱中，，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：平面，，，，平面，又平面，平面平面．（2）取的中点，连接．，．又平面平面，且交线为，则平面．平面，，四边形为菱形，．又，是边长为正三角形，，．，面，面，面，，设点到平面的距离为，则．，，，．所以点到平面的距离为．21．（12分）已知三棱柱的底面是等边三角形，侧面底面，是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比．【答案】（1）见证明；（2）1：1．【解析】（1）取的中点，连接与交于点，连接，，则为的中点，，且，所以是平行四边形．又是棱的中点，所以．侧面底面，且，所以平面．所以平面，又平面，所以平面平面．（2）连接，设三棱柱的体积为．故四棱锥的体积，又是棱的中点，的面积是面积的，故四棱锥的体积，故平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比为1:1．22．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的表面积．【答案】（1）见证明；（2）4．【解析】（1）连接交于点，连接，点为中点，点为中点，点为的重心，，，，又平面，平面，平面．（2）因为，，，所以全等于，，，，所以，，在中，，，则边上的高为，所以，．第9单元空间中的位置关系与体积、表面积第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面【答案】C【解析】因为对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与垂直，故选C．2．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径，下底面半径，过做垂直，则，由，故，即圆台的高为3，所以圆台的体积为．故选B．3．如图，正方体中，为棱的中点，用过点、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正方体中，过点的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A．4．如图，正方体中，，，，分别为，，，的中点，则直线，所成角的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，根据，，，分别为，，，的中点，可得到是三角形的中位线，故得到，同理可得到，进而直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形，三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到的夹角为．故答案为C．5．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确，故选B．6．下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C． D．【答案】D【解析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5．底面四边形可以分割成二个三角形，面积，体积，故本题选D．7．古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，即圆柱的底面半径与球的半径相等，高等于球的直径，所以．故选D．8．矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与的交点为点，在矩形中，可得，当沿翻折后，上述等量关系不会发生改变，因为四面体的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点即为球心，在中，，故，所以球的体积为，故选A．9．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为平面平面，所以与平面所成角，即为与平面所成角，可知与平面所成角为．设，则，，平面面且面，可知，则，即，，在中，，故与平面所成角的正切值为，本题正确选项C．10．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体．关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以．故选A．11．以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长，以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以，故选C．12．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某长方体的长、宽、高分别为，，，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________．【答案】【解析】因为长方体的长、宽、高分别为，，，所以其体积为，其外接球直径为，故，所以其外接球体积为，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为．故答案为．14．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】∵，，寸，∴寸，在中，∵，∴，∴寸，∴圆柱底面的直径长是寸．故答案为26．15．已知两条不重合的直线，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：①若，，则；②若，，且，则；③若，，，，则；④若，，且，，则．其中所有正确命题的序号为______．【答案】②④【解析】逐一考查所给的命题：①若，，有可能，不一定有，题中的命题错误；②若，，且，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；③若，，，，若，有可能与相交，题中的命题错误；④若，，且，，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确，综上可得：正确命题的序号为②④．16．已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，其中平面，底面为正三角形，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】9【解析】由球的体积公式可得，不妨设底面正三角形的边长为，则，设棱锥的高为h，由三棱锥的性质可得，解得，据此可得．故，当且仅当，时等号成立．综上可得，三棱锥体积的最大值为9．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见证明；（2）见证明．【解析】（1）取的中点，连接，，在中，因为，分别为，的中点，所以，且，在三棱柱中，，又为棱的中点，所以且，从而四边形为平行四边形，于是，又因为面，面，所以平面．（2）证明：在中，因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，且面，所以平面，又面，所以平面平面．18．（12分）如图，四棱锥中，平面平面ABCD，E为线段AD的中点，且．．．（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）见证明；（2）4．【解析】（1）证明：∵，E是AD的中点，∴，又∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴，又，，∴平面PBE，又平面PAC，∴平面平面PAC．（2）解：由（1）知平面PBE，故，∵，∴四边形BCDE是平行四边形，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴．∴．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（1）设分别为的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】（