西南交大 数值分析题库

考试目标及考试大纲

本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，

依据教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系

和应用方法等主要内容的驾驭水平。通过它可以有效鉴别和分别不同层次的学习水平，从而可以对学生的

学习成果给出客观的综合评定结果。

本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念，重点内容和重要方法的考

查。考试内容包括以下部分：

绪论及误差：肯定误差及相对误差，有效数字，误差传播分析的全微分法，相对误差估计的条件

数方法，数值运算的若干原则，数值稳定的算法，常用数值稳定技术。

非线性方程求解：方程的近似解之二分法，迭代法全局收敛性和局部收敛定理，迭代法误差的事

前估计法和事后估计法，迭代过程的收敛速度，r阶收敛定理，Aitken加速法，Nerrto/?法及弦截法，

牛顿局部收敛性，Nemo/?收敛的充分条件，单双点割线法(弦截法)，重根加速收敛法。

解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件，全主元消去法，列主元消去法，高斯-若当

消元法，求逆阵，各种消元运算的数量级估计及比较，矩阵三角分解法，Doolittle和Crout三角

分解的充分条件，分解法的手工操作，平方根法，Cholesky分解，改进的平方根法(免去开方)，可

追逐的充分条件及适用范围，计算困难性比较，严格对角占优阵。

解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数，常用向量范数的计算，范数的等价性，矩阵的相容范

数，诱导范数，常用范数的计算；方程组的性态和条件数，基于条件数误差估计及迭代精度改善方

法；雅可比(Jacobi)迭代法，Gauss-Seidel迭代法，迭代收敛及谱半径的关系，谱判别法，基于

范数的迭代判敛法和误差估计，迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有

关结论；松弛法及其迭代判敛法。

插值法：插值问题和插值法概念，插值多项式的存在性和唯一性，插值余项定理：Lagrange插值

多项式；差商的概念和性质，差商及导数之间的关系，差商表的计算，牛顿(Newton)插值多项式；

差分，差分表，等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数，误差估计，插值龙格(Runge)

现象；分段线性插值，分段抛物插值，分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线及样条函数，三

次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。

曲线拟合和函数靠近：最小二乘法原理和多项式拟合，函数线性无关概念，法方程有唯一解的条

件，一般最小二乘法问题，最小二乘拟合函数定理，可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式

曲线拟合，离散正交多项式的三项递推法。最佳一样靠近问题,最佳一样靠近多项式,切比雪夫多项

式,切比雪夫最小偏差定理,切比雪夫多项式的应用(插值余项近似微小化,多项式降幕)。本段加黑

斜体内容理论推导可以淡化，但概念须要理解。

数值积分及微分：求积公式代数精度，代数精度的简单判法，插值型求积公式，插值型求积公式

的代数精度：牛顿―柯特斯(Newton-Cotes)公式，辛卜生(Simpson)公式，几种低价牛顿―柯特斯求

积公式的余项；牛顿一轲特斯公式的和收敛性，复化梯形公式及其截断误差，复化Simpson公式及其截

断误差，龙贝格(Romberg)求积法,外推加速法,高斯型求积公式，插值型求积公式的最高代数精

度，高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法,高斯公式权系数的建立,Gauss-Legendre公式

的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念须要理解。

常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法，龙格一库塔法，阿当姆斯

方法。

本套题库均采纳闭卷考试，卷面总分为100分。试题形式分为判别正误，多项选择，填空，解答

和证明等多种题型。其中推断题，多项选择题和填空题覆盖整个内容范围，题量多而广，重点集中在基

本概念，公式和方法的构建及处理思想等方面，此类题型主要用于考查学生对整体内容的理解及驾驭状

况；解答题重点放在主要的计算技术和方法的详细实现过程，主要考查学生对主要计算技术，技巧和方

法理解及驾驭状况；证明题主要集中在主要的计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析实力

和知识的综合运用实力。

本课程的考试方法及要求：期末闭卷考试，按时完成上机习题。

学习合格条件：考试卷面成果60且上机习题符合要求，二者缺一不可。

综合成果：原则上=卷面成果，但可参考上机习题完成状况作微调。

填空题

1绪论

(1).要使三’的近似值的相对误差限0.1%,应至少取_4___位有效数字。

1

2fl,

J^'=0.4…10,ai=4,r10«自>〈0.现，故可取n4,即4位有效数字。

(2).要使的近似值的相对误差限0.1%,应至少取。位有效数字,此时的肯定误差限为

(3).设尸f(1,无)若不,息，的近似值分别为**,X：*,令二F(为*,用*)作为y的近似值，其肯定误

差限的估计式为:Im汨*,袋*)|x「x*J+|f(x*,矛*)以2-X*」

(4).计算f=(,取J2=1.4,利用下列算式，那个得到的结果最好？答：_C.

