高中数学概率-重点问题探讨

中学数学中古典概率应用上之易错处探究

-*、基本樵念

(1)分类计数原理：N=ml+m2+---+mn

(2)分步计算原理：N—叫也…

(3)排列:一般地，从〃个元素中取出加个元素(相＜〃)，依据肯定的快因排成一列，叫

做从〃个元素中取出，"个元素的一个排列。从〃个元素中取出，”个元素(加《〃)的全部排列

的个数，叫做从〃个不同元素中取出，”个元素的排列数，用符号4"表示，

(4)组合：一般地，从〃个不同元素中取出，"个元素(机并成一组，叫做从〃个

元素中取出m个元素的一个组合。从〃个元素中取出m个元素的全部组合的个数，叫做从〃个

不同元素中取出加个元素的组合数，用符号C；表示。

,A：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

qrnk——0

(5)必定事务：在肯定的条件下必定要发生的事务。

(6)不行能事务：在肯定的条件下不行能发生的事务。

(7)随机事务：在肯定的条件下可能发生也可能不发生的事务。

(8)在相同的条件下，进行了〃次试验，在这〃次试验中，事务A发生的次数〃人称为事

务A发生的频数。比值区称为事务A发生的频率。

n

(9)一般地，在大量重复进行同一试验时，事务A发生的频率.总是接近于某个常数,

n

在它旁边摇摆，这时就把这个常数叫做事务A的频率，记作P(A),且一次试验连同其中可能

出现的每一个结果称为一个基本领件，通常此试验中的某一个事务A由几个基本领件组成，

假如一次试验中可能出现的结果有〃个，即此试验由〃个基本领件组成。而且全部结果出现

的可能性相等，那么每一个基本领件的概率都是工。假如某个事务A包含的结果有根个，那

n

么事务A的概率

P(A)=%。

n

1.“有放回摸球”与“无放回摸球”

“有放回摸球”与“无放回摸球”主要有以下区分：

(1)无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球时总数比前次少一；而有

放回的摸球是每次摸出一球放在袋内，下次再摸球时袋内球的总数不变。

(2)“无放回摸球”各次抽取不是相互独立的，而“有放回摸球”每次是相互独立的。

下面通过一个例题来进一步的说明“无放回摸球”与“有放回摸球”的区分。

例1袋中有1,2,3,…，N号球各一个，采纳①无放回，②有放回的两种方式摸球,

试求在第k次摸球时首先摸到一号球的概率。

解：设为事务“第i次摸到一号球"(i=l,2,…外。

①无放回摸球

若把2次摸出的2个球排成一排，则从N个球任取左个球的每个排列就是一个基本领件,

因此基本领件的总数为以数码1,2,­,N中任取k个数码的排列数，n=P/

下面求事务从包含的基本领件数〃事务以可分两步完成：先在第Z个位置上排上1号球,

只有一种排法，再在前A-1个位置排其它N-1个球，共有P盘种排法，由乘法原理知，事务

厚包含的基本领件数为

“2=1X=P/3，

从而

rjA:-11

②有放回的摸球

因为有放回摸球，每次袋中都有N个球，共摸Z次，故共有N,种可能结果，既基本领件

总数为〃=N,事务2可分为两步完成：前人-1次未摸到1号球，共有机=Ni,于是

。出)一丁』-°

分析：对于有放回摸球与无放回摸球题型，在审题时肯定要留意是有放回还是无放回，

然后依据题意来考虑排列与组合的应用，总之，肯定要抓住题目的隐含条件与已知条件的关

系，所要求的问题与已知条件之间的连接点，这样才能够很快的解决问题而不至于错误。

2.“隔板法”

隔板法是插空法的一种特别状况，它的运用特别广泛，能解决一大类组合问题。下面用

一个详细的例子来说明它的运用的优越性。

例2将9个相同的小球放到六个不同的盒子里，每个盒子至少放一个球，有多少种不同

放法。

解法一：先在盒子里各放一个球，再把剩下的3个球放到6个盒子里，分三类：

①3个球放到一个盒子里，有C：种放法；

②3个球放到两个盒子里，球数分别为2,1,共配种放法；

③3个球放到3个盒子里，每个盒子各一个球，共C：种放法。依据分类计数原理，共有

媒+代+=56种放法。

解法二（隔板法）：把6个盒子看做由平行的7个隔板组成的，每一个满意要求的放法'

