2025届新高考数学冲刺精准复习函数的单调性与最值

2025届新高考数学冲刺精准复习函数的单调性与最值01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解函数的单调性；理解最大（小）值.【考情概述】函数的单调性与最值是新高考考查的重点内容之一，常

以选择题或填空题的形式进行考查，有时与其他知识交汇考查，难度中

等，属于高频考点.

知识梳理1.增函数与减函数增函数减函数定义一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，区间

I

⊆

D

，如果∀

x

1，

x

2∈

I

，当

x

1＜

x

2时，都有

f

（

x

1）＜

f

（

x

2），那么就称函数

f

（

x

）

在区间

I

上单调递

⁠，当函

数在它的定义域上单调

递

⁠时，我们就称它

是

⁠函数当

x

1＜

x

2时，都有

f

（

x

1）＞

f

（

x

2），那么就称函数

f

（

x

）

在区间

I

上单调递

⁠，当

函数在它的定义域上单调

递

⁠时，我们就称它

是

⁠函数增增增减减减增函数减函数图象描述自左向右看图象

是

⁠下降的上升的自左向右看图象是2.单调性与单调区间如果函数

y

＝

f

（

x

）在区间

I

上单调递增或单调递减，那么就说函数

y

＝

f

（

x

）在这一区间具有（严格的）

，区间

I

叫做

y

＝

f

（

x

）的

⁠.单调性单调区间3.函数的最大值与最小值一般地，设函数

y

＝

f

（

x

）的定义域为

D

，如果存在实数

M

满足：（1）

∀

x

∈

D

，都有

f

（

x

）

M

，且∃

x

0∈

D

，使得

f

（

x

0）

M

，那么，我们称

M

是函数

y

＝

f

（

x

）的最大值；（2）

∀

x

∈

D

，都有

f

（

x

）

M

，且∃

x

0∈

D

，使得

f

（

x

0）

M

，那么，我们称

M

是函数

y

＝

f

（

x

）的最小值.≤

＝≥

＝常用结论1.判断函数的单调性的等价结论

∀

x

1，

x

2∈

I

，

⁠⇔

f

（

x

）在

I

上是减函数.增

x

2）[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＜0

（0，＋∞）增减4.对称区间上的单调性已知

a

＞0，函数

f

（

x

）的定义域为（－

a

，

a

）且

f

（

x

）在区间（0，

a

）上是减函数.若函数

f

（

x

）的图象关于

y

轴对称，则

f

（

x

）在区间

（－

a

，0）上是

函数；若函数

f

（

x

）的图象关于原点对称，则

f

（

x

）在区间（－

a

，0）上是

函数.增减回归课本1.判断题：

（2）

（RA一P77定义改编）

如果在区间

I

上存在无穷个有序实数对（

x

1，

x

2）（

x

1＜

x

2），满足

f

（

x

1）＜

f

（

x

2），那么函数

f

（

x

）在区间

I

上是增函数.

（

✕

）（3）

（RA一P80思考改编）若对任意的实数

x

，

f

（

x

）≤

M

恒成立，

则

M

是函数

f

（

x

）的最大值.

（

✕

）

✕✕✕✕2.（RA一P78例1改编）对于函数

f

（

x

）＝

kx

＋

b

（

k

，

b

∈R），下列

说法不正确的是（

D

）A.当

k

＞0时，

f

（

x

）是R上的增函数B.若

f

（

x

）不具有单调性，则

k

＝0C.

f

（

x

）的单调性只与

k

有关D.

f

（

x

）的单调性可能与

b

有关D3.（RA一P85习题3.2第1题改编）函数

y

＝

f

（

x

），

x

∈[－1，5]的图象

如图所示，则下列说法正确的是（

C

）A.

f

（

x

）的增区间是[0，2]∪[4，5]B.

f

（

x

）的单调区间共有3个C.

f

（

x

）的最小值是0D.

f

（

x

）的最大值在

x

＝2处取得C4.（多选）（RA一P86习题3.2第9题改编）已知

f

（

x

）是定义在区间

[0，＋∞）上的函数，则根据下列条件可以判定

f

（

x

）为增函数的是

（

CD

）A.对任意

x

≥0，都有

f

（

x

＋1）＞

f

（

x

）B.对任意

x

1，

x

2∈[0，＋∞），且

x

1≥

x

2，都有

f

（

x

1）≥

f

（

x

2）C.对任意

x

1，

x

2∈[0，＋∞），且

x

1－

x

2＜0，都有

f

（

x

1）－

f

（

x

2）

＜0CD

7.5

6

考点一

确定函数的单调性（区间）例1（1）

求下面函数的单调区间：①

y

＝｜

x

2－3

x

＋2｜；

（－∞，0）总结提炼

求函数单调区间和确定函数单调性的常用方法（1）

定义法和导数法：证明函数的单调性只能用定义法或导数法；（2）

图象法：能直观形象地判断函数的单调性，但不能作为证明的

依据；（3）

性质法：如增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函

数；（4）

复合函数的单调性法则：同增异减.

2

R

总结提炼

利用单调性求函数的最值或值域时，通常利用函数的图象、单调

性的定义、函数的性质、导数等先判断函数的单调性，再依据单调性

求函数的最值或值域.

考向2

利用单调性去“

f

”例3（1）

已知函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称，且在区间[1，

＋∞）上是减函数.设

a

＝

f

（－1），

b

＝

f

（2），

c

＝

f

（4），则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

D

）A.

c

＞

a

＞

b

B.

c

＞

b

＞

a

C.

a

＞

c

＞

b

D.

b

＞

a

＞

c

D解：因为函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称，所以

f

（－1）＝

f

（3）.因为函数

f

（

x

）在区间[1，＋∞）上单调递减，1＜2＜3＜4，所

以

f

（2）＞

f

（3）＞

f

（4），即

f

（2）＞

f

（－1）＞

f

（4）.所以

b

＞

a

＞

c

.（2）

已知函数

f

（

x

）满足（

x

1－

x

2）[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＞0，且

x

1≠

x

2，则函数

f

（

x

）在R上单调递

，不等式

f

（

a

2－

a

）＞

f

（2

a

－2）的解集是

⁠.解：因为函数

f

（

x

）满足（

x

1－

x

2）[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＞0，且

x

1≠

x

2，所以依据函数单调性的定义知，函数

f