]]

(A)(血-I》，⑻(3-2上)；(C)G+R^)3,⑼99-706

(5).要使斤的近似值的相对误差限0.1%,应至少取位有效数字？

1

2fl|0

4…10,a,=4,r10^<0.1%

故可取n3.097,即4位有效数字。

厂y

(6).设下3.214,尸3.213,欲计算产，6只一’,请给出一个精度较高的算式r.u=Jx+77

(7).设产3.214,片3.213,欲计算请给出一个精度较高的算式叶—.u=正需

(8).设产F(E,枭)若为,枭,的近似值分别为**,天*，令产"(**,**)作为y的近似值，其肯定误差限的

估计式为:_IIf(X)*,22*)|X1-X*>I+I/(X*,X^)IX2-X*21;_

2方程根

(9).设迭代函数Or)在/邻近有r(1)阶连续导数，且广二(承)，并且有‘给(户)=0

(公1,…，L1),但s(/)0,则右尸E)产生的序列｛%｝的收敛阶数为_r_

li=t

(10).称序列｛%｝是P阶收敛的假如

(II).用牛顿法求f(x)=0的〃重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0的单根,

/UI

u(x)J⑴

(12).用Newton法求方程f(x)“'+10;r—20=0的根，取初值禹二1.5,则ATF

x,=l.5970149

(13).用牛顿法解方程一^^^7K■的迭代格式为一

解

(14).迭代过程为收敛的充分条件是I“竭—1.

(15).用Newton法求方程f(x)=x：'+10x-20=0的根，取初值x产1.5,则x尸1.5970149

(16).用牛顿法解方程一^^^7*的迭代格式为—

(17).用Newton法求方程/(x)+1OJT—20=0的根，取初值XF1.5,贝ijx尸解

XFI.5970149

(18).迭代公式名产及函+3a)/(34+a)是求尸的(12)阶方法

3方程组

(19).矩阵的"分解中L是•个为单位下三角阵而U是一个上三角阵

243、

—843

35

(7486

(20).设线性方程组的系数矩阵为A=),全主元消元法的第一次可选的主元素为

-8,或8_,第二次可选的主元素为.8+7/8或-8-7/8..列主元消元法的第一次主元素

为______8;第二次主元素为(用小数表示)7.5

(21).在方阵A的LU分解中，方阵A的全部顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的充分(充

分，必要)条件；严格行对角占优阵(能，不能)进行LU分解；非奇异矩阵不肯定

(肯定，不肯定)能进行LU分解。

(22).设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解唯一(唯一,不唯一).

210

A=12a

、几0a2」，为使A可分解为A=LL'，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，则

设工

a的取值范围是,取a=l,贝ijL二o

0

0

2

五

_「1一「

(1),A=L23」,则11利=

IMIL=,IHIU=

答：4,3.6180340,5；

1

三知方程组展平必W

则解此方程组的Jacobi迭代法—是—收敛(填

"是"或"不”)。

2—11

工己此方程组的Jacobi迭代矩阵为

(3).给定方程组31

贝ijaa=-1；且相应的Jacobi迭代序列是—发散的。

(4),设小二O工则/(X)关于Q0,l］的

EMBEDEquation.DSMT4

IK=T

(6).〃上的两个范数||x||p,Ilx|L等价指的是C,DR,CI|x||qLblLLDI|x||q:R

上的两个范数一肯定—是等价的。(选填“肯定”或“不肯定”)o

(7).则11刈=19，।闺匕=13,।WL=_12；

r1中甲

(8).已知方程组982比9」则解此方程组的Jacobi迭代法—收敛(填"收敛"

