2024年中考复习-数学（广东省专用）（解析版）

2024年中考数学终极押题猜想（广东省专用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一圆的性质（选择填空） 1押题猜想二二次函数与三角形、四边形结合（选择填空） 9押题猜想三特殊四边形与全等、相似三角形综合（选择填空） 17押题猜想四隐圆的最值问题（选择填空） 25押题猜想五利用合理的统计量做决策（解答题） 35押题猜想六综合与实践（解答题） 46押题猜想七一次函数与反比例函数的综合（解答题） 59押题猜想八（特殊）四边形、圆的综合题型（解答题） 73押题猜想九二次函数与几何压轴（解答题） 91押题猜想一圆的性质（选择填空）1．如图，在中，，，以边为直径作，与线段的延长线分别交于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，，，，为的直径，，，∴，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接，∵是切线，∴，∵，∴，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故选：D．3．如图，扇形中，，点为的中点，，交于点，以为半径画交于点，则图中阴影部分面积为．【答案】/【详解】解：如图，连接，，点为的中点，，，，，，，，，故答案为：．押题解读本考点为高频考点，多在单选题考查，属中等题。在备考中应掌握圆的相关概念与计算，包括圆周角，圆心角的角度计算，圆的关系性质，圆的面积，扇形面积及周长，圆锥侧面积等知识点。1．如图，AB是的直径，弦交于点E，且，，则的长为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】解：如图，连接，

则，又∵，∴，∴，∴，∴，设的半径为，则，，在中，，即，解得：，∴．故答案为：C．2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（

）．A． B．13 C． D．14【答案】C【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴∵的半径为5，，则∴∴∵是过点的切线，则∵∴∴∴，即∴故选：C．3．如图，半径为5的扇形中，，C是上一点，,垂足分别为D,E,若,则图中阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设与相交于点F，∵，C是上一点，,垂足分别为D,E,∴四边形是矩形，∴，∴∴，∴图中阴影部分面积，∵，∴，∴图中阴影部分面积为．故选：D4．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，连接，∵半径长，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∵点A、B、C是三等分点，∴，∴，故选：A．

5．如图，在半径为2的中，弦直径，垂足为，，为上一动点，于点．则点在上运动的过程中，线段长度的最小值为．【答案】/【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴的最小值为．故答案为：．押题猜想二二次函数与三角形、四边形结合（选择填空）1．二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接交于D，如图，四边形为菱形，，，，，设，则，，把代入,得，解得（舍去），，，，故C点坐标为：．故答案为：B．2．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是A． B． C． D．【答案】A【详解】解：二次函数中，令，则，解得，，，，过点作轴于点，，，是等腰直角三角形，，设，，点在二次函数的图象上，，解得，（舍去），，故选：．3．如图1，在中，．点从出发，沿运动到点停止，过点作，垂足为连接．设点的运动路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，，，∴由勾股定理，由题意得，时，，即，，∴，同理，∴，∴当时，∴，时，如图，由题意得：，，即，，∴，同理，∴，当时，∴，∴，故选：．押题解读本考点为高频考点，多在单选题考查，属中等题。在备考中要求考生熟练掌握与函数图形性质有关的基础知识外，还要熟悉函数图像及特征，函数解析式，函数的一般运用，掌握三角形及（特殊）四边形的基本性质。1．如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：，四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵点B，C的坐标分别是，，∴，∴，∴，∵点D在抛物线的图像上，∴，∴；故选B．2．已知在矩形中，是上的一点，连接，过点作，交于点，在点从向运动的过程中，点的路径长为【答案】//【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，设，，则，∴，∴，∵，∴当时，y有最大值，最大值为，即，当点E与点B重合时，点F与点C重合，则，∴点的路径长为，故答案为：．3．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1．当点在边上，点在边上时，．作于点，可得矩形和矩形．，．，．两个机器人之间距离为．．，函数图象为开口向上的二次函数．故选项C和D不符合题意．当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1．；当机器人分别到达点和点时，如图2．；此时函数的的值和未出发时的值相同，故选：B．

