5.1　投　影（第二课时）课件北师大版九年级数学上册

第五章投影与视图1投影（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习1.太阳光线可以看成

光线，

⁠所形成的投

影称为

⁠.2.平行光线与投影面垂直，这种投影称为

投影.注：正投影是一种特殊而重要的平行投影.3.在平行投影中，物体与投影中对应点的连线是相互平行的，

反之也成立.而在中心投影中，物体与投影中对应点的连线交于

一点.平行

平行光线

平行投影

正

数学九年级上册BS版02典例讲练

（1）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角

形木框在地面上的投影不可能是（

B

）ABC

D

【思路导航】将等边三角形木框放在太阳光下，先分类——与

地面垂直放置、平行放置、倾斜放置等，再观察不同情况下其

影子的形状.B【解析】将等边三角形木框与地面垂直放置时可以得到A选

项；将等边三角形木框与地面倾斜放置时，可以得到C选项，也

可以得到D选项；无论如何放置也得不到B选项的点.故选B.【点拨】线段、平面图形、几何体的正投影规律：规律图示线段的正投影平行：线段与其正投影的长相等倾斜：线段与其正投影的长不相等垂直：线段的正投影是一个点规律示平面图形规律图示平面图形的正投影平行：正投影与原图形形状和大小一样倾斜：正投影与原图形形状和大小都不一样垂直：平面图形的正投影是一条线段

几何体的正投影

一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形

（2）如图，下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将

它们按时间先后顺序排列，正确的是

（填序号）.

③④①②

【思路导航】太阳东升西落，在不同时刻，建筑物在太阳下影

子的方向在变化.可以根据这一特点观察影子的方向及长短，判

断太阳的位置及时间的先后顺序.【解析】观察影子的方向，①为东北，②为东，③为西，④为

西北，故将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故答案为③④

①②.【点拨】本题考查了平行投影的特点和规律.在不同时刻，物体

在太阳光下的影子的大小在变化，方向也在变化.就北半球而

言，从早晨到傍晚，物体影子的方向是西—西北—北—东北—

东；影长由长变短，再变长（一早一晚影子最长，正午影子最

短）.

1.如图所示的四张图片是我国北方某地一天中不同时刻直立的

灯杆在阳光下形成的影子，将各图按时间顺序排列，正确的是

（

B

）A.②④①③B.④①③②C.②④③①D.①③②④B2.把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，当太阳光由上而下

照射时，它在地面的投影是（

A

）ABCDA

如图，已知

AB

和

DE

是直立在地面上的两根立柱，

AB

＝5m.某

一时刻，

AB

在阳光下的影子

BC

＝4m.（1）请你在图中画出此时

DE

在阳光下的影子；（2）在测量

AB

的影子长时，同时测出

DE

在阳光下的影子长

6m，请你计算

DE

的长.【思路导航】（1）连接

AC

，过点

D

作

AC

的平行线，即可得出

DE

的影子；（2）利用相似三角形的性质，列比例式即可求出

DE

的长.解：（1）作法：如图，连接

AC

，过点

D

作

DF

∥

AC

，交直线

BE

于点

F

，则线段

EF

就是

DE

在阳光下的影子.

【点拨】解决与平行投影有关的作图和计算问题，往往过不同

物体的顶端及其影子的顶端作直线（光线），这些直线互相平

行；画出图形后，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质

解题.

1.如图，在同一时刻，身高1.6m的小丽在阳光下的影长为2.5

m，一棵大树的影长为5m，则这棵树的高度为

⁠m.3.2

2.如图，平地上一棵树的高度为5m，两次观察地面上的影子，

第一次是当阳光与地面成45°角时，第二次是阳光与地面成30°

角时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？解：如答图，由题可知，

AB

⊥

BC

，∠

ACB

＝45°，∠

ADB

＝

30°，

AB

＝5m.在Rt△

ABC

中，∵∠

ABC

＝90°，∠

ACB

＝45°，

AB

＝5m，∴

BC

＝

AB

＝5m.在Rt△

ABD

中，∵∠

ABD

＝90°，∠

ADB

＝30°，

AB

＝5m，∴

AD

＝10m.

答图

如图，一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得一根

长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠

近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在了墙

壁上，所以，他先测得落在地面的影长为2.7m，又测得落在墙

壁上的影高为1.2m.请你和他一起算一下树高.【思路导航】本题的投影面不是同一平面，想办法转化到同一

平面，此处可以将

CD

转化到直线

BD

上，也可以过点

C

作

CE

⊥

AB

于点

E

，利用物高

AE

与影长

CE

来解决问题.

解得

y

＝4.2.故树高为4.2m.（方法二）如图，过点

C

作

CE

⊥

AB

于点

E

，则

BE

＝

CD

＝1.2m，

EC

＝

BD

＝2.7m.

∴

AE

＝3m.则

AB

＝

AE

＋

BE

＝3＋1.2＝4.2（m）.故树高为4.2m.【点拨】利用物高与影长的关系求物高的关键是找准投影方式.

对于平行投影，在同一时刻，同一地点，太阳光下的物体高度

比等于其影长之比.然而，当物体的影子不在同一平面上时，不

能直接用这个结论，先通过添加辅助线转化到一个平面上，再

利用物高之比等于影长之比来解决.

如图，在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光

下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，测量树的影子除

落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，落在

地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶

上的影长为0.2米，求树的高度.解：如答图，

AB

为树高，

EF

为树影在第一级台阶上的影长，

BD

为树影在地面上部分的长，

ED

的长为台阶高.由光沿直线传

播的性质可知

BC

即为树影在地面上的全长.延长

FE

交

AB

于点

G

，则Rt△

ABC

∽Rt△

AGF

.

∴

AG

＝1.25

GF

.

又∵