或“发散”),

(9),则11X1=IIXL=

解

1平甲一

(叫已知方程组⑷8之业^」则解此方程组的Jacobi迭代法

收敛

(填“是"或"不"),

21O2

P321」的Jacobi迭代矩阵Q32Q],-9,故Jacobi迭代

解(3)因

是收敛的,

5v+2y=S

Jv一2位=21其雅可比法的迭代矩阵是,高斯-塞德尔

(11).已知方程组

法的迭代格式是一

,、28

(J----2-一炉+

55

3

解DoC20

(12).已知方程组9^2】

,则解此方程组的Jacobi迭代法收敛

(填“是”或“不”)，

21

P32Li的Jacobi迭代矩阵S.…,

解因故Jacobi迭代是收敛

的,

(13).已知方程组匕供=2,廿，

迭代格式是‘其雅可比法的迭代矩阵是,高斯-塞德尔法的

11----»

og

55

oJ

L2O

解C201«

10

A=\

0lirrf=C

(14).2.,要使a应满意

I#vl

解

(⑸则I"HAJk=I因仁

1O1

AT

L—31,则|胤=

解

I0

A=3I||4=

(16).设若「」,则矩阵A的1-范数“Il4,cond,(A)=16.

(17).假如线性方程组小多用Jacobi迭代法，其迭代矩阵B满意

V。假如用Gauss-Seidel迭代法解此线性方程组4=力，则方法肯定

(肯定,

不肯定)收敛

(111n

1

1

(18).设则

(19),则I闺1=,I闺L=,lkMLj=

答案:(1)19,13,12；

(20).方程组/―七用超松驰法求解时，迭代矩阵为1fc要使

迭代法收敛，条件0〈<2是必要条件(充分条件，必要条件，充要条件)；假如A是正

定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当在区间(0,2)时。

laxi_1[0-o'

(21).给定方程组L0[2]，其Jacobi迭代格式的迭代矩阵为卜°0.

II

当M〈1时，Jacobi迭代格式收敛；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵为

0-111

,2fl1\iI

.」，当।।<1时Gauss-Seideli迭代格式收敛。

(22).已知方程组,则解此方程组的Jacobi迭代法是收敛(填

“是"或“不”)

ri2

(23).已知L3包则14—3_,11^6~7,A的谱半径戌EMBED

-(5+V33)

Equation.DSMT42

(24).(1),设-才则八无)关于q°」］的EMBEDEquation.DSMT4

IIX=1M.="ll<=/

(25)则||刈=||JML=,lixg

解

J5v^2y=8

(26).已知方程组氏29=2<,其雅可比法的迭代矩阵是,高斯-塞德尔法的

迭代格式是；

(2143、

-8413

1351

74R6人列主元消元法的第•次主元素为(13):

设线性方程组的系数矩阵为第二次主元

素为(用小数表示)(14);记此方程组的高斯―塞德尔迭代矩阵为属=(瞅)一，则或产(15),.

(13)-8;(14)7.5;(15)-17/4;

5插值

(27).在等式中，系数a*及函数f(x)直—关。(限填“有”或

“无”)

(28).设1*5)是关于互异节点M,名，…,的Lagrange插值基函数，则

9c0m=l,2,…,n

(29).用冰1个不同节点作不超过"次的多项式插值,分别采纳Lagrange插值方法及Newton插值

方法所得多项式(相等，不相等)。

[0,-1<x<0

0<X<1

,800

?+(x-1)•,1<i<2及函数2^H-2YH-1O<X<1

(30).函数

是三次样条函数的函数是f,另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连

。

a)设片⑸,%),k=l,2,•­•,5为函数尸/—3x+l上的5个互异的点，过几…,2且次数不

0,-1<X<0

/⑴=■r\0<I<1

X1+(x-1)2,1<X<2]

超过4次的插值多项式是上心里」。函数及

-炉H-2v4~L—

、七+心中，是三次样条函数的函数是，另一函数不是三次

函数22g(x)

样条函数的理由是不满意具有二阶连续导数。

(31).令f(x)=ax'+x'+3x+l,则f[2°,21,-,27]=；f[2°,2',-,2s]=_0

&A8

(32).设(7=0,1,,•­,n),则4°

=_x,这里(x,Xj,ij,n2)o

(33).牛顿插商及导数之间的关系式为：

(34).设廊X,乃是区间[a,b]上的互异节点，fCr)在[a,b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插

值多项式的余项为：兄3)=32

(35).在等式中，系数四及函数f(x)无—关.