4．如图，抛物线与抛物线相交于A，B两点，顶点分别为M，N，则下列说法错误的是（

）A．当或时，B．当时，C．当时，同时随着x的增大而增大D．四边形是平行四边形【答案】C【详解】解：令，解得：，故A选项正确，不符合题意；∴A，B的横坐标分别为，将横坐标代入解析式可求得，，∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，∴N点横坐标为，M点横坐标为1，将横坐标代入解析式可求得，；观察图象可知，当时，，故B选项正确，不符合题意；当时，抛物线随着x的增大而增大，抛物线先是随着x的增大而减小，然后又随着x的增大而增大，故C选项错误，符合题意；∵，，，，∴，∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质、平行四边形的判定等知识，解题关键是理解图象上的点的含义和变化特征，会通过观察图象得出其增减性，会利用两点距离公式求两点之间的距离．押题猜想三特殊四边形与全等、相似三角形综合（选择填空）1．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交于点，交边的延长线于点．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设正方形的边长为，∵是正方形，，∴，，，∴，∴，∵，∴，，∴即，，∴，，∴，∵，∴，解得，经检验，是原方程的解，∴，∴．故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解分式方程熟练掌握以上知识是解题的关键．2．如图，点E、F为正方形边的点，，点G、H分别为线段的中点，连接，若，，则的长为．【答案】8【详解】解：设交于点，如图所示：∵，∴∵∴∵∴∴，设正方形的边长为，则∵点G、H分别为线段的中点，∴∴∴∵∴∵∴解得：故答案为：3．如图，在矩形中，于点F，，则的长度是．【答案】/【详解】解：∵于点，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即∴，∵，∴，∴,∴,∴，∴,∴.故答案为：．押题解读本考点多在填空题考查，难度属中等或中等偏上。本题一般会以特殊四边形为背景，考查特殊的平行四边形的性质、折叠性质、等腰三角形、勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．1．如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接．若，，则的长是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【详解】解：令交于，

，由作图可得：垂直平分，，，四边形为矩形，，，，，，，，，，，故选：B．2．如图，正方形的边长为，对角线与相交于点，是的中点，连接，过点作于点，交于点，则，．【答案】/【详解】解：正方形，，在和中正方形的边长为，是的中点，直角三角形中，，，，即故答案为：，3．如图，菱形的边长为，对角线、相交于点，为边的中点，连接交于点．若，则的长为．【答案】/【详解】解：∵菱形的边长为，，∴，，，∴，∵为边的中点，∴，∵，∴∴∴，则，在中，，∴故答案为：．4．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为．【答案】【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，，∴，∴，∴，∴点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，∵，∴，∴，故答案为：．5．正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为．【答案】/0.25【详解】如图，连接，由翻折可得：，，，又∵E为边的中点，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得．故答案为：押题猜想四隐圆的最值问题（选择填空）1．如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解法1：在中，，∴，，，∴，又，，，，，当取最大值时，取最大值．，，四点共圆，最大值为直径长．，∴是直径，的最大值为，的最大值为．解法2：同解法1得，作的外接圆，连接，过圆心作，垂足为点．，．，．当为的直径时，取得最大值为．故选：A2．如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是．【答案】/【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵将沿所在直线翻折得到，∴，∴点在以M为圆心，为半径的圆上，∴当点在线段上时，长度有最小值，∴长度的最小值．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．3．如图，在中，，，．将绕的中点旋转得，连接，则的最大值为．【答案】/【详解】解：如图所示，连接DA，以点D为圆心，DA为半径画圆，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在⊙D上，延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．∵D是BC的中点，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴CE的最大值是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟练掌握旋转和圆的有关性质是解题的关键．押题解读本考点的要求比较高，注重思维技巧，一般会以选择填空的压轴形式出现。隐圆的题目中一般有4个模型：定弦定角、动点到定点定长、直角所对的线段为直径、四点共圆，故需对这4个模型进行反复训练加强。1．如图，矩形的宽为10，长为12，是矩形内的动点，，则最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【详解】如图，，点在以为直径的半上，连接交于点，当点位于点位置时，线段取得最小值，，，，．．故选：B．2．如图，正方形的对角线交于点，是正方形外一点，且，连接若，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过作于，如图：四边形是正方形，，，，，，，，，，，四点共圆，，是等腰直角三角形，，，，，在中，，，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质及应用，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．3．如图，将绕点旋转至，使得，，共线，若，，则的长为．

