高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (53)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（53）

一、单项选择题（本大题共14小题，共70.（）分）

1.在四面体ABCD中,/BCD与44CD均是边长为4的等边三角形，二面角4-CD-8的大小为60°,

则四面体ABC。外接球的表面积为（）

A527rB208"2047r口527r

*3999

2.在四棱锥P—HBCD中，底面48co为正方形，PD1底面ABC。，PD=AB=2,M为PC的中

点，N为A8的中点，平面。MN截四棱锥为两部分，则含顶点P的部分与另一部分的体积比为

（）

A.3：2B.7.5C.8-5D.4：3

3.在棱长为1的正方体4BCD-4BIGDI中，点反尸是棱BC、CG的中点，P是底面A8C。上（含

边界）一动点，满足&P_LEF,则线段&P长度的取值范围是（）

A.[1,^]B.停,|]C.[1,V3]D.[V2,V3]

4.己知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平

面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）.

A.以上四个图形都是正确的

B.只有（2）（4）是正确的

C.只有（4）是错误的

D.只有（1）（2）是正确的

5.我国南北朝时期的伟大科学家祖也在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出

了下面的体积计算的原理（祖睢i原理）：“塞势既同，则积不容异”.“势”是几何体的高，“累”

是截面面积.意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等

.现有一旋转体。，它是由抛物线y=x2（x2o）,直线y=4及y轴围成的封闭图形（如图I所示）

绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖晒原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体

。的体积是（）

A.—B.6兀C.87rD.16TT

6.已知三棱锥。-ABC的体积为其且ABIBC，AB=8AD+BC=2应，则三棱锥。-ABC

3

的表面积为（）

A.2+2V2B.2+2V3C.2+2V6D.2+2V2+V6

7.己知三棱柱ABC-4B1C1的侧棱与底面垂直，力4=2,AB=AC=",BC=2,则三棱柱

48。一48也1外接球的表面积为（）

A.47rB.6nC.87rD.12兀

8.在△ABC中，AB=BC=4,NABC90，P为△ABC所在平面a外一点，且PA=PB=PC=6,

则二面角P-AB-C的余弦值为（）

A."B.任C.；D.立

7424

9.已知/£（卜23#67+）棱柱有/（£）个对角面，则（卜+1）棱柱的对角面个数/（卜+1）为（）

A./（fc）+fc-1B.f（k）+k+lC.f（k）+kD./（fc）+fc-2

10.在正方体4BCD-AiBiGDi中，P,Q分别为4/,B】C上的动点，且满足4P=B&,则下列4

个命题中：

①存在P,0的某一位置，使AB〃PQ；②国BPQ的面积为定值；

③当24>0时，直线PBi与直线AQ一定异面；

④无论P,。运动到何位置，均有BC1PQ.其中所有正确命题的序号是

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

11.在正方体中力BCD中，若点P（异于点B）是棱上的一点，则满足BP和4C'所成角为45。的

点P有（）个

A.1B.2C.3D.4

12.已知三角形PAO所在平面与矩形ABC。所在平面互相垂直,P4=PD=AB=4,^APD=90°,

若点P、A、B、C、。都在同一球面上，则此球的表面积等于（）

A.24兀B.487rC.36兀D.967r

13.在正方体4BC0-4B1GD1中，与交于点M在平面当的可中，GN的垂直平分线交4Q

于点尸，若GF=3,则正方体ABCD-A/iGDi的外接球的表面积为

A.127rB.247rC.36兀D.48兀

14.一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为3则圆锥的内切球的表面积为（）

A.87TB..4（2+V2）2TT

C.4（2-夜）2兀D.32（2J）27r

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

15.在下列命题中，其中假命题的是（）

A.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆锥

B,直平行六面体是长方体

C.若/垂直于a内无数条直线，则/La

D.若己知四个点不共面，则其中任意三点不共线

三、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

16.四面体ABC。的四个顶点都在球。的球面上，平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角

形.若AB=2,则球。的表面积为.

