2024年中考复习-数学（广州专用）（解析版）

2024年中考数学终极押题猜想（广州专用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一圆的切线问题（选择填空） 1押题猜想二几何综合的多结论问题（选择填空） 9押题猜想三特殊四边形的动点问题（填空） 22押题猜想四尺规作图（解答题） 34押题猜想五圆的综合（解答题） 42押题猜想六一次函数与反比例函数的综合（解答题） 54押题猜想七二次函数与其他函数的综合，不配图（解答题） 72押题猜想八特殊四边形中的动点问题（解答题） 83押题猜想一圆的切线问题（选择填空）1．如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、，，当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；B、，，则，，，当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；C、当时，，，，，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意；故选：D．2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接，∵是切线，∴，∵，∴，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故选：D．3．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则．

【答案】/29度【详解】解：的内切圆与，分别相切于点，，，，，，∵，，故答案为：．押题解读本考点为高频考点，属中等题.在备考中应掌握切线的性质定理和切线长定理，三角形的内切圆模块也需要关注一下.1．如图，在中，，以O为圆心的半圆分别与边相切于两点，且O点在边上，则图中阴影部分面积（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接，设与交于M、N两点，∵分别切于D、E两点，∴，又∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，设，则，．∵，∴，∴，∴，解得，∴．故选D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，正方形的判定与性质，以及扇形的面积，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．2．如图，内切于，切点分别为，且，则．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，连接，∵内切于，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，设，则，∵，∴，解得：，∴，根据勾股定理可得：，故答案为：．3．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（）．A．12 B．24 C．8 D．6【答案】D【详解】解：与圆切于点，由切线长定理得:，，设，则，，在三角形中由勾股定理得：，，，，．故选：D4．已知：如图，的圆心为，半径为2，切于点，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】连接，∵切于点，∴，∴，∵的圆心为，半径为2，∴，∴，，∴，∴，故选：A．5．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，，则点O到弦的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，分别与相切于点A，点C，∴，∵，∴为等边三角形，∴，，∵为的切线，∴，∴，∴，过点作，垂足为H，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理．押题猜想二几何综合的多结论问题（选择填空）1．如图，点P是正方形内部的一个动点，且是以为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论：①②;③当时，;④当时，其中结论正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】C【详解】解：四边形是正方形，，，∵是等腰三角形，∴∴故①正确；当三点在同一条直线上时，故②不正确；当时，∵∴∴是等边三角形，，，，故③不正确；当时，设∵∴∴是等边三角形，过点作于点，于点，，，四边形是矩形，，，，∴∴∴故④正确，综上所述：①④．故选：C．2．如图，在菱形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，由题意作图可知：垂直平分，∴，∴四边形是菱形，∴，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故正确；∵是中点，∴，∴，，故错误，故正确；如图，过作交延长线于点，易得四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，设，∴，，在中，由勾股定理得：，即，∴，∴，则正确；综上可知：正确，故选：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理和平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．3．如图，在中，，，(其中)．于点D，点E在边上，设，，，给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于x的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【详解】解：∵在中，，即，在中，，即，∴，即，故①正确．∵在中，，在中，，∴，又∵在中，，∴，即，即，∴，∴，故②错误．∵，∴，∵的实数根为：，∴的长是关于x的方程的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B．押题解读本考点可能会在填空题考查，难度属中等或中等偏上.一般情况下，结论以由浅入深的形式呈现，考查的知识面广，对学生的思维的深刻性由较高的要求，要学会添加常用辅助线，能构造特殊三角形或全等三角形加以解决.1．如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结，动点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：①点到边的距离为；②当时，；③直线不经过点；④的最小值为．其中结论正确的序号是．【答案】①④/④①【详解】解：，为等腰直角三角形，，当在点的左边时，，当在点的右边时，，故②错误；过点作，在和中，根据旋转的性质得：，，，，，故①正确；由①中得知为等腰直角三角形，，也是等腰直角三角形，过点，不管P在上怎么运动，得到都是等腰直角三角形，，即直线一定经过点，故③错误；是等腰直角三角形，当时，有最小值，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理：，，故④正确；故答案是：①④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．2．如图，在正方形中，平分，交于点E，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．则有①；②连接，则；③连接、，则平分；④连接交于点M，；则以上结论正确的有：（填序号）．【答案】①②③【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；②如图所示，连接∵∴点A，D，C，G四点共圆∴，故②正确；③∵四边形是正方形，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴平分；④连接，如图3所示：∵四边形是正方形，∴，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．综上所述，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题是相似综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．3．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A、C重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（填写结论序号）．【答案】①③④【详解】解：是等边三角形，，，，，，，，①结论正确；若，则点D是弧的中点，无法确定，②结论不一定正确；当最长时，为直径，，，，，③结论正确；如图，在上截取，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，④结论正确，一定正确的结论有①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．4．如图，是的直径，，垂足为点，连接并延长交于点，，连接并延长交于点下列结论：①；②；③点是的中点：④若，其中，所有正确结论的序号是．