(36).高次插值简单产生_____龙格(Rung现象.

(37).设月C&,%),A=l,2,—,5为函数尸，一3xH上的5个互异的点，过F,…,区且次数不超过4

次的插值多项式是/-3^1。

(38).令f(x)=x7+x'+3x+L则f[2",2I,-,2S]=0

(39).确定加1个节点的三次样条函数所需条件个数至少须要_4n_个

(40).若F(力充分光滑，若2n+1次多项式Ik“(x)满足k(x,)=fU),

bh.则称&(x)是f(力的

Hermite插值.多项式，且余项R(X)=/,(x)—H2n.i(X):

(41).设月⑸，㈤，h1,2,…,5为函数片上的5个互异的点，过几…，幺且次数不超过4

次的插值多项式是。

解(4)尸/—3xH

(42).用个作不超过"次的多项值插值，分别采纳Lagrange插值方法及Newton插

值方法所得多项式相等(相等，不相等)

6拟合

(1).采纳正交多项式拟合可避开最小二乘或最佳平方靠近中常见的法方程组病态问题。

(2).试确定［0,1］区间上2/的不超过二次的最佳一样靠近多项式p(x),该多项式唯一否？答：

p(x)=(3/2)x,;唯一。

(3).设f(x)Cla,b\,f(x)的最佳一样靠近多项式是—肯定—存在的。

(4).在函数的最佳一样靠近问题中，评价靠近程度的指标用的是函数的(10)范数,在函数的最佳

平方靠近问题中.评价靠近程度的指标用的是函数的(11)范数.无穷范数；llfll;2-范

数

(5).若｛«(x),K0,…，.(x))是［a,b］上的正交族。2为f(x)的最佳平方

一

=------

靠近。系数嬴=

(6).在函数的最佳一样靠近问题中，评价靠近程度的指标用的是函数的巨穿范数.

在函数的最佳平方靠近问题中,评价靠近程度的指标用的是函数的2范数.(无

穷范数：2-范数，1-范数)

(7).设f(x)=2"在「一1.11上的不超过3次最佳一样靠近多项式尸5)=2X—1/4.

(8).采纳正交多项式拟合可避开最小二乘或最佳平方靠近中常见的(9)问题.

(9),在函数的最佳一样靠近问题中，评价靠近程度的指标用的是函数的(10)范数.

(10).函数的最佳平方靠近问题中，评价靠近程度的指标用的是函数的范数.

(11).函数f(x)=|x|在［-1,1］的，次数不超过一次的最佳平方靠近多项式是

7积分

(43).Gauss型求积公式不是插值型求积公式。(限填“是”或“不是”)

(44).〃个不同节点的插值型求积公式的代数精度肯定会超过nJ次

(45).设C”称为柯特斯系数贝状=°=1_

(46).为辛卜生｛Simpson)公式具有—3—次代数精度。

(47).红阶,怕匕公式至少具有2JT+1次代数精度。

(48).设公式为插值型求积公式,

(49).23个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2。—1次。

(50).Gauss点及积分区间无关但及被积函数有关。

(51).当常数A=时，数值积分公式

是Gauss型积分公式

(52).Simpsons数值求积公式具有_次代数精度，用于计算

1

所产生的误差值为120

(53).形如“—的插值型求积公式，其代数精度至少可达到

阶，至多可达到_2n+l阶

(54).勒让德(Legendre)多项式是区间[-1,1]上，带权1正交的正交多项

⑶用梯形公式计算积分0rz7"今：此值比实际值上(大，小)

(55).用复化梯形公式计算积分工"x"，要把区间［0,1］一般要等分41份才能保

10^);假如知道丁国乂，则

证满意误差小于0.00005的要求(这里I—现

用复化梯形公式计算积分此实际值大(大,小)。

12办区间［°1］应分2129等分，即要计算个

(56).若用复化梯形求积公式计算积分

-X10-7

2130点的函数值才能使截断误差不超过2；若改用复化Simpson公式，要达到同样精

度区间［°』】应分丝等分，即要计算个25点的函数值。

(57).Simpsons数值求积公式具有3.次代数精度，用于计算

所产生的误差值为120

(58).形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到n.