【答案】【详解】解：如图，过点作于，

将绕点旋转至，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，故答案为：．4．如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是上的动点，将矩形沿折叠，使点A落在点处，连接，，则面积的最小值为．【答案】【详解】解：由折叠的性质可得：，∴点的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，垂足分别为G、H，∵四边形是矩形，，∴，，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴当最小时，的面积最小，∵，∴，∴当点在上时，最小，最小为，∴面积的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键．5．如图，在中，，，，与关于对称，点、分别是边、上的任意一点，且，、相交于点，则的最小值为．【答案】【详解】解：如图，连接，在中，，，，，，与关于对称，，，，是等边三角形，，，，≌（SAS），，，，，，，由于点在运动中保持，如图，点的运动路径为：以为圆心，为半径的的弧，连接与圆弧的交点即为点，此时的长度最小，，则线段的最小值为；故答案为：．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的基本知识，证明≌是解题的关键．押题猜想五利用合理的统计量做决策（解答题）1．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：学生成绩统计表七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%

根据以上信息，解答下列问题：(1)写出统计表中a，b，c的值；(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．【答案】(1)，，(2)510人(3)用中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势，表示了七，八年级学生成绩数据的中等水平．【详解】（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，故中位数是，根据扇形统计图可得：5分的有人，6分的有人，7分的有人，8分的有人，9分的有人，10分的有人，故众数是8，合格人数为：人，故合格率为：，故，，．（2）八年级学生成绩合格的人数为：人，即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．【点睛】本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键．2．为了研究某树苗的生长情况，研究组在甲、乙两个试验基地同时播下树种，同时随机各抽取20株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：），进行整理、描述和分析（用x表示树苗长度，数据分成5组：A．；B．；C．；D．；E．，及以上为优等）．下面给出了部分信息：甲试验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．乙试验基地抽出的20株树苗中，A、B、E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：42，43，46，49，49．甲、乙两试验基地抽取的树苗长度的统计表品种平均数中位数众数E组所占百分比甲4751a乙47b56根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：__________，__________，___________；(2)根据以上数据，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？并说明理由（写出一条理由即可）；(3)请估计2000株乙基地的树苗为优等的树苗株数是多少？【答案】(1)55，，(2)见解析(3)株【详解】（1）解：根据甲试验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．55出现的次数最多为4，故，组的数据个数为：，A、B、E三个等级的数据个数为：，，为偶数，故中位数为第10个数和第11个数的平均值，即，故答案为：55，，；（2）解：乙基地的树苗好，理由：两个基地的平均数相同，众数差不多、中位数也差距不大，而乙基地的优秀率比甲基地的优秀率相对大的多，故乙基地的树苗好；（3）解：乙基地的优秀率为：，2000株乙基地的树苗为优等的树苗株数是（株）【点睛】本题考查读扇形图的能力及表的能力，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．3．某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为，将所得数据分为5组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲8583乙817980d．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：(1)直接写出和的值；(2)根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；(3)市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【答案】(1)；(2)甲中学延时服务开展较好；理由见解析(3)约为750人【详解】（1）解：乙中学“比较满意”所占的百分比为，即．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的个数分别是：，，，，，，，，，．将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即．（2）解：甲中学延时服务开展较好，理由如下．因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数和众数均比乙中学的高，所以甲中学延时服务开展较好．（3）解：人．答：乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数约为750人．【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，数据的集中趋势，用样本估计总体，熟练掌握这些知识点是解题关键．押题解读本考点为去年广东省卷中考中出现，而且去年的统计概率的题序在偏靠后，故统计概率的地位提升，难度中等。需要学会反应数据特征的的平均数、中位数、众数、方差进行计算，而且还要了解它们各自局限性，在实际问题中对统计量进行合理的选择和恰当的运用。1．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，为了培养学生劳动习惯与劳动能力，树立正确的劳动价值观，某校学生发展中心开展了“家务劳动我最行”活动，并从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周家务劳动时长t（单位：h），将搜集到的数据进行整理、描述和分析，分为A、B、C、D、E五个等级，绘制成如下统计图表：等级频数5m1512落在C等级的数据（单位：h）为：3.0，3.0，3.2，3.2，3.2，3.3，3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.7根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m=_________，n=_________；(2)本次调查中，平均每周家务劳动时长的中位数为_________h；(3)计算发现，本次调查中平均每周家务劳动时长的平均数为3.8小时，小明说他平均每周家务劳动时长为3.6小时，则他做家务劳动的时长不超过一半的人．