相当于9个小球和7个隔板的一个排列，其中2个隔板在两头，任何2个隔板之间至少有1

个球（既任何2个隔板不相邻），把两头的2个隔板拿掉，每一个满意要求的放法还相当于

再排成一列的9个小球间8个空档中插入5个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有

=56种。

分析：对于用隔板法解决概率问题，一般都是将问题的思索角度进行转化，使问题从多

向思维向单一思维转化，然后把问题的本质找出来进行剖析，问题自然就很好理解了。上述

解法2应用了对应的方法，转化为插空问题，计算比较简洁，但不易理解，等理解透彻后，

就会发觉隔板法是特别好用的，是具有普适性的方法。但肯定要留意的是应用此法的前提是

小球是完全相同（不加区分），盒子是不同的，每个盒子至少放一球。

例3要从高一年级8个班中产生12学生代表，每个班至少产生一名代表，则代表名额

的安排的方案至少有多少种？

解：这个问题假如用原始的方法来分析，是比较麻烦的额，但假如转化问题的角度，用

“隔板法”来理解，这个问题就简洁解决了。把12个名额看做12个相同小球，8个班看做

8个不同的盒子，用隔板法知道名额安排方法共有G1种。

3.分组问题

分组问题时排列组合中的一个难点，主要有以下两种状况。

（1）非平均分组问题

在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同。

例4把12人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数：

①分成甲'乙'丙三组，其中甲组7人'乙组3人、丙组2人。

②分成三组，其中一组7人、一组3人'一组2人。

解：①先从12人中任选7人为甲组，余下5人中任选3人为乙组，剩下2人为丙组，则

共有G,zC；。；种不同的方法。

②先从12人中任选7人为一组有C］种选法，再从余下5人中任选3人有C；种选法，剩

下的两人为一组，共有种不同的选法。

分析：在第一个问题中，学生很简洁受到干扰，就是对于甲、乙、丙三组，和分成三组

时否须要乘以的问题。但是由于各组的人数不同，这个问题属于非平均分组问题，虽然第

一小问给出了分组的名称，但是这个并不影响最终的结果，它们的分组方法都是一样的。

（2）平均分分组问题。

分析：上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中

肯定要留意问题是否给出了详细的组名，它们的结果是不同的。

例5有6本不同的书，按下列要求安排，各有多少种分发。

①分给甲、乙、丙三人，每人2本；

②平均分成三份。

解：①从6本书中任取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另外一个人，剩下的

2本给最终一个人，共有C；C：C；=90种分法。

②设平均分成三堆有x种分法，在分给甲乙、丙三人每人各2本，则应有xxA?=C；C：C；

种分法。所以有》=盘华种不同的分法。

说明：上面例子中可以看出：两个问题都是分成三堆，每堆两本，属于平均分组问题，

而(1)分到甲'乙'丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲'乙'丙三个指定的组，但

(2)没有给出组名，因而是不同的。

规律：一般地，把〃加个元素平均分到加个不同的位置，有第CLC；种方法，

把〃〃7个不同元素平均分成〃7组有或-%d种分法。

m\

4.圆排列与重复组合问题

(1)圆排列

定义1：从”个不同的元素中任取见机＜〃)个，依据肯定的依次排成圆形，叫做一个圆排

列。

定义2：从〃个不同的元素中取出皿机4”)个元素的全部圆排列的个数，叫做圆排列数，

用符号R；表示。

例65个挚友坐在圆桌四周时，席位排列方法有几种？

解：设5个人分别为a,b,c,d,e,把他们排成一排时，排列的数目是5!,排成圆形

时，像下图那样只是转了一个地方的排法被看做是一样的，所以依据乘法原理得：

居x5=5!

