2024届广东省江门市高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省江门市2024届高三上学期第一次月考数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因，，则.故选：B2.已知是数满足，则对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，则，则，因此，对应的点位于第一象限.故选：A.3.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，，，所以.故选：C.4.设、、且，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A选项，因为函数为上的增函数，且，则，A对；对于B选项，取，，则，但，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（）条件A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，对任意的恒成立，当时，则，解得：，故的取值范围为．故“”是的充分不必要条件．故选：A6.已知数列的前项和为，且满足，则（）A.16 B.18 C.20 D.25〖答案〗B〖解析〗依题意，.故选：B.7.若的展开式中常数项是10，则m＝（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；令，解得，则的展开式的常数项为，因为的展开式中常数项是10，所以，解得，故选：D8.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗依题意，，令替换得，再令替换得.所以是周期为的周期函数.所以.故选：D二、多项选择题9.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为2〖答案〗CD〖解析〗由题意，均为正数，，A项，∵，∴与夹角不为钝角，A错误；B项，∵，∴向量在方向上的投影为，B错误；C项，∵，，∴，即，C正确；D项，∵，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2，D正确；故选：CD.10.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（）A.若p，q为实数，则是等比数列B.若数列的前项和为，则，，成等差数列C.若数列的公比，则数列是递增数列D.若数列的公差，则数列是递减数列〖答案〗BD〖解析〗取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.故选：BD.11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为〖答案〗ABD〖解析〗A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D选项错误.故选：ABD12.已知函数，则（）A.函数的图象关于原点对称 B.函数的图象关于轴对称C.函数的值域为 D.函数是减函数〖答案〗AC〖解析〗的定义域为，，则，所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；，因为,所以,，所以,故的值域为,C正确；设,则,因为，所以，所以,即，所以函数是增函数，故D错误，故选:AC.三、填空题13.已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得.故〖答案〗为：.14.已知正实数,满足,则最小值为______．〖答案〗16〖解析〗,所以当且仅当即时等号成立,所以,的最小值为16.故〖答案〗为:16.15.________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：16.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测乙车间的次品率为____________.〖答案〗〖解析〗设表示“取到的是一件次品”，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间的一个划分，且有，由于，设，由全概率公式得即，解得，推测乙车间的次品率为故〖答案〗为：四、解答题17.等比数列的公比为2，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，；（2），.；综上，18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调增区间．解：（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.19.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男105060女101020合计206080（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.P(χ2≥x0)0.150.10.050.0250.010.005x02.0722.7063.8415.0246.6357.879.解：（1）提出假设H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，根据样本提供的2×2列联表得，，当H0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为居民的休闲方式与性别有关.（2）由题意得，，且，故,20.如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．（1）证明：；（2）当时，求与平面所成角的正弦值．（1）证明：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设，所以，所以.（2）解：当时，，，，，设平面的法向量为，则，故可设，设与平面所成角为，则.21.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N，2（用样本平均数和标准差s分别作为、的近似值），已知样本标准差s7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）（3）从得分区间80，90和90，100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间80，90的概率．参考数据：若X~N，2，则PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.解：（1）由频率分布直方图可知，平均分；（2）由（1）可知设学校期望的平均分约为m，则，因为，，所以，即，所以学校期望的平均分约为73分；（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，分数在应抽取人，记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间80，90，则，，则．所以抽测3份试卷有2份来自区间80，90的概率为.22.已知函数.（1）若是函数的极值点，求m的值；（2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）函数，定义域为，，是函数的极值点，所以，则.若，则有，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，是函数的极值点.故.（2）若在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，则.当时，，∴在上单调递增且，故当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减；故当时，取得极小值，也是最小值，则，所以实数m的取值范围为.广东省江门市2024届高三上学期第一次月考数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因，，则.故选：B2.已知是数满足，则对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，则，则，因此，对应的点位于第一象限.故选：A.3.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，，，所以.故选：C.4.设、、且，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A选项，因为函数为上的增函数，且，则，A对；对于B选项，取，，则，但，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（）条件A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，对任意的恒成立，当时，则，解得：，故的取值范围为．故“”是的充分不必要条件．故选：A6.已知数列的前项和为，且满足，则（）A.16 B.18 C.20 D.25〖答案〗B〖解析〗依题意，.故选：B.7.若的展开式中常数项是10，则m＝（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；令，解得，则的展开式的常数项为，因为的展开式中常数项是10，所以，解得，故选：D8.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗依题意，，令替换得，再令替换得.所以是周期为的周期函数.所以.故选：D二、多项选择题9.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为2〖答案〗CD〖解析〗由题意，均为正数，，A项，∵，∴与夹角不为钝角，A错误；B项，∵，∴向量在方向上的投影为，B错误；C项，∵，，∴，即，C正确；D项，∵，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2，D正确；故选：CD.10.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（）A.若p，q为实数，则是等比数列B.若数列的前项和为，则，，成等差数列C.若数列的公比，则数列是递增数列D.若数列的公差，则数列是递减数列〖答案〗BD〖解析〗取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.故选：BD.11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为〖答案〗ABD〖解析〗A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D选项错误.故选：ABD12.已知函数，则（）A.函数的图象关于原点对称 B.函数的图象关于轴对称C.函数的值域为 D.函数是减函数〖答案〗AC〖解析〗的定义域为，，则，所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；，因为,所以,，所以,故的值域为,C正确；设,则,因为，所以，所以,即，所以函数是增函数，故D错误，故选:AC.三、填空题13.已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得.故〖答案〗为：.14.已知正实数,满足,则最小值为______．〖答案〗16〖解析〗,所以当且仅当即时等号成立,所以,的最小值为16.故〖答案〗为:16.15.________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：16.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测乙车间的次品率为____________.〖答案〗〖解析〗设表示“取到的是一件次品”，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间的一个划分，且有，由于，设，由全概率公式得即，解得，推测乙车间的次品率为故〖答案〗为：四、解答题17.等比数列的公比为2，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，；（2），.；综上，18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调增区间．解：（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.19.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男105060女101020合计206080（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.P(χ2≥x0)0.150.10.050.0250.010.005x02.0722.7063.8415.0246.6357.879.解：（1）提出假设H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，根据样本提供的2×2列联表得，，当H0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为居民的休闲方式与性别有关.（2）由题意得，，且，故,20.如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．（1）证明：；（2）当时，求与平面所成角的正弦值．（1）证明：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设，所以，所以.（2）解：当时，，，，，设平面的法向量为，则，故可设，设与平面所成角为，则.21.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（2）