你同意小明的说法吗？请说明理由；(4)教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求初中生平均每周劳动时间不少于3小时．针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提出一条合理化建议．【答案】(1)8，72(2)3.5(3)不同意，理由见解析(4)见解析【详解】（1）解：∵抽取的同学总数为：(人)，∴，∵E组频数为：，∴；故答案为：8，72；（2）解：∵按从小到大排列，第25，第26位应在C组，这两个数都是3.5，∴抽取的同学平均每周家务劳动时长的中位数为；故答案为：3.5；（3）解：不同意．理由：平均数只能反映这组数据的平均水平，不能反映中间水平，小明平均每周家务劳动时长3.6小时低于平均数3.8小时，但却高于中位数3.5小时，应该超过一半的人，故小明的说法错误．（4）解：把劳动教育融入家庭教育，让家长要求孩子多多参加家务劳动，使平均每周参加家务劳动的时间不少于3h（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查频数分布表，扇形统计图，中位数，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．2．为了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，某校团委设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，整理得如下不完整的统计图表．“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表组别测试成绩/分频数（人）A10B15CaD30E25“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩的扇形统计图(1)扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数为______；(2)本次测试成绩的中位数落在______组；本次测试成绩的平均数是______分；(3)为了更好地宣传垃圾分类，在学校、家庭、社会的三位一体环境中发挥作用，学校团委决定组织在本次测试中达到一定分数的同学参加社区志愿活动，请你帮团委确定这个分数的标准，并用统计量说明其合理性．【答案】(1)(2)D；；(3)标准为85分比较合理，理由见解析．【详解】（1）解：由A组数据可知，抽取的样本总量为人，扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数为，故答案为：；（2）解；由题意可知，中位数为第50和第51名成绩的平均值，本次测试成绩的中位数落在D组，由（1）可知，样本总量为人，，本次测试成绩的平均数分，故答案为：D；；（3）解：标准为85分比较合理，理由：因为平均数是79.5分，若将它定为标准，一半以上学生已经达到标准，不会再学习；而中位数在之间，取组中值作为标准，多数人努力能达到，有利于提高学习积极性，．【点睛】本题考查了频数分布图，扇形统计图，中位数，加权平均数等知识，正确识别频数分布图和扇形统计图的信息是解题关键．3．某中学为了解学生垃圾分类情况，在七、八年级举行有关垃圾分类的知识测试活动，并从七、八两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：年级平均数众数中位数优秀率七年级42.3a43c八年级39.544b65%请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：(1)填空：a＝，b＝，c＝．(2)根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；(3)从样本中测试成绩为满分的七、八年级的学生中随机抽取两名学生，用列表法或画树状图法求抽到两人在同一年级的概率．【答案】(1)43，42.5，55%(2)八年级，见解析（答案不唯一）(3)【详解】（1）解：将七年级20名同学成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542则，把八年级20名学生的测试成绩按从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则，；故答案为：43，42.5，55%；（2）解：从表中优秀率看，八年级样本优秀率达到65%，而七年级的优秀率是55%，因此估计八年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计八年级学生掌握垃圾分类知识较好（答案不唯一）；（3）解：七年级满分有2人，记为A，B，八年级满分有3人，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4．某校九年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此方法的锻炼效果，在应用此方法锻炼前，随机抽取了20名学生进行了第一次测试，在应用此方法锻炼一段时间后，又对这20名同学进行了第二次测试，获得了他们的成绩（满分3分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，给出如下信息：a．表1第一次测试成绩统计表分组/分人数1193b．第二次测试成绩统计图c．第一次测试成绩在之间的数据是：15，16，17，17，18，18，19，19，19d．第二次测试成绩在之间的数据是：17，19e．表2两次测试成绩的平均数、中位数、众数汇总表平均数中位数众数第一次成绩19.719第二次成绩2526.528请根据以上信息，回答下列问题：(1)表1中，m的值等于______，表2中，n的值等于______；(2)若测试成绩大于或等于18分为及格，求第二次测试成绩的及格率；(3)该校九年级学生小明觉得体育教师自主开发的这套锻炼方法非常有效，请给出两条支持小明这一结论的理由．【答案】(1)6，19(2)90%(3)见解析【详解】（1）解：解：m＝20﹣1﹣1﹣9﹣3＝6，由a中的表格和d中的数据，可得n＝（19+19）÷2＝19，故答案为：6，19；（2）解：由b中的扇形统计图和e中的数据可知，，答：第二次体育测试成绩的及格率是90%；（3）解：由题意可得体育教师自主开发的这套锻炼方法非常有效，两条理由是：①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了；②第二次测试成绩的中位数明显高于第一次的中位数，体育教师自主开发的这套锻炼方法，高分段学生明显增多了．【点睛】此题考查频数分布表、扇形统计图、统计表、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．押题猜想六综合与实践（解答题）1．综合与实践：主题：制作长方体包装盒．素材：一张边长为的正方形纸板．步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．