17.已知直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，该三棱柱的外接球的表面积为等，则该三棱柱的

高为•

18.在三棱锥4-BCD中，底面BC£＞是直角三角形且BCUCD,斜边8。上的高为1,三棱锥A-BCD

的外接球的直径是A8,若该外接球的表面积为16兀，则三棱锥A-BC。体积的最大值为

19.已知平行四边形A8CD中，4B=夜，AD=1,乙4=45。，沿8。将△力BC折起到△BZZ4'位置，

使AC=V3,则空间四边形4BCD的外接球表面积为.

20.三棱锥P-4BC中，PA.PB、PC两两互相垂直，且P4=PB=PC=2,则此三棱锥外接球的

半径长为.

21.已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1,高为2的圆锥，当正四棱柱体

积最大时，该正四棱柱的底面边长为.

22.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两遒堵.斜解遒堵，其为阳马,

一为鳖膈.阳马居二，鳖席居一，不易之率也.合两鳖席三而一，验之以蒸，其形露矣.”若

称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1,则对该几何

体描述：

①四个侧面都是直角三角形；

②最长的侧棱长为2遍；

③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；

④外接球的表面积为247r.

其中正确的为______________

23.直三棱柱48。一48道1中，/.ABC=90°,AB=1,BC=，,AAr=2,其外接球的体积为

24.在三棱锥P-ABC中，侧棱尸4,PB,PC两两垂直且长度均为2,则三棱锥P-ABC外接球的半

径是,球心到侧面PAB的距离是.

25.设P,A,B,C为球。表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，月=2m,PB=3m,PC=4m,

则球。的表面积为m2.

26.已知正方体力BCD-48传1。1的棱长为1,点尸是线段41cl上的动点，则四棱锥P-4BCD的外

接球的半径R的取值范围为.

27.正方体ABCD-AiBiGD］的棱长为1,例N是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，

则两•闻的最大值为.

28.现将一个体积为瞥的球体,通过切削的方法得出一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为.

29.已知正四面体48C。的四个顶点都在球心为。的球面上，点P为棱8c的中点，BC=6位，过

点P作球。的截面，则截面面积的最小值为.

四、多空题（本大题共1小题，共4.0分）

30.已知四棱柱4BCD-的底面ABCD是正方形，底面边长和侧棱长均为2,^ArAB=

AArAD=60°,则对角线4cl的长为已面直线BBi与4cl所成角的余弦值为

【答案与解析】

1.答案：B

解析:

本题考查了三棱锥的外接球，考查了球的表面积公式，属于中档题.

根据题意求出球的半径，然后由球的表面积公式求解即可.

解：取8的中点，连接AE、BE,作AM1BE与点

设三角形5C。的中心为。1，球的球心为。，连接A。、0。1、0D,

则由已知可得4B=AE=BE=2g,0透=誓

ME=AM=3,。避=嗫

001=飞R2-0口

又4。2=M。/+(AM_00J2可得

_/।----------\2

R2

解得R2=不

球的表面积为4兀/?2=轨x£=

2.答案：B

解析：

本题考查棱锥的结构特征和体积的计算，属于较难题.

依题意先作出截面DMQN,再求出四棱锥P-4BCD的体积，不含顶点P的部分的体积BQN-DMC等

于三棱锥”-DCF的体积减去三棱锥Q-BNF的体积，再分别求出这两个三棱锥的体积，即可得到

不含顶点P的部分的体积，含顶点P的部分，即可得答案.

解：设PB中点E,延长。N、CB交于F,连M尸交PC于。,

则平面截四棱锥得到的截面为DMQN,

如图:

由BF=BC,ME=|BC,

易得EQ=：BQ,所以Q为PB的三等分点，

四棱锥P-ABCD的体积V=|x2x2x2=|,

不含顶点P的部分的体积BQN-OMC等于三棱锥M-DCF的体积减去三棱锥Q-BNF的体积,

三棱锥M-OCF的体积VM-DCF=|x|x2x4xl=|,

三棱锥Q-8N尸的体积％的F=|x|x2xlx|=|,

所以不含顶点P的部分的体积为:|=m

则含顶点尸的部分为；与=学

则含顶点尸的部分与另一部分的体积比为甘：费=7:5,

故选正

3.答案：。

解析:

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化

能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属中档

题.连接BG，ArD,可得EF//BC],ArD1BClt则1EF,再由

已知正方体可得。CJ_EF,得EF1平面&DC,贝必1C1EF,得到当P

在线段C。上运动EI寸，有&P1EF,进一步得到当产与。重合时，ArP

有最小值为鱼，当尸与c重合时，4P有最大值为VT

解：如图，连接BG，ArD,可得EF//BG，ArD1BCr,

ArD±EF,

又DC1.EF,可得EF_L平面&DC,则41cl.EF,

•••当P在线段CO上运动时，有&PJLEF,

当户与。重合时，4止有最小值为鱼，当P与C重合时，&P有最大值为我.

