2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计9.4二项式定理

第九章概率与统计9.4二项式定理考点一通项公式的应用例1（1）[2024年北京卷]x3−1x4解：绽开式的通项Tr+1=C故填−4（2）[2024年新课标Ⅰ卷]1−yxx+y8解：因为1−yxx+y8=x+y8−【点拨】①求绽开式中的特定项，可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.②已知绽开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出变式1（1）1+32xA.30 B.33 C.34 D.35解：二项式1+32x100绽开式的通项为Tr+1=C100r32xr=2r3⋅（2）[2024年全国Ⅰ卷]x+y2xxA.5 B.10 C.15 D.20解：x+y5绽开式的通项为Tr+1=C5rx5−ryr(r∈N且r≤5),所以x+y2x的各项与x+y（3）在2x−y+z7A.1680 B.210 C.−210 D.解：相当于在7个因式中有3个因式选2x，有C73种选法，余下的4个因式中有2个因式选−y，有C42种选法，最终余下2个因式中选z，把所选式子相乘即可得x3y考点二二项式系数的性质与各项的和命题角度1二项式系数和与系数和例2在2x−解：设2x−各项系数和为a0+a1+⋯+a10，奇数项系数和为a0+a2由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求相关的系数和.（1）二项式系数的和；[答案]二项式系数的和为C10（2）各项系数的和；[答案]令x=y=（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；[答案]奇数项的二项式系数和为C10偶数项的二项式系数和为C10（4）奇数项系数和与偶数项系数和；[答案]令x=y=令x=1，y=−1(得a0①+②,得2a0+①−②,得2a1+（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.[答案]x的奇次项系数和为a1+a3+【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如ax+bn，ax2+bx+cma,b,c奇数项系数之和为a0+a变式2（1）[2024年北京卷]若2x−14=aA.40 B.41 C.−40 D.解：令x=1，则a4+a3+a2（2）【多选题】已知多项式1−2x21−A.m=5C.a1+解：1−2x21−3xm=4n=2+令x=0，得a0=1.令x=1a2=4×1命题角度2二项式系数的最值问题例3已知x23+3x2解：易知n=5，故绽开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3、第4项.所以T3=C52【点拨】求二项式系数最大项，假如n是偶数，则中间一项第n2+1项的二项式系数最大；假如n是奇数，则中间两项(第n变式3（1）已知m为正整数，x+y2m绽开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1绽开式的二项式系数的最大值为A.5 B.6 C.7 D.8解：由题意，可知a=C2mm，b=C2m+1m.因为（2）在x−ynA.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第4，5项解：由题意,知Cn2=Cn7，则n=9,考点三二项式定理的综合应用例45050+9A.0 B.1 C.2 D.3解：5050=49+150=4950【点拨】二项式定理应用的题型及解法.①在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）绽开后的绝大部分项（一两项除外）都含有除式的因式.②二项式定理的一个重要用途是近似计算,当n不是很大，x比较小时