高考数学一轮复习专题训练：选修4-4坐标系与参数方程（含详细答案解析）

第16单元选修4-4坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的斜率为（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，斜率．故选C．2．点的极坐标为，则的直角坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，可得，，即点的坐标为，故选D．3．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】B【解析】方程，可化简为，即．整理得，表示圆心为，半径为的圆．故选B．4．参数方程的普通方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，，且，据此可得普通方程为．故选C．5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，得，，由，得，结合点在第二象限，可得，则点的坐标为，故选C．6．与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．7．点的直线坐标为，则它的极坐标可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，因为点在第二象限，故取，，故选C．8．圆半径是1，圆心的极坐标是，则这个圆的极坐标方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为，则圆的标准方程为：，即，化为极坐标方程即：，整理可得：．故选C．9．若曲线（为参数）与曲线相交于，两点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，又，∴，故选C．10．已知曲线的参数方程为（为参数），则该曲线离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得曲线的普通方程为，所以曲线是椭圆，，．所以椭圆的离心率为．故选A．11．在极坐标系中，设圆与直线交于，两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程．由，解得或，所以，，从而以为直径的圆的直角坐标方程为，即．将其化为极坐标方程为，即，故选A．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是（）A． B． C． D．但【答案】C【解析】，所以，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点到直线（为参数）的距离是__________．【答案】【解析】直线一般方程为，利用点到直线距离公式，填．14．极坐标方程化为直角坐标方程是_______．【答案】【解析】极坐标方程即，则直角坐标方程是．15．在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．【答案】【解析】圆，转化成，用，，，转化成直角坐标方程为，把直线的方程转化成直角坐标方程为，由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，则，解得，，则负值舍去，故，故答案为．16．点在椭圆上，求点到直线的最大距离是________．【答案】【解析】设点的坐标为，则点到直线的，

由，∴当时，取得最大值为，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在极坐标系下，已知曲线：和曲线：．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）当时，求曲线和曲线公共点的一个极坐标．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）圆：，即，曲线的直角坐标方程为，即，曲线：，即，则曲线的直角坐标方程为：，即．（2）由，得，则曲线和曲线公共点的一个极坐标为．18．（12分）已知曲线的极坐标方程是，在以极点为原点，极轴为轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线．（1）求曲线的参数方程；（2）直线过点，倾斜角为，与曲线交于、两点，求的值．【答案】（1），（为参数）；（2）．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．∴曲线的参数方程为，（为参数）．（2）设的参数方程为，代入曲线的方程化简得，∴．19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值．【答案】（1）：（为参数），：；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为，（为参数），的直角坐标方程为，即．（2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆．设，则．当时，取得最大值．又因为，当且仅当，，三点共线，且在线段上时，等号成立．所以．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程；（2）极坐标方程为的直线与交，两点，求线段的长．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），可得，．因为，可得，即曲线的普通方程：．（2）将的直线化为普通方程可得：，即，因为直线与交，两点，曲线的圆心，半径，圆心到直线的距，所以线段的长．21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，于是，直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以．22．（12分）在直角坐标系中．直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为．（2）将代入，得，解得，．故，即．由于的半径为1，所以是直角三角形，其面积为．第16单元选修4-4坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线与圆相切，则（）A．或6 B．或4 C．或9 D．或1【答案】A【解析】把直线与圆的参数方程分别化为普通方程得：直线；圆．∵此直线与该圆相切，∴，解得或6．故选A．2．椭圆的参数方程为，则它的两个焦点坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程，所以椭圆的半焦距，两个焦点坐标为，故选A．3．直线的参数方程为，则直线的倾斜角大小为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C．4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．若以射线为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得曲线普通方程为，又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D．5．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆是以为圆心，1为半径的圆故圆的两条切线方程分别为，，故选B．6．已知点的极坐标为，则点关于直线的对称点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】点的极坐标为，即为，∴点关于直线的对称点坐标为，故选A．7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，，圆心到直线的距离，∴两曲线相交，有2个交点．故选C．8．若曲线C的参数方程为，则曲线（）A．表示直线 B．表示线段 C．表示圆 D．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程消去参数可得．又，∴．∴曲线表示圆的右半部分．故选D．9．已知为曲线上的动点，设为原点，则的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】从曲线的参数方程中消去，则有，故曲线为圆，而，故的最大值为，故选D．10．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，是曲线上的动点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是，以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，则直线与曲线相交所得的弦的长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲线的参数方程是，化为普通方程为：，表示圆心为，半径为2的圆．直线的极坐标方程是，化为直角坐标方程即为．圆心到直线的距离为．直线与曲线相交所得的弦的长为．故选C．12．已知点在曲线上，则点到直线的距离的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】直线的普通方程为，点到直线距离为，因为，所以，因此取值范围是，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点与圆的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点的坐标为，∵，∴，∴，∴．∴圆心的坐标为，∴点到圆心的距离为，故答案为2．14．若点在以为焦点的抛物线上，则等于_________．【答案】4【解析】抛物线可化为，∵点在以为焦点的抛物线，上，∴，∴，∵，∴，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线极坐标方程为，它与曲线相交于两点、，则__________．【答案】2【解析】∵，利用，进行化简，∴，，相消去可得圆的方程为得到圆心，半径为3，圆心到直线的距离，∴，∴线段的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点在圆上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为，∴抛物线的普通方程为，则，∵动点在圆上，∴圆的标准方程为过点作垂直于抛物线的准线，垂足为，如图所示：∴，分析可得：当为抛物线的顶点时，取得最小值，其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数．【答案】（1）；（2）3个．【解析】（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即．（2）由直线的参数方程消去参数得，即．因为圆心到直线的距离为，恰为圆半径的，所以满足这样条件的点的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）消去直线的参数方程中的参数，得到直线的普通方程为，把曲线的极坐标方程左右两边同时乘以，得到，利用公式代入，化简出曲线的直角坐标方程．（2）点的直角坐标为，将点的直角坐标为代入直线中，得，即，联立方程组，得中点坐标为，从而．19．（12分）已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将代入，得的参数方程为，∴曲线的普通方程为．（2）设，，又，且中点为，∴，又点在曲线上，∴代入的普通方程得，∴动点的轨迹方程为．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线，的普通方程；（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1），即曲线的普通方程为，∵，，，曲线的方程可化为，即．（2）曲线左焦点为直线的倾斜角为，，∴直线的参数方程为将其代入曲线整理可得，∴．设，对应的参数分别为，，则∴，．∴．21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．【答案】（