人教版初中数学基础知识史上归纳

七年级

第一章有理数

1、有理数：整数和分数统称为有理数。有理数包括有限小数或无限循环小数。

整数：正整数、0、负整数；分数：正分数、负分数。

2、数轴：(1)四要素：直线、原点、正方向、单位长度。(2)正数在原点的右边，负数在原点的左

边，数轴上右边的数总大于左边的数。

3、相反数：只有符号相同的两个数叫做互为相反数。(1)如果a.b互为相反数，那么*b=0。(2)

互为相反数的两数位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等。

4、绝对值：表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值。(1)正数的绝对值是它本身；负数的绝对值

是它的相反数；0的绝对值是0o(2)两个负数，绝对值大的反而小。

5、有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互

为相反数的两个数相加和为0o③一个数与0相加，仍得这个数。

@运算律：交换律升b=b+&结合律(*b)+c=*(b+c)。

6、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

7、化简规则：①同号结合；②同分母的结合；③互为相反数的结合；④凑整结合。

8、乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数同0相乘，都得0o③乘积是1的两个数互为倒数。

④几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。⑤运

算律：交换律ab=ba;结合律(ab)c=a(bc);分配律a(b+c)=ab+aco

9、除法法则：①除以一个不等于。的数，等于乘这个数的倒数。②两数相除，同号得正，异号

得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

10、有理数的乘方：屋中，a叫底数，n叫指数，整个结果叫鬲。

①负数的奇次塞是负数，负数的偶次幕是正数。

②正数的任何次鬲都是正数，。的任何正整数次鬲都是0.

11、运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减。②同级运算，从左到右进行。

③有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

14科学计数法：axlOn,1<«<10,n是整数。如果大于10,n比整数位小一；如果是小于1的小数,

从左数第一个不为零的数前面有几个零，n就是负几次方。

13、有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效

数字。

第二章整式加减

1、整式：⑴单项式：只含有数或字母的积的式子叫单项式。（单独一个字母或数字也是单项式）；系

数：单项式中的数字因数；次数：单项式中，所有字母的指数和。

⑵多项式：①项：每一个单项式（注意带符号）。②次数：多项式里次数最高的项的次数。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

3、合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。

第三章一元一次方程

1、等式的性质一：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质二：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为。的数，结果仍相等。

2、一元一次方程的解法：去分母-去括号-移项-合并同类项-系数化为一。

注意：①去分母：两边同乘分母的最小公倍时，每一项都不能漏乘。

②去括号："去正不变，去负全变"。

③移项：是从等号一端移到另一端，移项要变号。

④合并同类项：系数相加减做系数，字母和字母的指数不变。

⑤系数化为一

h

3、一元一次方程的解的讨论：ax=b①当步0时，方程有唯一解为x=-

a

②当40而b=0时，方程有无数个解。③当a=0而故0时，方程没有解。

第四章图形的认识

1、直线、射线、线段：

①两点确定一条直线。②两点之间线段最短。③线段的比较：度量法和叠合法。

④两点间的距离：连接两点间线段的长度。⑤线段中点：将线段平均分成两部分

2、2、角：①有公共端点的两条射线组成的图形叫角。

②角的换算：1周角=360°；1平角=90°；1°=60'；1'=60"。③角的比较：度量法和叠合法。

④角的运算：加减乘除；度与度相运算，分与分相运算，秒与秒相运算。

⑤余角和补角：A、B互余-A+B=90°；A、B互补-A+B=180。。等角的补角相等，等角的余角相

等。⑥角平分线：将角平均分成两份，画法：尺规作图或量角器。

第五章相交线与平行线

1、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。

2、垂直的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3、垂线段最短。

4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

5、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

6、平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。

推论：垂直于同一直线的两直线互相平行。

7、平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

8、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。

9、命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。

命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。

第六章平面直角坐标系

1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。

2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；

竖直的数轴为V轴或纵轴,取向上为正方向；

两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3、各象限点的坐标符号：(注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限)

4、特征坐标：

x轴上纵坐标为0;y轴上f横坐标为0;

一三象限夹角平分线上-横纵坐标相等；

二四象限夹角平分线上-横纵坐标互为相反数。

5、对称规律：

关于x轴对称-横坐标不变，纵坐标互为相反数;

第三象限第四象限关于y轴对称-横坐标互为相反数，纵坐标不变;

关于原点对称-横纵坐标都互为相反数。

6、平移规律：左右平移-纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移f横坐标不变，纵坐标上加下减。

第七章三角形

1、三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2、三条重要的线段：

高：过顶点作对应边的垂线段

中线：连接顶点与对应底边中点的线段

角平分线：角的平分线与对应边相交所得的线段

3、三角形的内角和等于180。，外角和等于360。.