【答案】①②④【详解】解：①于点，，∵是的直径，∴，即，，，，故①正确．②，，∽，，故②正确，③，，假设点是的中点，则点是的中点，，是直径，长度不变，而的长度是不定的，不一定等于，故③是错误的．④，设，，，在中，，，由②知，，，，，故④正确．故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数等知识点，熟练掌握相关图形的性质、通过求证三角形相似根据对应边成比例求出的值，是解题的关键．5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，点是上的一点点不与，重合，连接，，，，点在的延长线上，与交于点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是．

【答案】①②④【详解】解：连接，，

，是直径，，弧弧，，，，，，，，，，，，①②④正确；和根据已知不能推出相等，和相似是错误的，故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，熟练运用以上知识是解题的关键押题猜想三特殊四边形的动点问题（填空）1．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则菱形的面积是，长度的最小值是．【答案】【详解】解：如图，连接、相交与点，，四边形为菱形且边长为，，，，，，为等边三角形，，，，，；如图，，是定值，长度取最小值时，即在上时，过点作于点，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，，，，，，，，，，故答案为：，．2．如图，在中，，，点是边上一个动点，以为边作正方形，连接，面积的最大值是．【答案】【详解】解：过C作于G，过E作于H，过作于M，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，设，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴当时，有最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形与相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形中，E是上一动点，沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G，，．当点E是的中点时，线段的长为；点E在运动过程中，当的周长最小时，的长为．【答案】5【详解】如图1，连接，∵在矩形中，，，，E是的中点，∴，由折叠知，，，，∴，，在和中，，∴，∴，设，则，，∵在中，∴，解得，即．故答案为：；如图2，连接，则，∵，，∴，∴当值最小时，的周长最小，当点F在上时，值最小，此时，，设，则，∵，∴，∴，∴，解得，即．故答案为：5．押题解读本考点为高频考点，一般出现在填空压轴的位置，大可能出现双空题，难度偏大.解该题型时，需熟悉特殊四边形的性质，全等三角形及相似三角形等知识点，要抓住运动过程中的不变量进行求解，将运动过程中某一时刻动点的运动距离转化为几何图形的条件或将满足几何图形条件时动点需运动的距离作为条件进行解答.1．如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，，若，，则的最小值为．【答案】6【详解】解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，∵四边形是矩形，∴，在直角中，，，∴，∴，由对称的性质，得，，∴，∴∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时有最小值，最小值为的长，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．2．如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．

（1）若，则°；（2）若，且三点共线，则．【答案】【详解】解：（1）矩形中，，∴，；由折叠知：，∴，；∵平分，∴；故答案为：55；（2）∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴；由折叠知，，；∵E为中点，∴，∴；由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得：,即，解得：；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，灵活运用这些知识是关键．3．如图所示，在矩形中，，．点P为边上一定点且，点Q为边上不与端点重合的一动点，将四边形沿翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接，则的长为．【答案】或2/2或【详解】解：①如图：当点在上时，在矩形中，，，，，四边形沿翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，四边形是矩形，，，，．如图：当点在上时，在矩形中，，，，，，四边形沿翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，，，，，，，．综上，的长为或2．4．在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处．（1）当点落在矩形对角线上时，则的长为（2）当是以为腰的等腰三角形时，则的长为．【答案】3或【详解】（1）矩形中，，，∴，∴，根据折叠的性质，得，∴，设，则，∴解得．故答案为：3．（2）当时，过点F作于点M，于点G，∴四边形是矩形，，∴，根据折叠的性质，得，∴，∴，∴，∴；当时，如图，过点F作于点M，延长交于点N，∴，∴直线是矩形的对称轴，∴，四边形是矩形，∴，，∴，设，则，∴解得．故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．5．如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，①；②当取得最小值时，的值是．【答案】/45度【详解】解：∵四边形是正方形∴，∴；作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，设正方形的边长为a，则，四边形是正方形，，，，，，，，，，，