二线段&P长度的取值范围是［低,遍］.

故选：D.

4.答案：C

解析：解：(1)当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如(1)图所示；

(2)过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如(2)图所示；

(3)过三棱锥的一个顶点(不过棱)和球心所得截面如(3)图所示；

(4)棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以(4)是错误的.

故选：C.

正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上

本题考查了三棱锥的截面图，综合了球的截面图，增加了难度，考查学生的空间想象力.从点线面

入手，想一下有没有可能.

5.答案：C

解析：

本题考查了数学文化，读懂题干含义是解题关键，属于中档题.

由题意，4x=n-22,求出％=兀，再求出长方体的一半的体积即可.

解：由题意，4x=7T-22,X=TI,

二旋转体D的体积是lx4x4x7T=8兀，

故选C.

6.答案：A

解析:

本题考查简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体

积，涉及基本不等式的应用，属于中档题.

由题意，AB±BC，过点。向平面作垂线则DA>DA',所以%..c=^ABC-DA'^2■

BC-DA'=—.可得BC-CA=2,^BC-DA>2,

3

又由BC+AD>2y/BC-AD=2或，而AD+BC=2或，得BC=AO取等号，且4D_L平面ABC,由

所给数据可得计算三棱锥。-ABC的表面积.

解：由题意，.，1„3C，过点。向平面作垂线D4',则ZMZDA,

所以匕)-4BC=9s4ABe•=：x[xa•BC•DA'=曰'

可得BC•DA'=2,得BC-DA>2,

又由BC+AD>27BC-AD=2VL而4。+BC=2V2，

得BC=AD=VI取等号，且4。>L平面ABC,

所以，AC=BD=2,

二棱锥D—ABC的表面积S=SAABC+S4A8D+S^ACD+SABCD

=|xV2xV2+ixV2xV2+1x2xV2+ix2xV2=2+2V2.

故选A.

7.答案：C

解析：

本题考查了直三棱柱的性质、球的表面积、勾股定理及其逆定理，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

如图所示，由4B2+AC2=BC2,则力B14C,所以该三棱柱底面是等腰直角三角形，将三棱柱补形

成长方体，进而得出结论.

解：由题意知该三棱柱为直三棱柱，

又因为4B=AC=戊,BC=2,

^\AB2+AC2=BC2,则4B14C,

所以该三棱柱底面是等腰直角三角形，将三棱柱补形成长方体，

则长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以外接球半径R=||(V2)2+(V2)2+22=V2.

则三棱柱ABC-4181cl外接球的表面积S=4rrR28n,

故选c.

8.答案：D

解析：

本题考查二面角的求解及三垂线定理及其逆定理，同时考查棱锥的性质，由已知结合三垂线定理,

作出二面角的平面角即可求解.

解：因为P4=PB=PC=6,

所以尸在平面ABC上的射影为△ABC的外心，

又48=BC=4,4ABC=90°,

所以△ABC的外心为AC的中点。，

如下图，

取AB的中点力，连接0。，PD,

因为。，。分别为所在边的中点，所以0D〃BC,

又N4BC=90。，所以。DJ.AB,

又P。J■平面ABC,

所以由三垂线定理及其逆定理知PDLAB,

所以NPD。为二面角P-AB-C的平面角,

由已知可得OD=\BC=2,P0=J62-(2V2)2=2\[7,PD=yJPO2+OD2=4位，

所以cos/PDO

PD4

即二面角P->48-C的余弦值为

4

故选。.

9.答案：A

解析：

本小题主要考查归纳推理、棱柱的几何特征、数列的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查转

化思想.属于基础题.