阶，至多可达到__2n+l阶

公区间〔0」〕应分2129等分，即要

(59).若用复化梯形求积公式计算积分

-X10-7

计算个空L点的函数值才能使截断误差不超过2:若改用复化Simpson

公式，要达到同样精度区间1°』】应分或等分，即要计算个25点的函数值

(60).在以为内积的空间C［0,1］

中，及非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是

(61).Simpsons数值求积公式具有次代数精度，用于计算

所产生的误差值为

(62).形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到阶,

至多可达到..阶;

8微分方程

y'=〃x,y）

（25）.欧拉预报一校正公式求解初值问题।）'（"）="的迭代格式（步长为h）

此方法是阶方法。

匹LEMBEDEquation.DSMT4,此方法是

2阶方法。

（26）.称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为0（二'）。

（27）.求解微分方程数值解的尻ler法的肯定稳定区间是（一2,0）。

‘y'+y-x=0

<

（28）.欧拉预报一校正公式求解初值问题°，如取步长h=0.1,计算y@l）的近

似值为0.005000,此方法是2阶方法

（29）.（1）当以=,b=时，下述形式的RK公式为二阶公式

［｝,，=

（30）.欧拉预报一校正公式求解初值问题।4的迭代格式（步长为h）匹1=EMBED

Equation.DSMT4v'（取步长"）；当才n时，〃t

非线性方程求解

_-xlCT4

例4-2证明在［0,1］内有一个根，运用二分法求误差不大于2的根要迭代多

少次？

解答设,则；又因

故在［o,1］上单减，因此f（x）在［0,口上有且仅有-个

根。

运用二分法时，误差限（按例4-1的编号方式）为

所以需迭代14次即可。

例4-3求解方程的根，要求取书=05分别用简单迭代法，迭代法的加速方法:

,以及埃特金方法求解，要求误差应满意

解答（1）简单迭代法。此时迭代公式为

计算结果如下：

kXkkA

00.5100.5669072

10.6065306110.5672772

20.5452392120.5670673

30.5797031130.5674863

40.5600646140.5671188

50.5711721150.5671571

60.5648629160.5671354

70.5684380170.5671477

80.5664094180.5671407

90.5675596

此时已满意故取

（2）用加速技巧来做。在飞二35旁边，故取/kY王，此时迭代式为

计算结果如下：

kX”k及

00.530.56714980.5671431

10.60653070.566581740.56714340.5671433

20.56746190.5671318

此时已满意

（3）用埃特金方法来做。此时迭代式为

计算结果如下：

kCk5+iX*

00.5

10.60653070.54523920.5676239

20.56687080.56729790.5671433

30.56714330.5671433

此时不能再算了，因已达到精度要求，故取七即可

下石反^相切,试用迭代法求切点横坐标的

例4-4当R取适当值时，曲线

近似值，要求不少于4位有效数字，也不求R。

分析两曲线相切，在切点处曲线函数值相等，导数值相等，依据这些条件可列出切点横坐标应满意

的关系式,然后用迭代法求解。

的导数为二（.的导数/满意

解答；故

由两曲线相切的条件，可得

即

,因此-加斗*在（1,2）内有根。又在

.则，

(1,2)内，仅有一个根，构造迭代格式

取,计算结果如下:

由于,故取,即可保证有4位有效数字。即两曲

线切点的横坐标为1.438.

例4-5分别用单点弦割法和双点弦割法求।的根，要求

解答因没有极值点。由于

A因此*加2c在（1,2）内仅有-根。

（1）用单点弦割法，迭代公式为

取书计算结果如下:

kk.V

0151.368808644

1261.368808049

21.36842105371.368808115

31.36885126381.368808107

41.368803298

Vr即可

此时，已满意精度要求，故取—一

(2)若采纳双点弦割法，迭代公式为

仍取，5=耳干手,则有

k4k

xk

0131.368850469

1241.368808104

21.36842105351.368808108

--X.--_■—>---

取^^十『,可保证o

注记本题方程为Leonard。方程。Leonard。于1225年探讨了该方程，并得到了V

的结果，这在当时是特别重要的结果，但无人知道他是用何法而得。这时v.

例4-6用牛顿法求解Leonardo方程

要求匕书*

解答由上题知，人切*在(1,2)内有一个根，且故应取

%=2,利用牛顿迭代公式

计算结果如下：

kXkkX*

0131.368869419

11.641.368808109

21.38338870451.36880810