，当取得最小值时，的值是为，故答案为：，．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．押题猜想四尺规作图（解答题）1．如图，已知矩形．(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）(2)若，求菱形的周长．【答案】(1)图见解析(2)20【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作；垂直平分，，，矩形，，，又，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：设菱形边长为x，，，在中，根据勾股定理得，，，解得，菱形周长．2．如图，在中，，，．

(1)尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，连接，求的值．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，则即为所求．

（2）解：由（1）可得，，，，，，，，为等边三角形，，，．【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．押题解读本考点为必考考点，属中等题.常见作图方法有作垂线、作平行线、作轴对称、作垂直平分线、作角平分线、作线段的等分点等.，学生需重点掌握强化练习.1．如图，是的直径，是上一点，连接．(1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）；(2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图，为的切线：（2）解：∵是的直径，∴∴，∵为的切线，∴即∴∴∴∴，又∴AB=10，∴∵是的中点，∴∴∴∵∴，∴∴∴，∴2．如图，在中，．(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图所示：直线是的垂直平分线；（2）解：在中，，，∴∵是的垂直平分线，∴，在中，∴．3．如图，在中，．(1)使用直尺和圆规，作交于点D（保留作图痕迹）；(2)以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，．①°；②写出图中一个与相等的角．【答案】(1)见详解(2)①；②【详解】（1）如图，即为所作．（2）①，，，平分，为的直径，；②，，为的直径，，，，，．4．如图，已知直线，点C在直线n上，点B到直线m，n的距离分别为2，3．(1)利用直尺和圆规作出以为底的等腰，使点A在直线m上（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中得到的为等腰直角三角形，求的面积．【答案】(1)见解析；(2)．【详解】（1）解：∵是以为底的等腰三角形，∴，∴作的垂直平分线交直线于点，连接，如图：∴就是所作的等腰三角形，以为底，点在直线上．（2）解：如图，过点作于点，则，∵为等腰直角三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∴的面积．押题猜想五圆的综合（解答题）1．已知：如图，在中，，E为上一点，，长为半径作．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，且，求的长．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【详解】（1）证明：如图，过点D作于F；为的切线，，，平分，，，与相切；（2）证明：在和中，，（），，为的切线，与相切，，，即；（3）解：由（2）可知，，，，，设，，，，解得：，，，，，，，，，，，．2．已知：如图，是的直径，、、是的弦，．

(1)求证：；(2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长．【答案】(1)见解析(2)10【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，

∵∴∴∵∴∴∵∴，∴；（2）解：设的半径为，则，又，∴，在中，，即：，解得，，∴.3．如图，在⊙O中，四边形内接于，连接，，点E在延长线上，且．(1)探究与的位置关系，并证明；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)与相切，证明见解析(2)【详解】（1）与相切，证明：连接，∵，∴是的直径，∴，∴，又∵，，∴，∴，则，∴与相切；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，则，∴，∵，∴，∴．押题解读该考点是高频考点，难度中等，考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点.1．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求的半径．【答案】(1)见解析(2)①10；②的半径为【详解】（1）证明：∵，∴，又∵∴，∴∵，∴．∵为的直径，∴，∴，∴．∴，∴，∵是圆的半径，

∴是的切线；（2）解：①由（1）得：，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，在中，∵，∴；②在中，，

在中，，∴．∴的半径为．2．如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）证明：∵是的切线，为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图，连接，∵为的直径，，∴，，∵半径为5∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，∴，∴，∴．3．如图，是的直径，C是上异于A、B的点，外的点E在射线上，直线与垂直，垂足为D，且．(1)求证：是的切线；(2)如果A是的中点，，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接，是的直径，，，，，，，，，，，，，是上的点，是的切线；（2）解：设，是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，．4．已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，平分．(1)求证：直线l与相切；(2)若，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如图1，连接，∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，∴．又∵是半径∴直线l与相切．（2）解：如图1，连接．∵是的直径，∴．∵平分，∴．∴在中，．同理：在中，．设，则．由勾股定理得：，即．解得或（不合题意，舍去）．∴的半径，∴的半径为．5．如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．

