年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测210变化率与导数导数的运算

[课时跟踪检测][基础达标]1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2∴f′(x)＝3(x2－a2)．答案：C2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0解析：曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．且f′(x)＝2－ex，∴f′(0)＝1.所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.答案：C3．f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0等于()A．ex B．1C．ln2 D．e解析：f′(x)＝2016＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2017＋lnx，由f′(x0)＝2017，得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.答案：B4．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：由于y′＝e－eq\f(1,x)，所以＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.答案：C5．(2017届开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝()A．－1 B．1C．3 D．4解析：对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.答案：C6．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2017)＝6，则f′(－2017)为()A．－6 B．－8C．6 D．8解析：∵f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x－4ax3＋bsinx＋7.∴f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2017)＝6，∴f′(－2017)＝14－6＝8，故选D.答案：D7．(2017届衡水调研)曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：∵y＝1－eq\f(2,x＋2)＝eq\f(x,x＋2)，∴y′＝eq\f(x＋2－x,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A8．如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B．(1,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(2,3)解析：由函数f(x)的部分图象得0<b<1且f(1)＝0即有a＝－1－b，从而－2<a<－1，而g(x)＝lnx＋2x＋a在定义域内单调递增，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1＋a－ln2<0，g(1)＝2＋a>0，∴g(x)的零点所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故选C.答案：C9．下列三个数：a＝lneq\f(3,2)－eq\f(3,2)，b＝lnπ－π，c＝ln3－3，大小顺序正确的是()A．a>c>b B．a>b>cC．a<c<b D．b>a>c解析：设f(x)＝lnx－x，(x>0)，则f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，故f(x)在(1，＋∞)上是减函数，且1<eq\f(3,2)<3<π，故f(π)<f(3)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即a>c>b，故选A.答案：A10．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cosx，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为()A．(0,1) B．(1，eq\r(2))C．(－2，－eq\r(2)) D．(1，eq\r(2))∪(－eq\r(2)，－1)解析：∵f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在(－1,1)上为增函数，又∵f(1－a)＋f(1－a2)<0，∴f(1－a)<－f(1－a2)＝f(a2－1)．∴－1<1－a<a2－1<1，解得1<a<eq\r(2).故选B.答案：B11．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，axeq\o\al(2,0)－a)．则g′(x0)＝2ax0＝1，且axeq\o\al(2,0)－a＝x0＋1.解得x0＝－1，a＝－eq\f(1,2)，切点坐标为(－1,0)．答案：－eq\f(1,2)(－1,0)12．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.答案：013．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)．又切线过点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∴xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.14．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝eq\f(3x2,2)＋ax，g(x)＝4a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．(1)若a＝1，求两曲线y＝f(x)和y＝g(x)在公共点的切线方程；(2)用a表示b.解：(1)当a＝1时，f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x，g(x)＝4lnx＋b(x>0)，设曲线在(x0，y0)处切线相同，则有f′(x0)＝g′(x0)，即3x0＋1＝eq\f(4,x0)，可得x0＝1或x0＝－eq\f(4,3)(舍去)．故在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))处切线相同，此时k＝f′(1)＝4，∴切线方程为y－eq\f(5,2)＝4(x－1)，即8x－2y－3＝0.(2)∵f′(x)＝3x＋a，g′(x)＝eq\f(4a2,x)，设在(x0，y0)处切线相同，故有f′(x0)＝g′(x0)，f(x0)＝g(x0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0＋a＝\f(4a2,x0)，①,\f(3,2)x\o\al(2,0)＋ax0＝4a2lnx0＋b，②))由(1)得x0＝a或x0＝－eq\f(4,3)a(舍)．代入②式得b＝eq\f(3,2)a2＋a2－4a2lna＝eq\f(5,2)a2－4a2lna.[能力提升]1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．解析：由f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)得，f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝eq\f(1,4)，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－eq\f(1,4)＝ax.设直线y－eq\f(1,4)＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－eq\f(1,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx0－\f(1,4)＝ax0，①,a＝－\f(1,x0).②))将②代入①得lnx0＝eq\f(3,4)，∴x0＝eeq\f(3,4)，∴a＝－eq\f(1,e\f(3,4))＝－e－eq\f(3,4).答案：－e－eq\f(3,4)2．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)为偶函数，∴2a＝0，即a∴f′(x)＝3x2－3，k＝f′(0)＝－3，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.答案：y＝－3x3．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f