高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 《向量的加法运算》

6.2.1向量的加法运算

【新知初探】

要点一向量的加法

1.向量加法的定义

定义：求的运算，叫做向量的加法.

对于零向量与任一向量a,规定O+a=a+O=&

2.向量求和的法则

如图，已知非零向量a,b,在平面内任取一点4作法=a,

BC=b,则向量左叫做a与人的和，记作a+b,即a+b=AB

三角形法

1+BC=AC

c

a+仁、^

AaB

如图，已知两个不共线向量a,b,作拔=a,~AD=b,以荔，

位为邻边作0/次力，

平行四边

形法则

ANa4

则对角线上的向量衣=a+b

思考如图，已知向量a,b,分别利用三角形法则和平行四边形

法则作出向量a+A

要点二向量的加法和向量的模

(1)当向量a与，不共线时，a+力的方向与a,b，且|a+b<a

+1^1;

(2)当a与，同向时，a+b,a,b的方向，且|a+引=|a|+|引；

⑶当a与6反向时，若a|'b,则a+，与a的方向相同，且Ia+6=|a

~\b\.

若则a+6与6的方向相同,且|a+b=|引一|a.

要点三向量加法的运算律

交换律a+b=b+a

结合律(a+b)+c=a+(6+c)

思考1根据下图中的平行四边形ABCD,验证向量加法的交换律：a+b=b+

a.(注：AB=a,宓=6)

思考2根据下图中的四边形/四，验证向量加法的结合律：(a+，)+c=a+

(6+c).

【题型通关】

题型一向量加法及其运算律

跟踪训练1如图，在平行四边形力叫9中，。是/C和劭的交点.

⑴花+森=；⑵而+宓+沆=

(3)花+筋+劭=；(4)AC+BA+DA=.

题型二向量加法在平面几何中的应用

例2已知四边形/腼的对角线力。与切相交于点。，且"宓质=南

求证：四边形力腼是平行四边形.

D

跟踪训练2如图所示，在四边形/四中，AC=AB+AD,试判

断四边形的形状.

AB

题型三向量加法的实际应用

例3在水流速度为4小km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河

岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向.

跟踪训练3如图所示，一架飞机从［地按北偏东35°的方向北,一9

飞行800km到达8地接到受伤人员，然后又从5地按南偏东/

55°的方向飞行800km送往。地医院，求这架飞机飞行的路

程及两次位移的和.

DE

例4在正六边形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=c

【课堂达标】

1.作用在同一物体上的两个力£=60N,£=60N,当它们的夹角为120°时,

则这两个力的合力大小为（）

A.30NB.60NC.90ND.120N

2.如图，D、E、产分别是△4?。的边48、BC、。的中点，则下列等式中错误的

是（）

A.劭+9+龙=0B.阪+诙+序'=0入

C.FD+DE+Ab=AB\).AD+EC+Fb=Bb

ADB

3.已知在矩形口中，AB=2,BC=3,则质+反+近的模等于―

4.化简：（1）池+近+充

⑵（而+就）+（苑+函；

（3）加•丽+游）+比

5.如图所示，P,0是的边比'上两点，鱼BP=QC.

求证：AB+AC=AP+AQ.

【札记】

参考答案

【新知初探】

要点一：

两个向量和

思考答案作法1：在平面内任取一点。，作汤=a,AB=b,则布=a+6.

0:

作法2：在平面内任取一点0,作汤=a,0B=b,以0A,仍为邻边作口十”,连

接0C,则走=^+^=a+b.

QA

BC

要点二：

都不相同

相同

思考1答案-：AC=AB+BC,：.~AC=a^b.

,：A(^Ab+~DC,：.AC=b+a.

.\a+b=b+a.

思考2答案'：AD=AC+Cb=(AB+B<^+CD,

AD=(a+6)+c,

又•松森+应H瀛+(BC+Cb),

.\AD=a+(6+c),

{a+b)+c=a+(b+c).

【题型通关】

例1化简：

⑴反斗施⑵丽多+宛

(3)AB+DF+CD+BC+FA.

例1解{V)BC+AB=AB+BC=AC.

(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB

=(BC+Cb)+DB=BD+DB=Q.

(3)AB+DF+CD+BC+FA

=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CEPrDF+FA

=AD+DF+FA

=AF+FA=Q.

反思与感悟解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终

点及向量起、终点字母排列顺序.

跟踪训练1答案⑴丸(2)助⑶血(4)0

例2证明AB=Ab+OB,DC=DO+OC,

又,:讪=&,~OB=DO,：.AB=DC.

：.AB=CDRAB〃DC.

四边形口为平行四边形.

反思与感悟利用向量的加、减法证明平面几作

(1)要注意法则的应用；

(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合旦长度

相等.

解答本题，即证明四边形力时为平行四边形，只需证宓=龙

跟踪训练2解'：AC=AB+AD,

：.DC=DA+AC=DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB,即比=施

，四边形力交9为平行四边形.

一一DC

例3解如图，设4糜示水流速度，则力荣示船航行的实际速\

度，作条夹式；则应即表示船航行的速度.

因为|宓1=4,,|而|=12,/。8=90°,所以tanN4c8=^^=坐,

■L乙O

即N/%=30°,ZCAD=30°.

所以|91=8m，ZBAD=12Q°.

即船航行的速度为8小km/h,方向与水流方向所成角为120°.

反思与感悟速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转

化为数学中的向量问题解决.

跟踪训练3解设而，反分别表示飞机从/地按北偏东35°的方向飞行800km,

从8地按南偏东55°的方向飞行800km,

则飞机飞行的路程指的是I福+1反1；

两次飞行的位移的和指的是宓+反三而

依题意,^\AB\+\BC\=800+800=1600(km),

又a=35°,£=55°,ZABC=35°+55°=90°,

所以|泪=V走「+|而2=-\/8002+8002=80(hj2(km).

其中N物。=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.

从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800^2km,方

向为北偏东80°.

例4解析AC+BD+CE+DF+EA+FB

DE

=(荔+及)+(比+应+(而+应)+(应'+诙)+(砺+瓦I)+/\

(FA+A^)\/

BA

=(AB+BC+CD+EF++(BC+CD+DE+EF+FA+A^)

0+0=0,

答案0

【课堂达标】

1.答案B

2.答案D

解析FEPrDA+DE=FA+DE=Q,

Ab+BE+CF^AD+DF+FA=O,

FD+DE+AD=FE+AD=AD+DB=AB,

A/)+EC+Fb=Ab+O=Ab=DB^Bb.

故选D.

3.答案2713

解析|A