(1)求的值；(2)若，求证：为的切线．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）解：为直径，，即，由勾股定理得：，；（2）证明：如图，连接，，作于，则，

为直径，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形，，为的切线．押题猜想六一次函数与反比例函数的综合（解答题）1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，其中A点坐标为．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；(2)根据图象直接写出不等式的解集；(3)若点C在y轴上，且满足的面积为10，求点C的坐标．【答案】(1)，，(2)或(3)或【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上；∴，，解得：，，∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；解方程组，得，，经检验，，均是方程组的解，∴反比例函数与一次函数图象的另一交点B的坐标为；（2）由图象可知，不等式的解集是或；（3）设与y轴的交点为M，

令，则，∴点M的坐标为，过点作轴于点E，过点作轴于点F，∴，设C点的坐标为，∴∵∴，∴，解得或，∴点C的坐标为或．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)，(2)点的坐标为或或【详解】（1）解：过作轴于点，如图，，，，即，解得，，，反比例函数且过点，，反比例函数解析式为，反比例函数且经过点，，解得，，一次函数过、两点，，解得，一次函数解析式为；（2），，设点坐标为，则，，是以为腰的等腰三角形，或，当时，则有，解得，此时点坐标为或；当时，则有，解得或舍去，此时点坐标为，综上可知满足条件的点的坐标为或或．押题解读广州中考对反比例函数知识的考查要求高，难度中等或中等偏上.在备考中熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的基础，其次还需要掌握一次函数的图像与性质和相似三角形，能适当的添加辅助线构造相似三角形，有时还需要将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比，分类讨论也是解决问题的关键.1．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．【答案】(1)，(2)或(3)点的坐标为，【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，，点，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的表达式为，联立，解得：或，；（2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方，当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．点，点，设直线的表达式为，则，解得：，直线的表达式为，在中，令，则，点，，，，，，的周长为．

2．如图，直线与函数的图象相交于点，与x轴交于点C，点C坐标为，点D是线段上任一点．

(1)求m的值及直线的函数表达式；(2)将绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图象上，求点D的坐标．【答案】(1)，直线的解析式为(2)或【详解】（1）∵直线与函数的图象相交于点，∴，∴，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，∴直线的解析式为；（2）如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在函数的图象上，过点D作轴，垂足为M，过点作轴，垂足为N，∴，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵直线的解析式为，∴设，由题意可知，，∵点恰好落在函数的图象上，∴，∴，解得或，∴或．3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．(1)求这个一次函数的表达式；(2)根据图象，直接写出不等式的解集；(3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为．【答案】(1)(2)或(3)或【详解】（1）解：点与点在反比例函数的图象上，，，，，一次函数的图象经过点、，，解得，一次函数的表达式为；（2）观察图象可知，不等式的解集为或；（3）在直线中，令，则，，，设点的坐标为，，则，如图，连接，，，，，点到直线的距离为，的面积等于的面积的三分之一，的面积，整理得：或，解得：或，又或，点的横坐标为或．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数的图象交于，B两点．(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；(2)求出不等式的取值范围；(3)若点C在y轴上，的面积为18，求满足条件的点C的坐标．【答案】(1)反比例函数解析式为；点B的坐标为；(2)或；(3)点C坐标为或．【详解】（1）解：将点A坐标代入一次函数解析式得，，解得故点A坐标为，将点A坐标代入反比例函数解析式得，所以反比例函数解析式为；将一次函数和反比例函数解析式联立方程组得，，解得：或，所以点B的坐标为；（2）观察函数图象可知，当或时，反比例函数的图象不在一次函数图象的下方，即，所以不等式的取值范围是或．（3）令直线与y轴的交点为M，将代入一次函数解析式得，，所以点M坐标为．又点C在y轴上，则，，所以，解得．又点M坐标为，所以点C坐标为或．5．如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．(1)求直线的解析式；(2)直接写出不等式的解集；(3)点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)；(2)或(3)存在，点，【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，即点的坐标为：，设直线的表达式为：，将点、的坐标代入得，解得：所以直线的表达式为：；（2）观察函数图象知，不等式的解集为：或；（3）存在，理由：由直线的表达式知点，，则，则点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，理由：为最小，将点D

