人教版初中数学中考专题复习《圆的综合题》导学案

人教版初中数学中考专题复习《圆的综合题》黔东南州复习专版导学案 黎平县地坪附中刘永怀姓名：班级：§复习目标1.重温圆的知识，掌握基本定理和公式2.掌握中考最新考题考点§教学过程一、温故知新圆常考相关知识1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。★如右图几何语言：∵O的直径CD垂直于弦AB，且垂足为点E（已知）∴AE=BE=，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（垂径定理）考试时，通常只有半径OD⊥AB，也能2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如右图几何语言：∵在O中，∠AOB=∠COD（已知或已证）∴AB=CD，AB=CD（圆心角定理）备注：在同圆或等圆中，相等的圆心角，相对的弧，相对的弦，三者知一推二。3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。★几何语言：∵∠C与∠D是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角（由图可知）∴∠C=∠D=（圆周角定理）圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；★②直径所对的圆周角是直角★；如右图几何语言：∵BE是O的直径（已知）∴∠C=∠AEB（同弧所对的圆周角相等）∴∠D=90°（直径所对的圆周角是直角）③90°圆周角所对的弦是直径（可以用于证明某条弦是直径）。如右图几何语言：∵∠D是O中弦BE所对的圆周角，且∠D=90°（已知）∴BE是O的直径（90°圆周角所对的弦是直径）4、圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。★5、弦切角定理：如果有一个角的两条边，一条边与圆相交，另一条边与圆相切，则于圆相交的两点之间的弧所对的圆周角与这个角相等，我们把这个角叫做弦切角。几何语言：如图所示：∵BP与O相切，AB、BC、AC都是O的弦（已知）∴∠PBC=∠A（弦切角定理）★6、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。★证明一条线是圆的切线有两个条件：①这一条线首先经过一条半径外端；②这一条线必须垂直于这条半径.几何语言：∵线段AP经过半径OA的外端，且AP⊥OA（已知或已证）∴AP是O的切线切线的性质：圆的切线垂直过切点的半径。几何语言：如图所示：∵AP与O相切于点A，且OA为O的半径（已知）∴AP⊥OA（切线的性质）7、n边形内角和公式n边形外角和=360°正多边形：每一个角都相等，每条边都相等.8、圆的弧长公式：如右图所示：AB的长就按以上公式计算。9、圆的扇形面积公式：如右上图所示：扇形OAB的面积就按以上公式计算。10、圆锥的体积公式：圆锥的表面积公式：备注：底面圆半径为r,圆锥的高为h，母线长为R，并且与圆结合的相关知识点11、直角三角形锐角三角函数★如图所示：在中，以∠A为研究对象：此重点内容，会出现在选择题、填空题和计算题中求一些线段的长度，在今后的高中和大学数学中还会继续用到，所以务必记住！12、特殊锐角三角函数值表★知道度数会求值，知道结果会求度数。知道60°，会求正弦值反过来，知道tanA=1，能快速求得∠A=45°.三角形相似★（1）三角形相似的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②三边成比例的两个三角形相似.③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两角分别相等的两个三角形相似★.（中考常用重点考点）⑤斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如右图所示：若△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高，则根据判定四可以得到△ACD∽△CBD∽△ABC（注意对应顶点顺序不能错乱），根据相似三角形对应边成比例，则有；就能证明这样的等式.（2）相似三角形性质①相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.②相似三角形对应线段的比等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方.★例：如图所示：△AEF∽△ABC，且相似比为，若AE=5，△AEF的高AG=4，求AB，AD的长度；若，解：（1）∵△AEF∽△ABC，且相似比为，AE=5，△AEF的高AG=4（已知）∴（相似三角形对应线段的比等于相似比）（相似三角形对应高的比等于相似比）∵△AEF∽△ABC，且相似比为，且（已知）∴（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∵在△AGF与△ADC中，∠GAF=∠DAC（公共角），∠AGF=∠ADC=90°∴△AGF∽△ADC，且相似比=∴二、经典考题分析讲解1、圆的综合题经典考题类型：考点1：求证直线与圆相切★考点2：求线段长度或者利用锐角三角函数求线段长★考点3：求阴影部分面积★考点4：利用相似三角形求证类似的等式2、考题分析黔东南州近几年中考及2021中考模拟考试《圆的综合》考题分析2021、5、18地坪附中教务处年份题号内容分值201521第（1）问求证切线12分第（2）问求弧长201622第（1）问求证切线12分第（2）问求线段长（半径）201721第（1）问求证等式12分第（2）问求阴影面积201822第（1）问求证切线12分第（2）问利用锐角三角函数求线段长201922第（1）问求证线段等式关系12分第（2）问角度数量关系202023第（1）问求证切线12分第（2）问求阴影面积（结合锐角三角函数）2021全县中考模拟考试23第（1）问求线段长12分第（2）问求阴影面积2021全州中考模拟考试23第（1）问求证切线12分第（2）问利用锐角三角函数求线段长典例精讲例1（2021黔东南州中考模拟考试23题12分）如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接AD,过点

