高中数学 曲线与方程练习 新人教A版选修2

2.1.2椭圆的简单几何性质(5)

♦知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对■称中心、

离心率、顶点的概念：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题：

♦过程与方法目标

(―)复习回顾：

1.椭圆的定义：

2.椭圆的标准方程是：

3.椭圆中&b,c的关系是：

(二)探究新课

(11)通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的儿何性质.

思考1：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

思考2：观察椭圆£+£=13>6>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？

a2b2

它具有怎样的时称性？椭圆上那些点比较特殊？

22

(2,)椭圆二+与=1(4>〃>0)的简单几何性质

①范围：,广b'

椭圆落在*=±”=±b组成的-中，

②对称性：

从图形上看，椭圆关于对称•

从方程上看：

(1)把x换成-X方程不变，图象关于对称；

(2)把y换成-y方程不变，图象关于对称；

(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变，图象关于对称。

用心爱心专心

③顶点：

令x=0,得y=?,说明椭圆与y轴的交点？

令y=0,得x=?说明椭圆与x轴的交点？

长轴，短轴

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长

探究：根据前面所学有关知识画出下列图形,

兰+匚122

(1,)2516(2,)XJ-I

254

④离心率:

(1)离心率的取值范围

(2)离心率对椭圆形状的影响：

J当e—1时，era,,分0]当e->0时，c->0,b—a

j椭圆图形越扁：j椭圆越接近于圆

思考：当e=0时，曲线是什么？当e=l时曲线又是什么？

[3]e与a,b的关系：

(试一试)：比较下列每组中椭圆的形状，那个更圆，那个更扁？为什么？

2222

(1)9d+y2=36与±+±=1(2)八9/=36与工+

1612610

)

4,归纳填表:

%2y222

标准方程_2_1(>/>0)xy

+=677—+^=l(tZ>/7>0)

范围

IxlWa,lylWbbdWbJyWa

对称性

顶点坐标(b,0)、Gb,0)、

(0,a)、(0,-a)

焦点坐标(0,c)>(0,-c)

半轴长

离心率

a、b、c的关

系

(iii)例题讲解与引申、

例1求椭圆16/+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

总结：1,由椭圆的方程化为标准方程，求出a,b,c.2,确定焦点的位置和长轴的位置

练习：求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

2

，、ry2

(1)——+—=1(2)2x2+丁=8

10036

例2.根据下列条件，求椭圆的标准方程。

①长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上

②长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0),Q(0,-3)两点.

③焦点在x轴上，a=6,e=—.

3

3

⑷长轴长等于20,离心率等于§

(三)课堂练习：

1，写出适合下列条件的椭圆的标准方程；

(1)焦点分别为(0,-4),(0,4),a=5；

(2)a+c=10,a-c=4

(3)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)；

(4)焦距是8,离心率等于0.8：

(四)课堂小结：

(五)课下作业：

课本49页，组3,4,

1、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为

2、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。

2.1.2椭圆的简单几何性质（6）

♦知识与技能目标

1,了解用方程的方法研究图形的对称性：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对

称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实

际问题：

2,椭圆第二定义、准线方程；

♦过程与方法目标

（一）复习回顾

1.椭圆的几何性质

X2V2

三•+4=1(0>8>0)标=l(a>b>0)

ab%

,焦点在轴上i

焦点在轴上

」一r——

厂J

1范围：xe_________,ye__________1范围:______，”-------------

2对称性：关于______对称；2对称性：关于______对称；

关于______对称；关于______对称；关于______对称；关于______对称；

3对称轴：以________为椭圆的长轴；3对称轴：以_______为椭圆的长轴；

以________为椭圆的短轴；以一______为椭圆的短轴；

以________为椭圆的焦距；以_______为椭圆的焦距；

4顶点坐标：Ai(),Az()4顶点坐标：Ai(),Az()

Bi(),B2()Bi(),B2()

5离心率：e=—（0<e<1）5离心率：e='(0<e<1)

aa

椭圆越扁，e越____；椭圆越圆，e越_____；椭圆越扁，e越_____;椭圆越圆，e越_____；

2,复习练习

1.椭圆9/+/=81的长轴长为,短轴长为——，半焦距为------，离心

率为——，焦点坐标为---------，顶点坐标为---------------------------------。

__3

2.短轴长为8,离心率为二的椭圆两焦点分别为4、F2,过点再作直线/交椭圆于A、B

两点，则AA8K的周长为

3.椭圆3*2+外2=3的一个焦点是（0,JJ）,则％=-

4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=

5.椭圆的长短轴之和为18,焦距为6,则椭圆

的标准方程为（)

22x2y2

A.-----1------L反——+2=1

9162516

222222

。噌+需=1或需+总y=1.D.—4-^=1

1625

6、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴

都对称的是（）

A、X2=4YB、X2+2XY+Y=0C、X2-4Y2=X

D、9X2+Y2=4

（-）例题讲解

例，如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的部分.过对对称的截口BAC

是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点耳上，片门位于另一个焦点心上，由椭圆一个

焦点£发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知8CJ.E工，

恒用=2.8的，|月周=4.5cm.建立适当的坐标系，求截口6AC1所在椭圆的方程.

22

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为j+与=1,算出。，仇C的

a~b'

值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上

在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.