、

N的坐标代入得:，解得：,

直线DN的表达式为：,令，则，即点，．1．在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点．(1)若抛物线经过点，，求的值；(2)已知，若，有最大值9，求的值；(3)①求点坐标；②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围．【答案】(1)的值分别为2，3(2)或(3)①；②【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得，∴a，b的值分别为2，3；（2）解：∵，∴，则抛物线为，，∴抛物线顶点坐标为，①当时，抛物线开口向上，，∴当时，为最大值，即，解得；②当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，即，解得；综上所述，或；（3）解：①抛物线（是常数，）与轴相交于点，当时，，则；②，均在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线经过，，∴，∴，∴∵，，，．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定系数、二次函数图象与性质、二次函数最值、抛物线与坐标轴交点坐标的求法、不等式的性质等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，结合题意灵活求解是解决问题的关键．2．已知抛物线，直线，其中，．(1)求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；(2)若抛物线C与x轴交于，两点，其中，且，求当时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；(3)若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)(3)【详解】（1）联立，解方程，得，当时，，即直线与抛物线恒过点，故直线l与抛物线C至少有一个交点．（2）当时，，∵抛物线C与x轴交于，两点，∴，∵，∴，∵，∴解得，∵h时整数，∴，故抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为．（3）．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C与直线都过点．当，，在直线下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当时，恒成立．故，整理得：．又∵，∴，∴．3．已知抛物线（，为常数，且），与轴交于点，两点，与轴相交于点．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)点为抛物线对称轴上一点，点的纵坐标为，若，求抛物线的解析式：(3)当时，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作直线垂直于轴，垂足为，为直线上一动点，为线段上一动点，当的最小值为时，求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为．抛物线与轴交于点，，得．抛物线的解析式为．，所以抛物线的顶点坐标为．（2）抛物线与轴交于点，，得．抛物线的解析式为．可得抛物线的对称轴为直线，，．由对称性可知，点的坐标为．，，因为，有解得，（舍）．抛物线的解析式为．（3）点，点，得直线的解析式为．设直线与抛物线的对称轴相交于点，则．作点关于直线的对称点，则，．过作，垂足为，与直线相交于点，此时取得最小值，即．在中，，，由，得．在中，，有．．解得．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．押题猜想七二次函数与其他函数的综合，不配图（解答题）1．已知二次函数．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且求证(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或【详解】（1）解：，∵，∴，又，∴，即，∴该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）解∵该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为∴，是的两个根，∴，，联立方程组，解得，把代入，得，整理得；（3）解：∵，都在该二次函数的图像上，∴抛物线的对称轴为，当，即时，∵，∴画出草图，如下：或此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去；当，即时，∵，∴画出草图，如下：∴，解得；或∴，解得，综上，或．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．2．在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象．①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为6时，求的值；②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，当（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)①；②或；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交点坐标为，∴，，解得：，，∴；（2）解：①当时，，解得：，，当点在对称轴左边时，即时，∵，∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点，∵最高与最低点的纵坐标差为6，∴，解得：（不符合题意舍去），；当点在对称轴右边时，即，∵，∴此时最高点为A点，最低点为点，∵最高与最低点的纵坐标差为6，∴，解得：（不符合题意舍去）；综上所述：；②当点在点上方，，即：时，，点，即，当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，∴，解得：，（舍），当点在点下方，，即：时，，点，即，设解析式为：，则：，解得：，∴解析式为：，与抛物线解析式联立：，整理得：，当直线与抛物线只有一个交点时，，解得：，当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，∴的取值范围是或，故答案为：或．3．以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为．因为恒成立．所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立．(1)已知函数与函数相交于点、．①此时，的值分别为：______，______；②求此时函数与的“相关函数”；(2)已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围；(3)已知以为自变量的函数与（为常数且，）．点，点，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围．【答案】(1)①，；②；(2)；(3)且；且．【详解】（1）解：①∵已知函数与函数相交于点、．