51

所以7?：=-=24

5

答：席位的排列方法有24种。

命题1：n个不同的元素的圆排列数R：：=(〃-1)!。

例7有6名同学做成一圆圈做嬉戏，有多少种做法？

解：据命题一，瞪=(6-1)!=120种。

答：共有120种。

命题2：从〃个元素中取出m[m<〃）个元素的圆排列数R：=第,（加-1）!。

证明：从〃个不同元素中取出机个元素的组合数为C；种，而将这"个元素排成圆形由命

题1共有种方法，于是由乘法原理得

（2）重复组合

定义3：从〃个不同的元素中任取，〃个元素，元素可以重复选取，不管怎样的依次并成一

组叫做重复组合。

一’定义4：从〃个不同的元素中取出〃，个元素的全部重复组合的个数，叫做重复组合数，用

符号表示。

例8有5个数1,2,3,4,5,同一个数允许选用随意次，求从中选出3个的重复组合

数。

解：假如从5个中选出3个时，选的都是不同的数，那么很明显组合数为以，但是同一

个数允许选用随意次，因此像（1,1,1）,（1,2,1）,（4,4,5）,…的组合也应在算内，

所以要想方法，把问题转化成选取的全是不同元素的问题，为了把上述（1,1,1）,（1,2,

1）,（4,4,5）改成全是不同的数，先把这些数按从小到大的依次排列起来得到（1,1,1）,

（1,2,1）,（4,4,5）„然后第一个数不变,在其次个数上加1,在第三个数上加2,这

就变成：（1,2,3）,（1,2,4）,（4,6,7）0

一般地（4"c）c（a,"+l,c+2）,可以证明左右两边是---对应的（左右各有一组相互对

应，一组不能和两组以上对应）。这样，中即使有相同的元素，在上述的一一对应中,

也能够变更成没有相同的元素组，所以从整体上来说，结果就成了从1,2,3,4,5,6,7

的7个数中选取3个不同的元素的组合问题了，即

^=C3=7X6X5=35O

1x2x3

答：从1,2,3,4,5中选取3个数的重复组合数为35。

命题3：从n个不同的元素中选取出m个元素的重复组合数为

Tjm_z-iwi

nn~Cn+/M+I°

例9从3,5,7,11这4个质数中任取两个相乘，同一个数允许重复运用，可以得到

多少个不相同的乘积？

解：依据命题3有：”：=C，T=10个。

答：可以得到10个不相等的乘积。

分析：圆排列和重复组合问题时高考中的难点，学生在平常的理解过程中往往也存在许

多的理解上的问题，主要是因为他们在平常的训练当中已经习惯性的接受了全排列和不重复

组合的许多的例题，导致了思维的本能反应而导致错误，老师在讲解这两个学问点的时候最

好能够重新给学生建立相应的学问体系，在讲完这一个学问点以后再与前两个学问点进行相

应的比照理解和学习，这样可能更好的促进教学，学生也能够很好的接受。

5.连排与间隔排

(1)排列中的“连排”问题(我们称要求某些元素必需排在一起的排列问题为“连排”问

题)：

例10某班有学生38人，其中男生24人，女生14人，现将他们排成一排，女生必需

排在一起的排法有多少种？

我们称要求某些元素必需排在一起的排列问题为“连排”问题。

解：由于14名学生必需排在一起，所以我们可以将14名学生看成1个“人”，把38人

的排列问题看成24+1=25人的问题，共有&s种，再考虑到14名学生之间的排法&*,因此

女生必需排在一起的排法种数为&5凡4种。

一般地，在"个不同的元素中，某火个元素排在一起的排法种数有《'片:片种。

例11某班有38名同学，其中第一组的12名同学必需排在一起且第一组中的5名女同

学又必需排在一起的排列方法有多少种？

解：将第一组的12名同学看成一个“人将38名同学的排列问题看成27人的排列的

问题，共有排法用7种，再考虑到12名同学的排列方法，依按例1,可知第一组的12名同学

要求5名女生排在一起的排法共有种。因此总的排法种数有87MH种。

命题4：一般地，〃个不同元素的排列中，某左个元素必需排在一起的且在这Z个元素中

的某/个元素有必需排在一起的排法共有种。

分析：“连排”问题的类型许多，不行能一一例举，处理“连排”问题的基本方法，就是

将要求排列在一起的元素看成一个整体，将它作为一个元素放到问题中去处理，之后再考虑

这个整体的内部排列。

(2)“间隔排”问题

我们称要求某些元素中的任何两个都不能排列在一起的排列问题为“间隔排”问题。例

12某班有59名同学，其中第一小组有14名，现将他们排成一排且要求第一小组的任

何两名同学都不排在一起的排法有多少种？

解：首先将不要求间隔的同学先排列有片$种排法，然后再将要求间隔排的同学插入已排

的45位同学的46个空档（包括两头）中去，有琛种插入方法，所以总的排法种数共有碟&5

种。

命题5：一般地，在n个不同元素的排列中，某k（Z4等）个元素中的任何两个元素不排

列在一起的排法有《酎笈川种。

例13现有数字1,2,3,4,5,6,用它们（不重复）可组成多少个各位上奇偶相间的

六位数？

解：首先将1,3,5先排共有种排法，再将2,4,6插入已排的1,3,5的空档中去,

考虑到奇偶数字要相间排列，故只有两大插法。在2,4,6之间还要考虑依次关系，所以插

法共有2年种，故可组成2®片个奇偶相间的六位数。

分析：处理“间隔排”问题的基本方法是将不要求间排的元素先排，之后再考虑将要求

间隔排的元素插入已排元素的空档中间去。

重复计算或者漏计算

求解排列组号问题时，常有遗漏或重复的状况，导致解答错误，下面将求解排列组合问

题时几类常见的错误进行分析，以引起留意。

（1）对一些数学概念的意义把握不准，出现遗漏或重复。

例14数2310有多少个正约数？

错解：因为2310=2x3x5x7x11,所以从这5个质数中分别取1个，取2个，取3个，

取4个，取5个的积都是2310的正约数，故正约数有

C+C；+C：+C；+C；=31（个

分析：上述解法其实有遗漏，缘由对正约数的概念驾驭不深化，所谓的正约数是指：若

有一个正约数c（此处的整数指正整数），使得整数“与〃之间适合a=A,则称可整除a,

记作〃I",这时”称为b的倍数，方称为〃的约数，因为112310,所以1也是2310的一个

正约数，所以正确的解答为

C+C+G+C+或+1=32（个

（2）对题意要求或约束条件考虑不周，出现遗漏或重复或者不符题意的解答。

例15用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数，能够组成多少个大于240135

的正整数？

错解：用这6个数字组成比2