4、三角形的外角：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

5、多边形的内角和等于(“-2)x180。，多边形的外角和是360。。

n(n-3)

6、多边形的对角线：过一个顶点可作(n-3)条，共有条。

7、平面镶嵌：在一个顶点处的各角和为360度。

单独可镶：正三角形，正方形，正六边形。

两种组合镶嵌：边数成倍数关系

第八章二元一次方程组

1、二元一次方程：两个未知数，所含未知数的项的次数都是1

2、二元一次方程组：两个未知数相同的二元一次方程组合在一起

3、二元一次方程组的解法：

①代入消元法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，

再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

②加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或

相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，再求解。

③消常数法：当两个方程的常数项相同或相反时，把这两个方程相减或相加，消去常数，得出两个未

知数间的关系，再代入其中一个方程求解。

4、二元一次方程组的解：同时满足这两个方程的一组未知数的值。

5、实际应用：审题-设未知数-列方程组-解方程组-检验-作答。

第九章不等式与不等式组

1、不等式：含有">"、"<"、""、"W"、"。"的式子

2、一元一次不等式：一个未知数，未知数的次数是1的不等式

3、不等式的性质：

①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向改变。

②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

③不等式两边乘（或除以）同一负数，不等号的方向改变。

4、不等式的解法：同一元一次方程一样，注意符号和不等号方向。

5、不等式组的解："大大取大"，"小小取小"，"大小小大取中间"，"大大小小是无解"。

第十章数据的收集、整理与描述

1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。

（1）通过调查收集数据的一般步骤：

①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论

（2）收集数据常用的方法：①民意调查：如投票选举②实地调查：如现场进行观察、收集、统计数

据③媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。

2、数据的表示方法：

（1）统计表：直观地反映数据的分布规律（2）折线图：反映数据的变化趋势

(3)条形图：反映每个项目的具体数据(4)扇形图：反映各部分在总体中所占的百分比

(5)频数分布直方图：直观形象地反映频数分布情况6)频数分布折线图：在频数分布直方图的基

础上，取每一个长方形上边的中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点

3、调查方式：(1)全面调查，优点是可靠八真实；(2)抽样调查，优点是省时、省力，减少破坏性；

随机抽样调查具有广泛性和代表性。。

4、总体和样本：(1)总体：要考察的所有对象(2)个体：组成总体的每一个考察对象

(3)样本：从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。

(4)样本容量：样本中给个体的数目

5、组距：每个小组两个端点之间的距离

6、画直方图的一般步骤：

(1)计算最大值与最小值的差；

(2)决定组距与组数，先根据数据个数确定组距，再计算组数，

注意无论整除与否，组数总是比商的整数位数多1；

(3)确定分点，并分组；

(4)列频数分布表；(5)绘制频数分布直方图

八年级

第十一章全等三角形

1.全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。

2.全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)两角和它们的夹边(ASA1两

角和其中一角的对边对应相等(AAS1斜边和直角边相等的两直角三角形(HL1

3.角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等

4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件(包括隐含条

件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系)，②、回

顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的

问题）.

第十二章轴对称

1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；

这条直线叫做对称轴。

2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.角平分线上的点到角两边距离相等。

4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依

次连接各点。

8.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-xy）

点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为

9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为"三线合一”。

10.等腰三角形的判定：等角对等边。

11.等边三角形的三个内角相等，等于60°,

12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

有两个角是60°的三角形是等边三角形。

13.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

第十三章实数

派算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根，记

作。的算术平方根为0；从定义可知，只有当azO时,a才有算术平方根。

米平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根。

派正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；。只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

派正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。

‘自然数(0,1,2,3…)

、负整数(一1,-2,-3…)

有理数正分数（工，2...）（整数、有限小数、无限循环小数）

分数（小数）＜

实数12

负分数（—-,——

正有理数

无理数（无限不循环小数

负有理数

数a的相反数是-a,一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

-y/ax-fb=4ab[a>Q,b>0)-(a>0,6>0)

第十四章一次函数

1.画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以

上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，

相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线

连接各点X

2.根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式，既函数解析式。

3.若两个变量x,y间的关系式可以表示成度kx+b（k。0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量,y为因

变量）。特别地当b=0时，称y是x的正比例函数。⑴A

1)

b.>0⑴

b.>0⑴/2)

b=0⑵

b=0(2)

b<0(3)

b<0(3)