猜想与计算：(1)四边形的形状为______；(2)若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积．【答案】(1)矩形(2)【详解】（1）解：∵，∴是等腰直角三角形，，∵是等腰直角三角形，，∴，由题意可得，，∴四边形是矩形，故答案为：矩形；（2）解：∵长方体包装盒的底面积为，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴该长方体包装盒的体积为．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质是解题的关键．2．问题情境：“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示

图1

图2（1）的度数为____________；（2）若，求的最大值；拓展应用：（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．【答案】（1）（2）（3）【详解】解：（1）如图：∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，∴，∵，∴，即的度数为；（2）设则设，∵折叠∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴开口向下，在时，有最大值，把代入，得出；∴的最大值为（3）如图：补全矩形，过点作，连接由折叠情景，得出由勾股定理，得出∴∵∴【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．3．综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G．请写出线段与线段的数量关系______．（2）迁移思考如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．（3）拓展探索如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【详解】解：（1）如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质可得，∴∵点E是的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案为：

（2），证明如下：如图所示，连接，∵四边形是平行四边形，∴，∴，由折叠的性质可得，∵点E是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴；

（3）∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠的性质可得，由（1）得，∴∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，全等三角形的性质与判定等等，熟知折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．押题解读本考点为去年广东省卷中考中出现，是一种新颖的题目，难度中等。该题型属于过程探究题，主要考查类型有操作探究、平移、旋转、折查，常与三角形全等、相似及一些重要的几何定理综合，让学生在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力.1．综合与实践(1)探究发现：如图1，在所示的网格图中，在线段上求一点P，使得；小明同学发现，先在点B的左侧取点C，使为1个单位长度，在点A的右侧取点D，使为2个单位长度，然后连接交于点P（如图1），就可以得到点P了，请你验证小明的做法，并求出的值．(2)请你在图2中线段上求作一点P，使得．【答案】(1)见解析，(2)见解析【详解】（1）∵∴，∴∴，

，连接∵∴∴

∵，，∴∴是直角三角形，∴∴

（2）如图所示，点P就是所求作的点，2．综合与实践数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动．实践操作：现有一张矩形纸片．第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平；第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接．第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平．问题解决：（1）的长为；（2）判断四边形的形状，并说明理由；拓展探索：（3）若，求的长．【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析；（3）【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，∵矩形，∴，∴，∴，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，故答案为：3；（2）解：四边形是菱形，理由如下；由折叠的性质可知，，，又∵，∴是等腰三角形，，∴，∴四边形是菱形；（3）解：如图，连接，作于，则四边形是矩形，∴，由题意知，是线段的中点，，∵矩形，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∴，由折叠的性质可知，，∴，∴，设，则，，，∵，∴，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，∴的长为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程是解题的关键．3．综合与实践问题情境：在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，．猜想证明：（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；实践探究：（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离；问题拓展：（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明．【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）；（3）当点平移至中点时，四边形是矩形，作图见解析【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：∵四边形是菱形，∴，，由平移可知，，，∴，，∴四边形是平行四边形；（2）连接交于，∵四边形是菱形，∴，，，则，，∴，当四边形为矩形时，，∴，则，∴，则，即：沿射线方向平移；（3）如图，当点平移至中点时，四边形是矩形，理由如下：由平移可知，，，由菱形的性质可知，，当点平移至中点时，，则，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，含的直角三角形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质等，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．4．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放．其中，，．问题探究：将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