∴，；②∵，∴函数，；（2）解：函数与，相关函数，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，桓成立，当时，，当时，恒成立，；（3）解：函数与，，将点、、代入解析式得：，，，，，，解不等式得：且，不妨令，则且，设函数与轴交于，，是方程的两根，，，函数的图象截轴得到的线段长度为：，且，且，即且．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．(1)求抛物线的表达式．(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)或．【详解】（1）解：把点，代入抛物线得，，解得，抛物线表达式为；（2）解：由（）知，抛物线，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵时，有最大值，最大值只能在或时取得，当时，即，此时，有最大值，即，解得，符合题意；当时，即，此时，有最大值，即，解得，不合，舍去；当，即，当时，有最大值，即，解得，不合，舍去；当，有最大值，即，解得，不合，舍去；综上，的值为；（3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示：当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时，则解得；当抛物线与直线相切时，就是把抛物线，向上平移10个单位，即，的取值范围为或．5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线过点且与轴平行．二次函数的图象经过点，过点作的垂线，与直线交于点，与二次函数的图象另一个交点是点．(1)；（用含字母的式子表示）(2)若点的横坐标为，求；(3)若，求．【答案】(1)(2)或(3)或【详解】（1）解：令，则，∴点的坐标为，∵二次函数的图象经过点，∴，解得；故答案为：；（2）解：二次函数的图象的顶点坐标为，作轴于点，由点的横坐标为，可知，∴在y轴左侧，如图，∴，，，，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得或，∴或；（3）解：当时，如图，作轴于点，由（2）得，∴，又，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴点D的坐标为，代入得，整理得，∵，∴；同理当时，可得；综上，或．押题解读该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏难，要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识、二次函数的图象和性质，能熟练求函数解析式，而且要对一次函数和反比例函数的图象和性质熟练.押题猜想八特殊四边形中的动点问题（解答题）1．在正方形中，点为射线上的一个动点，点在射线上，且．(1)如图1，当点在边上时，请直接写出、、三条线段之间的数量关系；(2)如图2，当点在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若，点在边上，且，点为的中点，在点从点沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)【详解】（1）解：，理由如下：延长到，使，连接，如下图，∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2），理由如下：在上截取，连接，如下图，∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：过点作直线交于，如下图，当点在射线上运动时，点在运动，点在射线上运动，∵四边形为正方形，∴，，，∵，∴，当与点关于对称时，，最小，最小值为，∴，由勾股定理得，∵的周长，∴当最小，此时，的周长的最小，∴的周长的最小值．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定、最短距离问题、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质的综合运用是解题的关键．2．问题提出（1）如图①，点是半径为1的上任意一点，点为外一点，且，则线段的最小值为______；问题探究（2）如图②，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值；问题解决（3）如图③，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足，交于点，连接，求线段的最小值．【答案】（1）1；（2）线段的最小值为4；（3）．【详解】解：（1）由题意得，当、、共线时，最小，则，故答案为：1；（2）如图，连接，，点，点关于直线对称，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，有最小值，，，，的最小值为；（3）四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，取的中点，连接，则（不变），根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小，在中，根据勾股定理得，，所以，．故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3．如图，矩形中，，．为边上的一个动点，沿翻折，点落在点处．(1)如图1，若，且点与点重合时，交于点．①求的长；②若点在射线上，且，求的值．(2)连接，在边上存在两个不同位置的点，使得，则的取值范围是____．【答案】(1)①；②；(2)．【详解】（1）①四边形是矩形，，，由折叠知，，，，，在和中，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，则；②如图，连接交于点，过点作于点，，（对顶角），，，，，则，，（对顶角），，，，，，，，；（2）当落在直线上面时，如图，过作于，，，，，又，，由翻折可知，在中，，，又，在中，，此时只要，点在边上，；当落在直线下面时，如图，过作于，同理可得，，在中，，，，，，，在中，，此时要在边上，则即可，即，综上，．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．押题解读广州中考多年将特殊四边形的动点问题放在最后一道大题，难度系数大，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算，另外需要有数形结合的思想.1．如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接．(1)当点为的中点时，①求的值；②求证：；(2)如图2，若是的中点，连接，求的最小值．【答案】(1)①；②见解析(2)【详解】（1）解：①，，，，，，，，；②如图，延长交延长线于R，由①可知，，，，，，为的中点，，，，，，；（2）如图，取中点O，连，取中点G，连，作与点T，延长线交于H，则四边形为矩形，，，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，，为中点，为中点，，由两点间直线段最短可知，，当在一条直线上，有最小值．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，解答下列问题：(1)如果，．①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段之间的位置关系为