4.正比列函数一般式：户kx（原0）,其图象是经过原点（0,0）的一条直线。

5.正比列函数户kx（kw0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y-kx经过第一、三象限,y

随x的增大而增大，当k<0时，直线度kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，在一次函数度kx+b

中：当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小。

6.已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）:

把两点带入函数一般式列出方程组

求出待定系数

把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式

7.会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，

二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）

第十五章整式的乘除与因式分解

1.同底数幕的乘法

米同底数鬲的乘法法则：=a"'（mn都是正数）是鬲的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要

注意以下几点：

①法则使用的前提条件是：鬲的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以

是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数鬲的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，

不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数塞相乘时，法则可推广为（其中nn、p均为正数）;

m+nmn

⑤公式还可以逆用：a=a-a（n均为正整数）

2.寨的乘方与积的乘方

派1.鬲的乘方法则：（。加）"（mn都是正数）是鬲的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.

米2（a»=（优T都为正数）.

派3.底数有负号时，运算时要注意,底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底,

如将（-a”化成国

优（当〃为偶数时）,

一般地，（一"=<

-（当〃为奇数时）.

派4.底数有时形式不同，但可以化成相同。

派5.要注意区别（ab）n与（a+b）噫义是不同的，不要误以为（*b）三打^（ab均不为零）。

派6.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘，即（濡）"（n

为正整数）。

派7.鬲的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

3.整式的乘法

X（1）.单项式乘法法则:单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与

指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

米（2）.单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相

乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

米（3）.多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多

项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘（x+a）（x+份=/+（a+"）x+M,其二次

项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系

数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得（町+a）（依+勿=机〃仍+机a）x+"

4.平方差公式

口1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，

X即（a+，）（Q_0）=，—Z?2

口其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

5.完全平方公式

01.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，

口gp（a+b）2=a~+2ab+b~.

口口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

口2.结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

口3.在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现（。士人产=/±/这样的错

误。

添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样

6.同底数塞的除法

※入同底数塞的除法法则:同底数塞相除，底数不变，指数相减，即鹏("0,n\n都是正数，且

m>n).

派2.在应用时需要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是“同底数鬲相除"而且0不能做除数,所以法则中*0.

②任何不等于0的数的。次累等于1,即=1("°),如10°=1,(25°=1),则0°无意义.

P1

〃-〃=--

③任何不等于0的数的-P次鬲(p是正整数),等于这个数的p的次鬲的倒数，即疗(*O，P是正整数)，而

0",。3都是无意义的;当>0时,a-p的值一定是正的；当*0时,a-P的值可能是正也可能是负的，如

,131

(-2/(-2)-3=--

48

④运算要注意运算顺序.

7.整式的除法

。1.单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数得分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的

指数作为商的一个因式；

口2.多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以

单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

8.分解因式

米1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

派2.因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

⑵因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

分解因式的一般方法：

1.提公共因式法

派1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘

积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如：ab+ac=a(b+c)

米2.概念内涵：

⑴因式分解的最后结果应当是"积"；

⑵公因式可能是单项式，也可能是多项式；

⑶提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：ma+mb-mc=m(a+b-c)

派3.易错点点评：

⑴注意项的符号与寨指数是否搞错；

⑵公因式是否提"干净"；

⑶多项式中某一项恰为公因式,提出后，括号中这一项为+1,不漏掉.

2.运用公式法

派1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

派2.主要公式：

⑴平方差公式：a1-b~=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：。2+2。》+/=(。+份2

a2-2ab+b~-(a-b)2

口3.易错点点评：

因式分解要分解到底.如x4-/=(x2+y2)(x2-/)就没有分解到底.

运用公式法：

⑴平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式；

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方；

③二项是异号.

⑵完全平方公式：

①应是三项式；

②其中两项同号，且各为一整式的平方；

③还有一项可正负，且它是前两项鬲的底数乘积的2倍.

3.因式分解的思路与解题步骤：

⑴先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

⑵再看能否使用公式法；

⑶用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

⑸因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

4.分组分解法：

派1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

X2.概念内涵：

分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用

公式法继续分解因式.

派3.注意：分组时要注意符号的变化.

5.十字相乘法：

.对于二次三项式依2+bx+c，将a和c分别分解成两个因数的乘积且满足

ai\/5

人=。凸+。2%往往写成皿/°2的形式，将二次三项式进行分解.

2

如：ax+bx+c={axx+q)(^2x+c2)

X2.二次三项式必+px+q的分解：

p=a+bq=ab1\/ax2+px+q=(x+a)(x+b)

1/^-b

派3.规律内涵：

⑴理解:把尤2+px+q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次

项系数p的符号相同.