(1)如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，试判断与的数量关系，并说明理由；(2)在图2中，连接，请求出的长度；(3)如图3，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：，理由：如图2，由题意得，，∴，，∴；（2）解：如图2，连接，

∵，，，∴，∴，∴在中，；（3）解：如图3，取的中点，连接，则，

∵G为的中点，∴为的中位线，∴，∴点G在以点O为圆心，为半径的圆上，过O作于N，当点G在的延长线上时，点G到的距离最大，如图，

∵，∴点G到直线的距离的最大值是，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形的中位线性质、圆的基本知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点G在以点O为圆心，为半径的圆上是解答的关键．押题猜想七一次函数与反比例函数的综合（解答题）1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线交反比例函数的图象于点C．(1)求该反比例函数的解析式；(2)若点D在直线上，且的面积为3，求点D的坐标．【答案】(1)(2)点D的坐标为或【详解】（1）∵点在直线上，∴，则，∴点．∵点在反比例函数上，∴．则该反比例函数的表达式为．（2）作于点H，∵，∴．当时，，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴．∵，∴，∴．∴设直线的解析式为，∴，∴．∴设直线BC的解析式为，由，得或，∴点．则．设，则，由得，∴，∴，∴或，则点D的坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及解一元二次方程，数形结合是解答本题的关键．2．如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上．

(1)已知的面积为8，请求出k的值；(2)如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式；(3)根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．【答案】(1)4(2)(3)或【详解】（1）

过点C作轴于点E，点C、D在反比例函数上，设点C的横坐标为a，点C的纵坐标为，斜边的中点C，，的面积为8，，．（2）由（1）反比例函数的解析式为，，，，的面积为8，为等腰直角三角形，，点C的横坐标为2，点D的横坐标为4，点C、D在反比例函数上，，将，代入中得，，直线的表达式为；（3）由图象可知，关于x的不等式的解集是反比例函数图象总在一次函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即∶或．3．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)请直接写出关于x的不等式的解集；(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数的表达式为：(2)或(3)【详解】（1）解：将代入双曲线，∴，∴双曲线的解析式为，将点代入，∴，∴，将代入，，解得，∴直线解析式为；（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或；（3）解：设直线交轴于点，设点，