作DE⊥AC,垂足为E.

(1)求证:DE是⊙O的切线.

(2)若AB=2,sin∠ADE=,求线段DE的长.例2（2021黎平县中考模拟考试23题12分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E。

(1)求OE的长;

(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.一试牛刀1(2020怀化改编)如图，在⊙O中，AB为直径，点C是圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°，分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，AE与⊙O交于点H.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)过点C作AB的垂线，垂足为点G，求证CG2＝AE·BF；(3)求证：四边形HOBC为菱形；若BD＝2，求⊙O的半径和线段DE的长；(5)若⊙O的半径为2，求eq\o(AH,\s\up8(︵))的弧长及阴影部分的面积．2.(2020菏泽改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)小明在研究的过程中发现DE与AC是一个确定的位置关系，请回答这个位置关系是什么？并对小明发现的结论加以证明；(2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．3.(2020淮安)如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．针对演练1.解：(1)证明：如解图，连接OC，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD＋∠ACO＝30°＋30°＝60°，∴∠OCD＝180°－∠D－∠COD＝180°－30°－60°＝90°，∴OC⊥CD，又∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接BC，∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝90°－∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴△BCG≌△BCF，∴CF＝CG.∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠AEC＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠AEC＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(CE,BF)，即AE·BF＝CF·CE，又∵CE＝CG，CF＝CG，∴AE·BF＝CG2；(3)证明：如解图，连接OH，HC，OC，CB，∵∠D＝30°，AE⊥ED，∴∠EAD＝60°，∵OA＝OH，∴△AOH为等边三角形，∴∠HOA＝∠OBC＝60°，∴OH∥BC，∵∠CBO＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴OH＝BC，∴四边形HOBC是平行四边形，又∵OH＝OB，∴四边形HOBC是菱形；(4)∵∠OCD＝90°，∠OCB＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝BD＝2，∴⊙O的半径为2，∵∠OCH＝60°，∠OCE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴在Rt△HEC中，EC＝CH·cos30°＝eq\r(3)，在Rt△OCD中，CD＝OD·cos30°＝2eq\r(3)，∴ED＝EC＋CD＝3eq\r(3)；(5)∵∠AOH＝60°，⊙O的半径为2，∴eq\o(AH,\s\up8(︵))的弧长＝eq\f(60π×2,180)＝eq\f(2π,3)，S阴影＝S△HEC＋S△HCO－S扇形HOC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×22－eq\f(60π·22,360)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)－eq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).2.解：(1)DE与AC垂直，证明：如解图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；(2)如解图，连接AD，∵AB为⊙O直径，AB＝AC，∴AD是等腰△ABC的高，也是中线，∴CD＝BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×16＝8，∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝2×5＝10，∴由勾股定理，得AD＝eq\r(102－82)＝6，∵S△ACD＝eq\f(1,2)×8×6＝eq\f(1,2)×10×DE，∴DE＝4.8.3.解：(1)相切；理由如下：如解图，连接OB.∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBA.又∵∠CPB＝∠APO，AO⊥OC，∴∠APO＋∠OAP＝90°，∴∠CBP＋∠OBA＝∠OBC＝90°.∴OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，且OB是⊙O的半径，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；(2)∵∠A＝30°，OP＝1，AO⊥OC，∴AP＝2OP＝2，AO＝eq\f(OP,tanA)＝eq