因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一侧棱与它不相邻的--条侧棱都能作对角面，可作(k-

3)个对角面，％条侧棱可作3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有

k(k-3)+2个对角面，从而得出f(k+1)与/(£)的关系.

解：因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，

可作(k-3)个对角面，上条侧棱可作k(k-3)个对角面，

由于这些对角面是相互之间重复计算了，

所以共有-3)+2个对角面，

所以可得f(k+1)-f(k)=(k+l)(/c+1-3)2-fc(/c-3)4-2=/c-1,

故/(k+1)=f(k)+/c-l.

故选A.

10.答案：B

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象

能力，是中档题.

在A中，当P,。分别是线段ZD】和&C的中点时，AB//PQ-,在B中，P在A处时，ABPQ的面积

为条P在Di处时，ABP。的面积为当；在C中，假设直线PH】与AQ是共面直线，则AP与BiQ共面,

矛盾；在。中，由BC1平面PP'Q'Q得无论P,。运动到任何位置，均有BCJ.PQ.

解：在①中，当P,。分别是线段4么和当C的中点时，AB//PQ,故①正确：

在②中，P在A处时，的面积为土

尸在5处时，△BPQ的面积为ABCOi的面积，为日，

故ABPQ面积不是定值，故②错误；

在③中，当PA>0时，假设直线PBi与AQ是共面直线，

则AP与BiQ共面，矛盾，所以直线PB］与A。是异面直线，故③正确；

在④中，3c垂直于PQ在平面ABCQ内的射影P'Q',如图，

又因为BCJ.QQ',BC1P'Q',QQ'nP'Q'=Q',QQ'u平面PP，Q，Q、P，Q，u平面PP，Q，Q,

所以8C1平面PP'Q'Q,

又PQu平面PP，Q，Q,

所以无论产，。运动到任何位置，均有BC1PQ,故④正确.

故选8.

11.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查立体几何知识的综合应用，关键是能够利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确

定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满

足要求的点，属于较难题.

将各个顶点分别与B的连线与直线4C'所成的角大于45。和小于45。两类；从而可知当点尸在

B'CICC',AC'上运动时都经历了从小于45。到大于45。的变化，从而得到结果.

解：将正方体各个顶点（除过B点）先分类，

第一类：顶点与8点的连线与直线AC，所成角大于45。，

第二类：顶点与B点的连线与直线4C'所成角小于45。，

显然54、BB，、BC与4C'所成角的正切值为迎，

故大于45。，因此A、C、B'属于第一类顶点用①标注（如图），

BD、BA'与AC'所成的角为90。，大于45。，

。、4'属于第一类顶点，用①标注（如图），

BD'与4C'所成角大于45。，所以D'用①标注（如图），

BC'与AC'所成角的正切为立，小于45。，

2

所以C'用②标注（如图），

当P在AO上运动时，因为BA、与AC'所成的角均小于45。，故不存在，

当尸在B'C'上运动时，BP与两端所成角一个大于45。，一个小于45。，故必然存在等于45。的点,

以此类推，只有P在B'C'、CD'.CC'上分运动时，才会有45。角出现.

综上可知：满足条件的点P有且只有3个.

故选C.

12.答案：B

解析：

本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题.

根据棱锥的结构特征判断外接球的球心位置，得出外接球的半径，从而得出球的表面积.

解：如图，取AD的中点矩形ABCD的中心。，连接OP,OM,PM,

P

■■■PA=PD=4,AAPD=90°,

AD=4V2.PM=2V2，PMLAD,

又平面24。J■平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,

■:PMu平面PAD,

•••PM1平面ABCD,

OMu平面ABCD,

故PM±OM,

又OM==2,

OP=7PM2+OM2=2后又。4=OB=OC=OD=<OM2+MD2=26，

.1.。为四棱锥P-4BCD的外接球球心，

•••外接球的表面积S=4兀X(2百>=487r.

故选8.

13.答案:D

解析：

本题考查正方体外接球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题.

根据正方体的结构特征结合条件求出正方体的棱长，得到其体对角线即为球的半径.

解：设正方体48。。一月$传1。1的棱长为a,则&N=苧a,

因为GN的垂直平分线交BiG于点F,

所以|NF|=G用.因为GF=3,所以|当?|=a-3.