⑵如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相

同,对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

派4.易错点点评：

⑴十字相乘法在对系数分解时易出错；

⑵分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

AAC

第十六章分式后F

A

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式。

B

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零-=—

BB-C

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

ac_acac_adad

(CoO)bdbd'bdbebe

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式

4.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。0±2=且=士£=幽±处=性为b

cccbabababa

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变

为同分母分式，然后再加减

混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

5.任何一个不等于零的数的零次鬲等于1,即/=1(。。0);当n为正整数时，。一'=[(。。0)

a

6.正整数指数事运算性质也可以推广到整数指数鬲.（mn是整数）

（1）同底数的鬲的乘法：。m.屋=屋，+"；

（2）鬲的乘方«）"=*;

（3）积的乘方：（"）"=/〃；

（4）同底数的鬲的除法:a+a"=尸（内0）；

（5）商的乘方：（少=*（）；（故0）

7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式

方程一定要验根。

解分式方程的步骤：

⑴能化简的先化简⑵方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；⑶解整式方程；（4）验根.

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是

原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？⑴审；⑵设；⑶列；（4）解；⑸答.

应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：⑴行程问题：基本公式：路程=速度x时间而行

程问题中又分相遇问题、追及问题.⑵数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.⑶工程问

题基本公式：工作量=工时X工效.（4）顺水逆水问题V顺水=v静水+v水.V逆水=v静水-v水.

8.科学记数法：把一个数表示成。X10"的形式（其中lMa<10,n是整数）的记数方法叫做科学记数法.

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非。数字前面。的个阜（包括小臀点

前面的一个°）个二工7

第十七章反比例函数/

1.定义：形如y=&（k为常数，原0）的函数称为反比例函数。其他形式斫ky=kx~ly=k-

XX

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条

对称轴：直线广x和y^-Xo对称中心是：原点

3.性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大吵#尔;

当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而燧疝一

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴3流黑形的面积。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面在意点，走形面积都

不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

1、反比例函数的概念

一般地，函数y=A（k是常数，k/0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=的形

式。自变量x的取值范围是XA0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它

们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xoO,函数yoO,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，

即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例k

、=勺（左。0）

函数工

k的符

k>0k<0

号

①x的取值范围是xoO,①X的取值范围是XHO,

y的取值范围是y/0;y的取值范围是"0;

性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及读是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=&中，只有一个待定系数，因此只需要一对

对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数y=々左。0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN，则所得的矩形PMON

的面积S二PM•PN=H•\x\=\xy\o

y=xy=k,S=|刘。

第十七章反比例函数

1.定义：形如y=A（k为常数，kA0）的函数称为反比例函数。其他形式斫ky=kx^y=k-

XX

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条

对称轴：直线广x和y^-Xo对称中心是：原点

3.性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

二次根式知识点归纳

定义：一般的，式子〃(a20)叫做二次根式。其中“，”叫做二次根号，

二次根号下的a叫做被开方数。

性质：1、|G(a2O)是一个非负数.即

2、|行=|a|艮—20,等于a;av0,等于・a

3

(y/a)2=a(a^O)

4、|=.(a20,b20)|

反过来：|•y/i(a20,b20)|

5、索=聆(a＞0,b＞0)

第十八章勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么3+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长ab,c满足#+b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它

的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)AB〃CD.AD〃BC

AB^CD,AD=BC

AOCOBO4X3

4.直角三角形的性质

(1＞直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：△C=90。n乙A+LB=90。

(2＞在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°]

可表示如下：JnBC=^AB

△C=90°

(3＞直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

△ACB=90°

nCD」AB=BD=AD

可表示如下：

2

D为AB的中点

ADB

5s摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的

摄影和斜边的比例中项

Z_ACB=90°]]CD2=AD»BD

ay

nAC2=AD•ABjI

CD±ABBC?=BD•AB

&常用关系式

由三角形面积公式可得：AB・CD=AC・BC

7、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系=°2,那么这个三角形是直角

三角形。

&命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题Y

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤

(1)根据题意，画出图形。

(2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1:三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

10数学口诀.

平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首士尾括号带

平方，尾项符号随中央。

第十九章四边形

平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；A

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BDA/r-

矩形判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的判定定理：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形人

3.四条边相等的四边形是菱形。S菱形=1/2xab（认b为两条对角线）

正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。R

正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。

梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形

等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

解梯形问题常用的辅助线：如图

线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。三角形的三条中线交于疑点，这一点就

是三角形的重心。宽和长的比是舟土（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

2

第二十章数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这

组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(modeX

4.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

5.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

6.平均数：平均数受极端值的影响众数