由直线的表达式知，点，则面积，解得：，即点的坐标为：．押题解读广东中考对反比例函数知识的考查要求高，一般难度较大。在备考中熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的基础，其次还需要掌握一次函数的图像与性质和相似三角形，能适当的添加辅助线构造相似三角形，有时还需要将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比，分类讨论也是解决问题的关键。1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，．(1)求直线的函数表达式．(2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围．(3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)点P的坐标为或【详解】（1）解：∵轴于点D，，∴点C的横坐标为2，将代入，得，∴，设直线的函数表达式为，将点，代入得，解得，∴直线的函数表达式为；（2）解：在中，当时，，解得，由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为；（3）解：当时，，解得，∴，∵点P是x轴上的点，∴设点P的坐标为，∵，∴，∴，∴，∴或，∴点P的坐标为或．2．一次函数图像与反比例函数图像在第一象限内交于两点A，B，与坐标轴交于点C，D，且．(1)求反比例函数关系式和A与B两点坐标．(2)若点P在反比例函数图像上，，求点P坐标．【答案】(1)，(2)或【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点的横坐标为，由于点在直线上，因此点的纵坐标为，即，在中，由勾股定理得，解得，当时，；当时，，∴，∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数关系式为；（2）由于一次函数图象与轴、轴分别交于点、点，当时，，当时，，∴点，点，即，∵，而，∴，设点，∵∴，解得，或，当时，即，则，当时，即，则，∴点坐标为或．3．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过的图象上一点C作x轴的垂线，垂足为D，交一次函数的图象于点E．已知与的面积之比为．(1)求k，p的值；(2)若，求点C的坐标．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）解：当时，，∵直线与y轴交点为B，∴，即．∵点A的横坐标为2，∴．∵，∴，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；（2）由（1）得，直线为，当时，，即点B坐标为，∵点C在双曲线上，∴可设，∵，∴直线的解析式为，∴，解得或，∵点C在第一象限，∴，∴点C的坐标为4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，C，B为x轴上一动点，连接．已知当点B的坐标为时，轴，且(1)，(2)将一次函数的图象向左平移个单位长度，得到的新的一次函数图象与只有一个交点，求d的值．(3)当最小时，求点B的坐标．【答案】(1)；(2)(3)【详解】（1）解：点B的坐标为，轴，且把点代入，得，把代入反比例函数为常数且)，得，故答案为：10；9；（2）由（1）可得反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；设平移后的解析式为联立得∵两图象只有一个交点，，（舍）．（3）联立两个函数的表达式得：解得：或，∴点的坐标为；如图，作点关于轴的对称点连接，∴，∴，∴当点，点，点三点共线时，有最小值，设直线的解析式为，由题意可得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴点．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)过点A作，交该反比例函数图象于另一点C，连接，求的长．【答案】(1)，(2)【详解】（1）将代入，得∴反比例函数的解析式为∵点B在反比例函数的图象上，，将，代入得解得∴一次函数的解析式为（2）如图，过点A作直线轴，过点C作于点D，直线交x轴于点F．∵AC⊥AB，∴．，∴时，；时，，∴．∵，∴．∴．∵点C在双曲线上，∴设点C的坐标为，则，，，解得（舍去）或∴点C的坐标为．．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．押题猜想八（特殊）四边形、圆的综合题型（解答题）1．如图，为的直径，和是的弦，连接．(1)若点C为的中点，且，求的度数；(2)若点C为弧的中点，，，求的半径．【答案】(1)(2)3【详解】（1）解：∵为的直径，∴，在中，点C为斜边的中点，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵四边形内接于，∴，，∴；（2）∵点C为弧的中点，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴的半径为．【点睛】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，综合运用各知识点是解决问题的关键．2．如图，已知是四边形的外接圆，为直径，点C为的中点，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．(1)写出图中一个与相等的角_______；(2)试判断与的位置关系，并说明理由；(3)探究，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)与相切，见解析(3)，见解析【详解】（1）∵点C为的中点，∴，∴，故答案为：．（2）连接，∵，∴；∵点C是的中点，∴；∴；∴；∴，∵，∴，∴是的切线．（3）延长，，二线交于点G，∵，为直径，，∴；∵点C是的中点，∴；∴；∵∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了切线的证明，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握切线的判定，三角形的全等，直角三角形特征是解题的关键．3．如图，是的直径，是弦，是半圆的中点，与交于点．是延长线上的一点，且．

(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是直径，F是的中点，∴，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线，（2）解：连接，