则J(a—3)2+(1aj=3，

解得a=0(舍去)或a=4.

设正方体力BCD-AiBiQDi的外接球的半径为R,

则2R=742+42+42=4百，解得R=2次.

故正方体48co-&为6。1的外接球的表面积为S=4TTR2=4兀X(2百1=487r.

故选。.

14.答案：C

解析：

本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，是中档题.

由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得

答案.

解：作出圆锥截面图如图，太

•••母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为%/\

圆锥底面半径与高均为或.

设内切球的半径为r,则利用轴截面，/「\

AB

根据等面积可得；x2V2xV2=ix(2+2+2V2)r,

r=2—y/2,

二该圆锥内切球的表面积为4兀x(2-V2)2=4(2-V2)2TT.

故选C.

15.答案：ABC

解析：

本题主要考查了简单组合体及其结构特征，平面的基本性质及其应用，属于中档题.

逐个判断即可.

解：4直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故A错误；

员若底面不是长方形，则直平行六面体不是长方体，故B错误；

C.若/垂直于a内无数条直线，则/不一定与a垂直，故C错误；

。.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则四点共面，故。正确.

故选ABC.

16.答案：167r

解析：

本题考查四面体ABCQ的外接球的表面积，关键是利用四面体及球的结构特征得出球的半径.

解：如图，由题意球心。在平面BCZ)内的投影为等边三角形BCD的中心E,

G为AB中点，连接。瓜。4、OB、OG、BE,

0A=OB=R,则。GLAB,

又AB工平面BCD,OE，平面BCD,

则BG1BE,OE1BE,

所以四边形G8E。为矩形，

则。E=BG=^AB=1,BE=I加一GJ_后

所以在直角三角形OEB中，R=0B=J12+(V3)2=2-

则球。的表面积为ITTR2167r.

故答案为167r.

17.答案：3

解析:

本题主要考查了直三棱柱的结构特征，外接球表面积求法，考查了空间想象能力，属于中档题.

根据直三棱柱的结构特点可得，外接球的球心。在三棱柱上下底面中心连线的中点上，根据三棱柱

的外接球的表面积为管，得到半径上然后结合勾股定理即可求解.

解：由题意，三棱柱外接球的球心0在其上下底面中心连线的中点上,

其结构图如下：

易知B01=-BD=-x2x—=—)

13323

又三棱柱的外接球的表面积s4TTR2=,即R2=工,

在RtdBOOi中，由勾股定理得BO?=B。/+。。/,

即R2=枭=5+。0]2,解得00]=a

•••该三棱柱的高为01。2=2001=2x|=3,

故答案为3.

4

案

容-

8.3

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积的求法，考查

运算求解能力，是中档题.由题意画出图形，设=把棱锥体积用含有x的代数式表示，然后

利用二次函数求最值.

解：如图，

由外接球的表面积为16兀，可得外接球的半径为2,则48=4.

设AD=x,则80=V16-%2,

又8。边上的高CH=1,

.•.当CH1平面时，棱锥4-BCD体积最大，

此时V=-x-x-V16—x2=-V—x4+16x2.

326

・••当/=8时，V有最大值为，

故答案为

19.答案：：加

解析：

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，属于基础题.

关键是分析出这个三棱锥A-BCD在有个棱长为1的正方体中的位置.

解：在三角形ABD中，BO=y/AB2+AD2-2AB-BD-cos450=1,

所以三角形48。是以/4DB为直角的等腰直角三角形，

因为平行四边形ABC。，所以三角形8CQ是以NDBC为直角的等腰直角三角形,

结合AC=6，可得可以将这个三棱锥补成一个棱长为1的正方体，

故答案为37r.

20.答案：V3

解析：

本题考查了球与多面体的组合体，由己知三棱锥的三条侧棱两两相等且互相垂直，则它的外接球与

以该棱长为棱长的正方体的外接球相同，即可求出外接球半径.

解：依题意，三棱锥P-4BC的三条侧棱PA、PB、PC两两相等且互相垂直，

所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，

因为正方体的对角线的长+22+22=2>/3,

所以球的直径是26，球的半径为小,

则此三棱锥外接球的半径为旧.

故答案为百.