例2,如图，设M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到直线/：x=亍的距离的比是常数

4

求点〃的轨迹方程.

5

分析：若设点M（x,y）,则J（x—4）2+y2,到直线/：苫=菖的距离

,则容易得点M的轨迹方程..Md

解：设d是的距离，”OF「x

根据题意，点M的轨迹是集合：'、'、…一1

P={M\

由此得:

将上式两边平方，并化简，得

所以，点M的轨迹是焦点在一轴上且a=_,b=_,c=_的椭圆。

分析：该椭圆的右焦点为尸2（），与题目中的—重合；

该椭圆的离心率为,与题目中的相等。

25

而题目中已知直线/:x==可以看成方程为（用b、c表示）

综上所述，得到

椭圆第二定义：与定点的距离和到定直线/的距离的比是常数e=£（O<e<l）的点

的轨迹叫做椭圆.a

注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线

而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。

试一试：1、求椭圆土•+匕=1的右焦点和右准线；左焦点和左准线;

2516

x2y2

2,椭圆---F1上的点M到左准线的距离是2.5,求M到左焦点的距离

2516

为

3,点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,求点M的轨迹方程.

X2y2

4、已知点M为椭圆于+%=1的上任意一点，FrB分别为左右焦点；且A(L2)求

+I的最小值

(四)课堂小结:

（五）课下作业：P49A组6.7.9,10

直线与椭圆的位置关系（7）

♦知识与技能目标

1,了解用方程的方法研究直线与椭圆的位置关系。

2,用形直觉，以数解形，数形结合思维这能大大提高分析问题、解决问题的能力.

♦过程与方法目标

（一）复习回顾

1.直线与椭圆的位置关系的判定：

（1）一代数方法

Ax+By+C=0

由方程组：

%+看=1

mx2+nx+p=0（mW0）

△=n2-4mp

△>01方程组有两解自两个交点树相交

△=oI方程组有一解Q一个交点Q相切

△<oQ方程组无解Q无交点㈡相离

（2）,几何法：相离（没有交点）相切（一个交点）

相交*>（二个交点）

试一试：求下列直线和椭圆的交点坐标。

%2V2

（1,）3x+10y-25=0,—+^-=1

⑵3叱2=咤+,1

(-)例题讲解

例1：直线y=kx+l与椭—+^-=1恒有公共点，求m的取值范围。

5m

例2:已知点玛、入分别是椭圆；-+/=1的左、右焦点，过B作倾斜角为(的直线交

椭圆于A、B两点，求△居AB的面积.

归纳2、弦长公式

设直线L有斜率七直线L与二次曲线C两个交点坐标分别为4（须方）,8（々42）,则它的

弦|甸=，1+硝再-q=，（1+舄［（%+々）2-4用々］=j++•|x-%|

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已（因

为M->2=上（丹-马），运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是，则|相|=|%一力|.

（练一练）：经过椭圆左焦点F,做倾斜角为60。的直线L,线直L椭圆相交于A,B.求

AB的长。

例3.已知椭圆±+二=1,直线4x—5y+4=0,椭圆上是否存在一点，到直线/的距离

259

最小?最小距离是多少?

分析：设〃）是椭圆上任一点，

试求点〃至U直线4*-5.»+40=。的距离的表达式.

S.

会试遇到困难怎么办？

作出直线/及椭圆，

观察图形，数形结合思考.

（四）课堂小结：

（五）课下作业:P49A组五

22

思考1:椭圆与+?=1的焦点为玛、F2,点P为其上的动点，当为钝角时，则

点P的横坐标的取值范围是.

X2y2

2过椭圆—+2=1内一点M（2,l）引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方

164

程.（点差法）

双曲线的几何性质⑵

1.结合问题导学自已预习课本56-58页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法.

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑.

3张进明：心静题自明，心细分亦取.

【重点难点】重点是判断直线和椭圆的位置关系、焦点弦,难点是计算能力的培养和提高.

【学习目标】1.掌握双曲线的几何性质。培养数形结合的思想。

一、问题导学：

问题1:双曲线上的点满足（用符号）____________________\/

\/

其标准方程是o其中a,b,'、/

C满足•―—―4-----卜―-

问题2：双曲线的几何性质，填下表/\

标准方程

观察图形，把握对称性,

开放性和特殊点

7K

范围

顶点

焦点

对称轴

对称中心

实轴与实轴的长

虚轴与虚轴的长

渐进线

离心率e=_____离心率越大，开口越_____

问题3：观察特征矩形，你从中都能看出什么性质

问题4：.等轴双曲线a=b,渐近线方程为

离心率=.

问题5[写出如图两个双曲线的方程和渐近线的方程,

从中你发现了什么规律？

22

问题6:在同一坐标系中，画出二-一二=1与

169

22

工-2L=1,并写出他们的渐近线方程,你发现了什

6436

么规律？

22।与总加

问题7：由上面的做图我们发现二-41渐近线•与

a2b2

22

=渐近线，是.

a2b2

问题8：如何求一个双曲线的渐近线方程。

二【小试牛刀I

1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：

①a=3,A=4,焦点在那山上；②焦点在y轴上，焦距为8,a=2.

22

2.双曲线L-L=i实轴和虚轴长分别是().

168

A.8、472B.8、