∵，即：，∵是直径，∴，即：，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∵，∴，，，，∵F是的中点，∴，在中，，，∴，∵，即：，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质即判定，相交弦定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．押题解读该考点都会是以压轴题的形式出现，难度也不会低。在备考中，熟练掌握各图形的基本性质是解题的关键。包括平行四边形与特殊平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的运用与计算，图形相似与全等的判定与性质，圆的相关定理和性质等，需加强压轴题型的总结和归纳。1．如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M．(1)求证：是的切线；(2)若，求，的长．【答案】(1)见解析(2)，【详解】（1）证明：连接，如图所示：，∵于点F，∴，则中，∵在中，∴，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）解：连接，如图所示：，∵为的直径，∴，∵，则在中，设，则，则在中，∴，即，，∵于点E，∴，则，∵在中，，，∴等腰三角形中三线合一，即，又∵于点E，于点F，在中，，∴，∴，则，设，，∵，∴，即，又∵中，∴或（舍去），则，，∴，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，∴．2．如图，已知内接于，若，平分交于D，交于点E．(1)求证：；(2)若，试求、的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵平分，，，，，，，；（2）解：设的圆心为点O，连接交于H，过点B作交的延长线于F，，平分，，，，，，，为等边三角形，，设，则，由勾股定理得：，，，，，，，∴可设，，，即，，，由（1）得：，，即，，设，则，由（1）的结论得：，即：，，，，，，，将代入上式得：，，，，．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，垂径定理．3．如图，有一张矩形纸条，，，点M，N分别在边，上，．现将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，．(1)在图①中，当点恰好落在边上时，求线段的长度；(2)在图②中，点M从点A向点B运动的过程中，若线段与边交于点E，在此运动过程中，求的最大值；(3)在（2）的条件下，若O为的中点，猜想点O的运动路径并求出它的长度．【答案】(1)(2)(3)点的路径是一条线段，路径长为【详解】（1）证明：如图①，在矩形条中，，由翻折变换的性质可知，，，在中，由勾股定理，得；（2）解：如图②，在点运动过程中，总有，如图③，当运动到时，此时的值最小，的值最大，的值最大值，因此，的值最大值．（3）解：点的运动路径是一条线段，理由如下：如图（4），为运动过程中任意一点，连接，取中点为，连接，为的中点，为的中位线，，点始终在过点，且平行于的直线上运动，在图①中连接，在运动过程中，点最左端与点重合，最右端就是图①中的位置，点与分别是，中点，连接，线段就是点运动路径．为的中位线，，在矩形条中，，，，由翻折变换的性质可知，，，，，，，即点的路径是一条线段，路径长为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题．4．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．【答案】（1）见详解；（2）；（3）．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，垂直平分，，，，，四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形；（2）解：过点作于，由折叠可知：，，在中，，即，，，，，，，四边形是矩形，，，，，四边形的周长；（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，四边形是平行四边形，，，，，，，由折叠的性质可知：，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，在中，，，在中，．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．5．如图，矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作，与折线、分别交于，两点，连接、．设点的运动时间为，的面积为．(1)当点与点重合时，的长为________．(2)当点在边上运动时，直接写出的长．（用含的代数式表示）(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)时，；当时，；当时，【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，，如图1，当点与点重合时，在中，，，故答案为：1；（2）由题意得：，在中，，四边形是矩形，，如图2，当点与点重合时，，，此时，，，当点在边上运动时，，，，，在中，，在中，；（3）由（1）知，当点与点重合时，，，此时，，由（2）知，当点与点重合时，，①如图3，当时，，，，；②如图4，当时，；③如图5，当时，由（2）知，，；综上所述，．押题猜想九二次函数与几何压轴（解答题）1．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)四边形的面积最大为16；(3)点的坐标为或．【详解】（1）解：把，代入得∶，解得：，∴该二次函数的解析式；（2）解：∵，，∴，∴，设直线的解析式为，代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，∴四边形的面积，∵，∴当时，四边形的面积最大为16；（3）解：设，∵，，∴，，，当斜边为时，，即，整理得：，无解；当斜边为时，，即，解得：；∴当斜边为时，，即，解得：；∴综上：点的坐标为或．2．如图，抛物线与轴交于点和．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)C的坐标是；(3)P的坐标为或或．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，，∵四边形是平行四边形，，∴点C的横坐标为，抛物线，当时，，∴点C的坐标是．（3）解：存在点P，使是直角三角形，①当时，作交的延长线于点H，则，，，，设，则，，，解得，，②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L．，，，，，，，，．③当时，设交于点J，作轴于点L，，，，，轴，，，∵四边形是平行四边形，，，，，，，；综上所述，存在点P，使是直角三角形，点P的坐标为或或或．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点．点是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．【答案】(1)抛物线的解析式为，(2)(3)存在，点的横坐标或(4)【详解】（1）解：将、，代入，，解得，抛物线的解析式为，，解得或，；（2）过点作轴，过点作交于，过点作交于，、，，，，，，，四边形的面积；（3）存在点，使，理由如下：连接交于点，直线与直线平行，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，解得，，，，，设，过点作轴交于，，，解得或或（舍，或；点的横坐标为或；（4）连接，过点作，过点作，与交于点，四边形是平行四边形，，，、关于对称轴对称，，四边形的周长，当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，，，，、，，，四边形的周长的最小值为．押题解读广东中考多年将二次函数与几何综合题型放在最后一道大题，难度系数大，虽说去年没有考，但依旧不容忽视。要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识、二次函数的图象和性质以及几何相关计算与证明。能熟练求函数解析式，能根据函数图像与动点求存在性问题，角度问题，最值问题等。解答的关键是