21.答案：出

3

解析：

本题考查了简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积和利用基本不等

式求最值.

利用正四棱柱与圆锥的结构特征，作轴截图，解三角形得正四棱柱底面边长为。与高〃的数量关系,

再利用柱体的体积公式，结合利用基本不等式求最值计算得结论.

解：过正四棱柱的对角面作圆锥P0的轴截面如下图：

设正四棱柱底面边长为a（o<a<l），高为h,

则A。=0C=℃=ya,OOi=CCi=h.

因为4P01G-AP0F,

所以鬻^二卷，即&=工，解得h=2—&a，

P°1P02-h2

因此正四棱柱体积U=a2h=a2（2—V2a）

=4V2-a）

<4位隹h空T=至，

一[327

当且仅当3=近一a，即。=延时，等号成立.

23

因此正四棱柱的底面边长为2.

3

故答案为2.

3

22.答案：①②④

解析：

本题考查了由三视图还原几何体，属于中档题.

通过三视图还原出几何体，进行求解判断即可.

解：由题目中的三视图可还原几何体如下：

E

下底面为4宽2的矩形，EOL平面A8CD,ED=2,

・•.①四个侧面都是直角三角形，正确；

②最长的侧棱长为EB=2后，正确；

③四个侧面不存在全等的直角三角形，故错误；

④外接球的球心为仍中点，半径厂=声，表面积为24兀，正确.

故正确的描述有①②④，

故答案为①②④.

23.答案：随兀

3

解析:

本题考查空间想象能力，勾股定理，直角三角形与圆的关系，球体体积的求法，属于中档题.画出

示意图求出R,进而求解.

解：由题意，画出示意图，如图所示,

VAB=1,BC=V3,AB1BC,

AC=yjAB2+BC2=2

1

r=­AC=1

2

=V2

外接球体积了=£兀/?3=这

33

故答案为随7r.

3

24.答案:V3,1

解析：

本题考查三棱锥外接球问题，属于中档题.

由三线垂直联想正方体，利用外接球直径为体对角线长，容易得解，球心到侧面PAB的距离相当于

正方体的中心到侧面的距离.

解：由PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2,

可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为体对角线长，即2R=2百，

R=V3,球心到侧面PAB的距离相当于正方体的中心到侧面的距离，所以球心到

侧面048的距离为2=1.

故答案为V5,l.

25.答案：297r

解析：

本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件计算出球。的半径，是解

答本题的关键，属基础题.

由已知中P,A,B,C是球。表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，球的直径等于以PA,PB,

PC长为棱长的长方体的对角线长，我们易求出球。的半径，进而求出球。的表面积.

解：因为A,B,C是球。表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，

则球的直径等于以PA,PB,PC长为棱长的长方体的对角线长，

且P4=2m,PB—3m,PC-4m,2R=V22+32+42-V29m，

则球。的表面积Sl^rR2，

故答案为297r.

26.答案：倬有

解析：

本题考查球与几何体的关系，考查空间想象能力以及转化思想的应用.画出图形，设P-ABC。的外

222

接球的球心为G,说明GP=GA=R，设0针=x,OrG=y,求出OG=l-y,推出R=x+y,

然后推出R与y的函数关系，利用二次函数的值域求出R的范围即可.

解：如图,

设P-ABCD的外接球的球心为G,

A,B,C,。在球面上，二球心在正方体上下底面中心连线01。上，点P也在

球上，

・•・GP=GA=R

•・•棱长为1,・，.0A=乎，设。1P=%,OXG=y,

则OG=1-y,在Rt^GOiP中，有R2=%2+y2①,

在Rt△G04中，R2=(号)2+(l-y)2…②，将①代入②，得x2=

3

Fl

_2y,

v0<x<—,

-2

1

E

3

0

,；・/?2=x2+y2=

-2y+y2=。-1）2+

1

E

9

0

3

]>

于是R的最小值为

3

B

.R的取值范围是：生小

故答案为生小

27.答案：j

解析：

本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

由题意，作出图形，连接尸0,可得丽・丽=（而+两）・（而+而）=对2一[,当।同।取得最

大嘴时，即可得出丽而取得最大值.

解：由题意，作出几何图形，连